III. Tepelné fluktuace: lineární oscilátor Cvičení KOTLÁŘSKÁ 12. BŘEZNA 2014 F4110 Kvantová fyzika atomárních soustav letní semestr

2 Kapplerův pokus

33 Relace neurčitosti Odhad pro kvantové korekce v Kapplerově pokusu (jsou mizivé)

4 4 JI Ž ZNÁME Planckova konstanta jako hraniční hodnota Toto je generická forma Heisenbergových relací. Vlastně je to, ne Pořádně odvozeno To se nám teď hodí na oscilátor, kde pracujeme vlastně přesně, i když tak dalece bez počítání. Musí se ale připomenout

5 5 Odhad z relace neurčitosti To je standard, takže jen schematicky

6 6 Souboj kvantových a termických fluktuací Tady opět bez počítání: Klasicky je energie oscilátoru daná ekvipartičním zákonem Při nulové teplotě je ryze kvantová a oscilátor je v nejnižším stavu

7 7 Souboj kvantových a termických fluktuací Tady opět bez počítání: Klasicky je energie oscilátoru daná ekvipartičním zákonem Při nulové teplotě je ryze kvantová a oscilátor je v nejnižším stavu

8 8 Souboj kvantových a termických fluktuací Tady opět bez počítání: Klasicky je energie oscilátoru daná ekvipartičním zákonem Při nulové teplotě je ryze kvantová a oscilátor je v nejnižším stavu

9 9 Souboj kvantových a termických fluktuací Tady opět bez počítání: Klasicky je energie oscilátoru daná ekvipartičním zákonem Při nulové teplotě je ryze kvantová a oscilátor je v nejnižším stavu

10 Z těchto Kapplerových měření odhadneme  vysoký tlak, přetlumený oscilátor snížený tlak, podtlumený oscilátor

11 Z těchto Kapplerových měření odhadneme 

12 Z těchto Kapplerových měření odhadneme  vysoký tlak, přetlumený oscilátor snížený tlak, podtlumený oscilátor

13 Z těchto Kapplerových měření odhadneme  vysoký tlak, přetlumený oscilátor snížený tlak, podtlumený oscilátor

14 Z těchto Kapplerových měření odhadneme  vysoký tlak, přetlumený oscilátor snížený tlak, podtlumený oscilátor JE MALÉ

15 Langevinova rovnice Pro volnou částici ověříme vlastnosti středované LR v konstatním silovém poli... identifikace s Newtonovským předpokladem podle Einsteina Tady se prostě přepočtou ty rámečky a identifikuje pohyblivost

16 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici tření působící síla=0 (volná částice) Kdyby dostaneme NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA

17 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici tření působící síla=0 (volná částice) Kdyby dostaneme NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA

18 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici tření působící síla=0 (volná částice) Kdyby dostaneme ustálený stav NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA 

19 Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici tření působící síla=0 (volná částice) Kdyby dostaneme NÁHODNÁ LANGEVINOVA SÍLA

20 Langevinova rovnice I. Původně použita na volnou Brownovu částici. Významné pokroky v pochopení. Difusní řešení je správné v limitě dlouhých časů. Pro krátké časy se projeví inerciální efekty.

21 Langevinovo řešení jeho rovnice pro 1D Brownovu částici difusní aproximace balistická limita úplné řešení Balisitcký rozlet je zpočátku pomalejší, pak ovšem roste kvadraticky i nadále a od je už mnohem rychlejší. Crossover u  odpovídá první srážce

22 Langevinovo řešení jeho rovnice pro 1D Brownovu částici VÝSLEDEK  Pro

23 Langevinova rovnice II. Pro lineární oscilátor je řešení pomocí středovacích procedur také možné. Středovat budeme trajektorii vyjádřenou pomocí Greenovy funkce Cvičení je věnováno nejprve odvození GF

24 Langevinova rovnice pro lineární oscilátor – řešení Langevinova rovnice pro lineární oscilátor je LODR 2. řádu s pravou stranou (... nehomogenní r.) obecné řešení = obecné řešení homog. rovnice + partikulární řešení nehomog. rovnice sekulární rovnice kritická hodnota podtlumené kmitypřetlumené kmity

25 Langevinova rovnice – Greenova funkce PAK Ověření: Proto pulsní excitace partikulární řešení nehomog. rovnice hledáme pomocí Greenovy funkce

26 Langevinova rovnice – stanovení Greenovy funkce hledáme Greenovu funkci A kausalita B C okrajové podmínky (sešití při rovných časech) dostaneme integrací po malém okolí bodu t = t´

27 Langevinova rovnice – stanovení Greenovy funkce hledáme Greenovu funkci A kausalita B C okrajové podmínky (sešití při rovných časech) dostaneme integrací po malém okolí bodu t = t´

28 Shrnutí: výsledné formální řešení pro oscilátor formální řešení Bylo odvozeno pomocí ekvipartičního zákona Bílý šum

29 Langevinova rovnice I. & II. Volnou Brownovu částici budeme chápat jako lineární oscilátor s frekvencí konvergující k nule. Najdeme trajektorii vyjádřenou pomocí Greenovy funkce. Pak znovuodvodíme Langevinovu formuli explicitním středováním

27 Limita volné částice z řešení pro oscilátor Taktéž beze změny, nezávisí na Bylo odvozeno pomocí ekvipartičního zákona Bílý šum formální řešení v obecném tvaru zůstává

Započtení počátečních podmínek 31

Střední kvadratická odchylka polohy 32

The end