Kuchařka na práci s mnohočleny Matematika pro ZŠ Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je David Salač. Dostupné z Metodického portálu ISSN Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).

Sčítání mnohočlenů – lehký příklad Dejme si příklad na ozřejmění situace: x 2 + 7x 3 + 6x x 2 + 2x + x + 6 = … výhodné na začátek je zvýraznit si členy se stejnou mocninou u proměnné a to včetně znaménka: x 2 + 7x 3 + 6x x 2 + 2x + x + 6 = … Ale co s tím zbytkem ???

Sčítání mnohočlenů – lehký příklad Je to jednodušší, než si myslíte, stačí si uvědomit, že pro proměnnou (pro nás x) platí: x 0 = 1 x 1 = x Jinými slovy: Samotná proměnná či číslo představuje pouze jinak zapsanou mocninu, která se standardně nepíše!

Sčítání mnohočlenů – lehký příklad Tedy zpátky k našemu příkladu: x 2 + 7x 3 + 6x x 2 + 2x + x + 6 = … x 2 + 7x 3 + 6x x 2 + 2x + x + 6 =... Výsledek se určí posčítáním všech členů = 13x 2 + 7x 3 + 9x + 12 A máme hotovo!!!

Sčítání mnohočlenů – upozornění Při sčítání mnohočlenů se často vyskytují výrazy, které nemají u proměnné žádné číslo: x + 2x;8x 3 + x 2 + 7x 2 ;4x 5 - x 2 ; V takovém případě si můžeme představit, že je u členu jednička s příslušným znaménkem! Tedy: -x = -1xx 2 = 1x 2 -x 3 = -x 3

Sčítání mnohočlenů – příklad Na znaménka u členů je třeba dávat dobrý pozor, spočtěte si cvičně tento příklad: -7x 2 + 4x x 2 - x - 4x = …

Sčítání mnohočlenů – příklad Na znaménka u členů je třeba dávat dobrý pozor, spočtěte si cvičně tento příklad: -7x 2 + 4x x 2 - x - 4x = … 2x 2 + 3x - 4x Jak jednoduché ;)...

Zápis mnohočlenu Speciální význam mají mnohočleny, které jsou zapsány seřazeně od nejvyšší mocniny po nejnižší, například: 7x 5 + 4x 4 - 9x 3 + x x + 11 Jestlipak vás napadne proč?

Zápis mnohočlenu Jestlipak vás napadne proč? Hlavně proto, že se s nimi snadněji pracuje, pokud má nějaký člen stejnou mocninu u neznámé, můžete jej snadno posčítat (později výhodnost vynikne)… Zkuste si cvičně: 7x 3 - 8x 3 + 7x 2 + x 2 - x + 2x

Zápis mnohočlenu Že to bylo jednoduché??? A to pouze stačilo proházet pořadí jednotlivých členů dle velikosti mocnin, zkuste si to u příkladů: 7x 2 - 8x + 3x 3 + x x - 5x x 3 7x 3 - 8x 4 + 7x + 2 7x 4 - 8x 5 + 6

Úvod do násobení mnohočlenů Zajímavá otázka vyvstane, pokud se nějaké členy objeví v závorkách, například: 7x 4 - (2x 2 + 6x 4 - 4x) = … Co potom??? Je to jednoduché… víme přeci, že co je v závorce, řeší se jako první. Závorku tedy odstraníme.

Odstranění závorky Odstranění závorky se provádí přenásobením všech jejich členů členem před závorkou, tedy: -(x 2 + x + 6) = -1(x 2 + x + 6) = -x 2 - x - 6 V daném příkladě bylo před závorkou pouze minus, všechny členy v závorce tedy mění znaménko!

Odstranění závorky Co když je před závorkou plus? Pak ji můžeme rovnou “smazat”, například: +(x 2 + x + 6) = (x 2 + x + 6) = x 2 + x + 6 Před závorkou je často jiný člen (číslo, nebo jiná mocnina neznámé), například: 7(x 2 + x + 6) - 9x(x 4 + x 2 + 6x) Co potom???

Odstranění závorky 7(x 2 + x + 6) - 9x(x 4 + x 2 - 6x) Co potom??? Opět není důvod k panice, pouze přenásobíme členy v závorce celým členem, tím ji odstraníme! 7(x 2 + x + 6) - 9x(x 4 + x 2 - 6x) = 7x 2 + 7x x 5 - 9x x 2 = - 9x 5 - 9x x 2 +7x + 42

Násobení neznámých Při násobení dvou neznámých o stejných základech se sčítají exponenty, tedy například: x ⋅ x 2 = x 3 x 5 ⋅ x 2 = x 7 b 4 ⋅ b 8 = b 12 c ⋅ c 2 = c 3 ale i například: y c ⋅ y 2 = y c+2

Násobení neznámých Pozor! Pokud násobíme dvě neznámé mezi sebou, nemůžeme je nijak poupravovat! Například: x 2 y 3 = pouze a jedině x 2 y 3 Nic více s tím nelze dělat!

Odstranění závorky Člen se také nemusí nacházet před závorkou, ale až za, například: 8x - (x 2 + 4x + 2)x Co s tím? Prostě ho posunu před závorku! 8x - (x 2 + 4x + 2)x = 8x - x(x 2 + 4x + 2) A postupuji jako v předešlém případě…

Odstranění závorky – příklady Vyzkoušejte si tyto příklady: 7x - (8x - 7x 2 + 4) = … 9x 2 + x (9x - 3x 2 + 4) = … 2 + (x 4 + 7x x)x = … 9x 3 - 7x 2 (14x - 2x 2 + 3) = … x - (6x - 5x 2 + 1) ⋅ 7 = … 3x 2 - x(x - 5x 2 + 3x)x 2 = …

Odstranění závorky – příklady Nezarazilo vás něco na posledním příkladě? 3x 2 - x(x - 5x 2 + 3x)x 2 = … Mělo by… stačí totiž upravit člen v závorce a “okolo” závorky a rázem máme vyhráno: 3x 2 - x(x - 5x 2 + 3x) ⋅ x 2 = 3x 2 - x 3 (- 5x 2 + 4x) = 3x 2 + 5x 5 - 4x 4 = 5x 5 - 4x 4 + 3x 2

Roznásobení mnohočlenů Zbývá probrat poslední případ… co se stane, pokud je před závorkou jiná závorka? Např.: (-7x + 2)(x 3 - 2x 2 - 7x + 3) Je to vlastně úplně stejné jako předchozí příklad, pouze násobím členy jedné závorky celou závorkou, to pak již umím vyřešit.

Roznásobení mnohočlenů Roznásobení: (-7x + 2)(x 3 - 2x 2 - 7x + 3) = -7x(x 3 - 2x 2 - 7x + 3) + 2(x 3 - 2x 2 - 7x + 3) = … již umíme vyřešit. Když lze to i obráceně, uvědomme si toto: (-7x + 2)(x 3 - 2x 2 - 7x + 3) = (x 3 - 2x 2 - 7x + 3)(- 7x + 2) = x 3 (-7x + 2) - 2x 2 (-7x + 2) - 7x(-7x + 2) + 3(-7x + 2) = … opět umíme vyřešit.

Roznásobení mnohočlenů Dopočítejme tedy příklad kompletně: (x 3 - 2x 2 - 7x + 3)(-7x + 2) = x 3 (-7x + 2) - 2x 2 (-7x + 2) - 7x(-7x + 2) + 3(-7x + 2) = -7x 4 +2x 3 +14x 2 - 4x 2 +49x 2 -14x - 21x + 6 = -7x 4 +16x x x + 6 Pro rychlejší počítání se vynechává druhý krok a píše se rovnou výraz zcela bez závorek.

Pár zajímavostí závěrem Mnohočlen se nazývá cizím slovem polynom. Každý sčítanec v polynomu se nazývá monom. Například: x 2 - 7x + 9 je polynom skládající se z těchto monomů tří: x 2, -7x, 9 Zajímavost: -x 2 je zároveň polynom a zároveň monom!

Děkuji za pozornost! David Salač