Jan Obdržálek T09:00:00,000 Relativita graficky FyM - Obdržálek 1/48 FyM

Rychlost světla ve vakuu c 0 = m/s (tzv. světelná rychlost ) – nezávisí na:  zdroji Z světla (ani na rychlosti Z vůči čemukoli)  pozorovateli P (ani na rychlosti P vůči čemukoli)  směru šíření světla (vůči čemukoli) To je ale šok, co??? Myslíte, že ne? … … ale co skládání rychlostí? To pro světlo neplatí? Šok na začátek: 2/ FyM - Obdržálek

Země kolem Slunce lítá slušnou rychlostí 30 km/s; V zimě oproti létu tedy změnila rychlost o 60 km/s! Na rychlosti světla by se to mělo dát poznat … ale žádný rozdíl nebyl zjištěn (už kolem r. 1900)! Co na to fyzikové? Mnozí začali zkoumat:  Co je to světlo (jak se chová)?  Co je to mosaz (co se s ní děje, když se pohybuje)? (Šok pokračuje:) 3/ FyM - Obdržálek

 podle Newtona: světlo = kuličky letící ze zdroje do mého oka Pak by se ale rychlost zdroje přičetla k rychlosti světla a světla ze svíčky, Slunce a Siria by měla letět různě rychle  podle Huygense: světlo = vlny éteru Ale jak rychle se pohybuje Země vůči éteru? (během roku je rozdíl ± 30 km/s!) Výklad světla 4/ FyM - Obdržálek

Moderní pohled na světlo: 5/ FyM - Obdržálek Maxwell : „Světlo jsou vlny elmg. pole. Elmg. pole je popsáno Mxw. rovnicemi. Kde platí moje rovnice, tam je c 0 = 1/√(ε 0 µ 0 ) a basta.“ Michelson a Moorley: my to proměříme.

Moderní pohled na světlo: 6/ FyM - Obdržálek Michelson a Moorley: L Země klidná:→ Země letící: →  vt→ Dráhy i doby jsou různé… t = 2L / √(1 – v 2 / c 2 ) t = 2L / (1 – v 2 / c 2 ) ! … ale žádný rozdíl v pokusu! Země klidná:→ L

Lorentz, Poincaré: kontrakce délek: mosaz (a každý materiál) se při pohybu smrští: L→L / √(1 – v 2 / c 2 ) dilatace času: čas plyne při pohybu pomaleji Einstein 1905: není to vlastnost materiálů, ale prostoročasu (tedy způsobu, jak čas a prostor měříme, a co to tedy prostor a čas je) Výklad vlastností přístroje 7/ FyM - Obdržálek

 Existuje absolutní prostor AP (v něm: poloha) ; Newton (klasická mechanika)  Existuje absolutní čas AČ (okamžik, doba);  1NZ: měříme-li v APČ, pohybuje se volná částice rovnoměrně přímočaře (nebo stojí)  2NZ: APČ: částice se pod vlivem sil pohybuje zrychleně: m a = ∑ F  3NZ: F AB = - F BA (zákon akce a reakce)  ale: taková soustava NENÍ jediná! (IS; je jich moc)  Galileův princip: inerciální vztažná soustava IS ; i v ní platí stejné zákony jako v APČ FyM - Obdržálek 8/48

9/ FyM - Obdržálek

x/m (kde jsou) t/s (kdy kde jsou) _  __________0_  ______________________  _________ FyM - Obdržálek 10/48 ___________  _  ___________________  ____________ _______________  ______________  _______________ _______________  _  __________  __________________ _______________  __  _____  _____________________ _______________  _  ___  _______________________ _______________ _  _  ___________________________ _____________  _  ______________________________ _________  ___  _______________________________  ________  ____  _______________________________ ______  ________  _______________________________ ___  ___________  _______________________________  ______________  _______________________________ Světočáry holubice, kočky a psa Jsem uprostřed silnice (bod 0), napravo sedí kočka a pes, nalevo holub. Filmuji silnici a skládám okamžité snímky – pásky – nad sebe.

x/km (kde je) t/min (kdy tam je) vlak (nádraží) 5 (cíl) stojí jede stojí Tento (statický) grafikon zobrazuje celý pohyb vlaku v čase a 1D prostoru FyM - Obdržálek 11/48

x/km (kde je) t/min (kdy tam je) vlak rychlík (nádraží) 5 (cíl) stojí jede stojí jede rychleji jede zpátky FyM - Obdržálek 12/48

x/m (kde je) t/s (nádraží) 5 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 1 m Přede mnou: 0 m 2 m3 m (5 m; 4 s) B (3 m; 4 s) C D já ve vlaku B vůči Zemi B vůči Vlaku x BZ = 5 t BZ = 4 x BV = 3 t BV = 4 rychlost Vlaku vůči Zemi: V VZ x BV = x BZ – V VZ t BZ t BZ = t BV Galileiho trafo CD: současné (Vlak, Země) CB: soumístné (Země) DB: soumístné (vlak) FyM - Obdržálek 13/48

Newton: „Hlavní inerciální soustavou“ je absolutní prostor a absolutní čas. Ale: Galileo: je-li  S inerciální  S’ vůči ní pohybuje rovnoměrně přímočaře  → S’ je také inerciální. Newton: Ve všech inerciálních S, S’ je týž čas. První Newtonův zákon (1NZ) Existuje inerciální soustava FyM - Obdržálek 14/48

Galileův princip relativity: mechanickými jevy nelze rozlišit mezi inerciálními soustavami, která z nich je absolutní prostor a čas – APČ. Galileo: rychlosti se sčítají Jak najít absolutní prostor a čas? Elektromagnetismus: Maxwellovy rovnice → světlo = vlny v éteru; rychlost c 0 = 1/√(ε 0 μ 0 ) ; éter v klidu v APČ Úkol pro fyziky: Měřte rychlost c světla! Je-li c = c 0 ± w → rychlost w vůči éteru. Vyšlo: Světlo má v každé IS tutéž rychlost c 0 ! !? FyM - Obdržálek 15/48

Princip stálé rychlosti světelné Světelná rychlost c 0 = m/s. (Dále jen c.) Vlastnost prostoročasu, nikoli jen světla. Světelná rychlost je táž v každé IS FyM - Obdržálek 16/48

1) Všechny IS jsou rovnoprávné 2) Co má světelnou rychlost c 0 v jedné IS, má ji v každé IS (× Newton: Co má rychlost ∞, má ji v každé IS = současnost) 17/48 Dva pilíře STR: FyM - Obdržálek

Aberace stálic Fizeauúv koef. strhávání Michelson-Morley Kennedy-Thorndike Pohyb zdroje i zrcadla de Sitter - dvojhvězdy Michelson se slunečním světlem Změna hmotnosti na rychlosti Úměrnost hmotnosti a energie záření pohybujícího se náboje Rozpad mionu při vys. rychlostech Trouron-Nobel Unipolární indukce Vlnové teorie: éter je v absolutním prostoru: klidný++––++––0+0–– klidný + kontrakce+++– – strhávaný tělesy––+++++–000+0 Emisní teorie: po odrazu na zrcadle má světlo rychlost c=c 0 /n : vůči zdroji+++++––00–000 vůči zrcadlu+0++–––00–000 vůči obrazu zdroje+0++––+00–000 Teorie relativity: Podle Panofsky,Philips:Class.eldyn. Porovnání teorií s experimenty FyM - Obdržálek 18/48

Klasická fyzika: Newton, Galileo ( c →  ) x’ = x - V t t’ = t v‘ = v – V 19/48 Přechod mezi S a S’ (transformace) Estetický problém: Veličiny x, t mají různé rozměry. Odpomoc: pevná rychlost c umožní převést měření času (doby) t na měření délky x (uražené za dobu t při rychlosti c ). x 0 = ct – měříme délky a časy konzistentně, prostřednictvím vhodné „standardní rychlosti“ c FyM - Obdržálek Klasická fyzika: Newton, Galileo ( c →  ) x’ = x - βx 0 x‘ = x - Vt β = V/cx 0 = ct x 0 ’ = x 0 ct’ = ctv‘ = v – V

Srovnání trafo klasické a STR Lorentz: x’ = γ ( x - βx 0 ) β = V / c x 0 ’ = γ ( x 0 - βx ) γ = 1 / √(1 – β 2 ) FyM - Obdržálek 20/48 y’ = y z’ = z Klasická fyzika: Galileo ( c →  ) x’ = x - βx 0 x‘ = x - Vt; β = V/c; x 0 = ct x 0 ’ = x 0 t’ = t

Jedinečný Lorentz Lze dokázat, že to jinou trafo nejde : x’ = γ ( x – B x 0 ) x 0 ’ = γ (C x 0 – D x ) 2) Najdeme potřebné 4 parametry γ, B, C, D ze 4 „přirozených“ podmínek. 1) Aby každý rovnoměrný přímočarý pohyb přešel opět v rovnoměrný přímočarý pohyb, musí být transformace lineární. Označení: β = V/c ; x 0 = ct ; x 0 ’ = ct ’ FyM - Obdržálek 21/48

Podmínky pro trafo x’ = γ ( x – B x 0 ) x 0 ’ = γ ( C x 0 – D x ) 1) S’ má vůči S rychlost V 2) S má vůči S’ rychlost – V 3) Která rychlost w ( = v/c 0 ) se zachovává? a. w = ∞ (současnost): Galileo b. w = 1 (rychlost světla):Lorentz 4) Zpětná trafo má tvar jako přímá s V↔ – V FyM - Obdržálek 22/48

S’ má vůči S rychlost β: Počátek x’ = 0 ve všech časech x 0 ’ vyhovuje podmínce x = V t = β x 0 23/48 Lorentzova trafo (odvození, 1.krok) x’ = γ ( x – B x 0 ) x 0 ’ = γ ( C x 0 – D x ) Odtud plyne B = β (ostatní γ, C, D zatím libovolná). 0 = γ ( x – B x 0 ) x’ = γ ( x – β x 0 ) x 0 ’ = γ ( C x 0 – D x ) x 0 ’ = γ ( C x 0 – D x ) Hledáme zbývající 3 parametry γ, C, D. 0 = γ ( x – B x 0 ) FyM - Obdržálek

S má vůči S’ rychlost – β: Počátek x = 0 ve všech časech x 0 vyhovuje podmínce x’ = – V t’ = – β x 0 ’ 24/48 Lorentzova trafo (odvození, 2.krok) x’ = γ ( – β x 0 ) x’ = γ ( x – β x 0 ) x 0 ’ = γ ( Cx 0 ) Hledáme zbývající 2 parametry γ, D. Odtud plyne C = 1 (ostatní γ, D zatím libovolná). x’ = γ ( x – β x 0 ) x 0 ’ = γ ( C x 0 – D x ) x’ = γ ( – β x 0 ) x’ = γ ( x – β x 0 ) x 0 ’ = γ ( Cx 0 ) x 0 ’ = γ ( 1 x 0 – D x ) FyM - Obdržálek

Rychlost w = 1 se zachovává: x/x 0 = 1 → x’/x 0 ’ = 1 25/48 Lorentzova trafo (odvození, 3.krok) x’ = γ ( x – β x 0 ) x 0 ’ = γ ( x 0 – β x ) x’ γ ( x – β x 0 ) ( x – β x 0 ) x 0 ’ = γ ( x 0 – D x ) = ( x 0 – D x ) x’ = γ ( x – β x 0 ) x 0 ’ = γ ( x 0 – D x ) x’ = γ ( x – β x 0 ) x’ = γ ( x – β x 0 ) x 0 ’ = γ ( x 0 – β x ) x 0 ’ = γ ( x 0 – β x ) Hledáme zbývající 1 parametr γ. x’ γ ( x – β x 0 ) ( x – β x 0 ) (1 – β ) x 0 ’ = γ ( x 0 – D x ) = ( x 0 – D x ) = (1 – D ) Odtud plyne D = β ( γ je zatím libovolné). = FyM - Obdržálek

Zpětná transformace má stejný tvar jako přímá; vyřešíme původní soustavu x´=… x 0 ´=…, abychom dostali x =… x 0 =… 26/48 Lorentzova trafo (odvození, 4.krok) a‘) γ ( x ’ + β x 0 ’ ) = x γ 2 (1 – β 2 ) b‘) γ ( x 0 ’ + β x’ ) = x 0 γ 2 (1 – β 2 ) a) x’ = γ ( x– βx 0 ) b) x 0 ’ = γ ( –βx + x 0 ) x’ + β x 0 ’ = γ x (1 – β 2 ) β x’ + x 0 ’ = γ x 0 (1 – β 2 ) roznásobíme γ (levou stranu napravo) inverzní trafo je-li γ 2 = 1 /(1 – β 2 ), má inverzní trafo stejný tvar jako přímá. a) x’ = γ ( x– βx 0 )· 1 · β b) x 0 ’ = γ ( –βx + x 0 )· β · 1 a) x’ = γ ( x– βx 0 )· 1 b) x 0 ’ = γ ( –βx + x 0 )· β FyM - Obdržálek

Přímá Lorentzova transformace: x’ = γ ( x– β x 0 ) = γ ( x – β x 0 ) x 0 ’ = γ ( x 0 – β x ) = γ ( – β x + x 0 ) Lorentzova trafo (shrnutí) Inverzní Lorentzova transformace: β’ = – β x = γ ( x’+ β x 0 ’ ) = γ ( x’+ β x 0 ’ ) x 0 = γ ( x 0 ’+ β x’ ) = γ ( β x’ + x 0 ’ ) Označme (Lorentzův činitel) FyM - Obdržálek 27/48

Relativistická kinematika graficky: β x= 0 ; x 0 libov. x; současnost x 0 = 0 x‘= 0 ; x 0 ’ libov. x’; současnost x 0 ’ = 0 x 0 ’ = γ ( x – β x 0 ) x’ = γ ( x 0 – β x ) světlo S S’S’ ( x 0 ; x ) ( x 0 ‘ ; x‘ ) ‘ FyM - Obdržálek φ φ’φ’ tg φ = tg φ’ = β význam β : úhel os 28/48

Relativistická kinematika graficky: γ x= 0 ; x 0 libov. x; současnost x 0 = 0 x‘= 0 ; x 0 ’ libov. x’; současnost x 0 ’ = 0 x 0 ’ = γ ( x – β x 0 ) x’ = γ ( x 0 – β x ) světlo S S’S’ ( x 0 ; x ) ( x 0 ‘ ; x‘ ) ‘ FyM - Obdržálek /48 význam γ: jednoty na osách (invariant

30/48 Jednotky na osách x 0 =ct x; současnost x’ 0 =ct’ x’; současnost x 0 ’ = γ ( x – β x 0 ) x’ = γ ( x 0 – β x ) světlo jednotka 1 1 x 0 2 – x 2 = ± FyM - Obdržálek

Relativistická kinematika graficky x 0 =ct; x=0 x; současnost t= 0 x’ 0 =ct’; x‘=0 x’; současnost t‘= 0 x 0 ’ = γ ( x – β x 0 ) x’ = γ ( x 0 – β x ) světlo S S’S’ ( x 0 ; x ) ( x 0 ‘ ; x‘ ) ‘ 2 2,3 0,6 1, FyM - Obdržálek (2; 2,3) (0,6; 1,3) 31/48

32/48 Metrová tyč stojící x 0 =ct x; současnost x’ 0 =ct’ x’; současnost x 0 ’ = γ ( x – β x 0 ) x’ = γ ( x 0 – β x ) světlo FyM - Obdržálek

33/48 Metrová tyč letící x 0 =ct x; současnost x’ 0 =ct’ x’; současnost x 0 ’ = γ ( x – β x 0 ) x’ = γ ( x 0 – β x ) světlo <1 = FyM - Obdržálek

34/48 Hodiny stojící x 0 =ct x; současnost x’ 0 =ct’ x’; současnost x 0 ’ = γ ( x – β x 0 ) x’ = γ ( x 0 – β x ) světlo ,2. čas v S (vlastní):t = 1 čas v S‘: t = 1, FyM - Obdržálek

35/48 Hodiny letící x 0 =ct x; současnost x’ 0 =ct’ x’; současnost x 0 ’ = γ ( x – β x 0 ) x’ = γ ( x 0 – β x ) světlo , opět: vlastní čas t’ < t ,4 -1,8 -1,2 -0,6 1,8 0, FyM - Obdržálek

„Paradox dvojčat“ x 0 =ct x; současnost x’ 0 =ct’(tam) x’; současnost (tam) světlo x’ současnost (zpět) x’ 0 =ct’(zpět) FyM - Obdržálek 36/48

37/48 „Dlouhé auto v krátké garáži“ x 0 =ct x; současnost x’ 0 =ct’ x’; současnost garáž < 1 zavřená FyM - Obdržálek

 Čtverec intervalu (> 0: prostoru, < 0: času podobný) s 2 = x 2 + y 2 + z 2 – c 2 t 2 Invarianty Lorentzových trafo  s 2 = x 2 + y 2 + z 2 – x 0 2 x 0 = c t  s 2 = x 2 – x 0 2  H. Minkowski: s 2 = x 2 + y 2 + z 2 + x 4 2 x 4 = i c t  Pseudo euklidovská metrika  s 2 AB = 0 lze i pro různé události A, B  s 2 AB může být i záporné FyM - Obdržálek 38/48

 Čtyřvektor polohy R (posunutí ∆ R ): R = { x ; y ; z ; i ct } = { x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 } Vektor vůči Lorentzovým trafo  Speciální Lorentzova trafo – 2D R = { x 1 ; i x 0 } = { x 1 ; x 4 }  Pozor: čas t není invariant! Je jen jednou ze složek. Invariantem je ale vlastní čas τ = t / γ.  Vlastní čas τ = t / γ je invariantní vůči Ltrafo FyM - Obdržálek 39/48

Čtyřrychlost U  Velikost čtyřrychlosti je konstantní:  U 2 = γ 2 v 2 – γ 2 c 2 = γ 2 c 2 ( v 2 /c 2 – 1) = – c 2  Čtyřzrychlení je vždy kolmé na čtyřrychlost FyM - Obdržálek 40/48  Idea: formulace fyz. zákonů ve čtyřveličinách (invarianty = čtyřskaláry, čtyřvektory, …).  Pak z platnosti v jedné IS plyne platnost vždy.

Hmotnost m  ? Relativistický ekvivalent hmotnosti m  Hmotnost se vyskytuje:  v gravitačním zákoně … gravitační   v pohybových rovnicích … setrvačná FyM - Obdržálek 41/48

Hmotnost m : plán  Vyřešíme nepružnou srážku dvou stejných částic, a to  v soustavě S, v níž na začátku stojí druhá koule,  v soustavě S ’, v níž na začátku stojí první koule.  Obě řešení porovnáme Lorentzovou transformací. S S’S’ v w -v -w čas mvmv m0m0 MuMu mvmv m0m0 MuMu FyM - Obdržálek 42/48

 Předpokládejme při popisu srážky v kterékoli IS toto:  částice má hmotnost m v závislou na rychlosti: m v = m v (v),  zachovává se celková hmotnost M = ∑ m v ;  -““- celková hybnost ∑ p v, kde p v = m v v. Nepružná srážka dvou částic  V soustavě S má před srážkou :  první koule rychlost v  druhá koule rychlost 0  po srážce mají obě koule společnou rychlost w.  Soustava S’ má vůči S rychlost v FyM - Obdržálek 43/48

Nepružná srážka dvou částic  p = m v v + m 0 0 = M w w  M w = m v + m 0, takže  m v v = ( m v + m 0 ) w, odkud  w = vm v /( m v + m 0 ) Lorentzova transformace: S S’S’ v w -v -w mvmv m0m0 MwMw MwMw mvmv m0m FyM - Obdržálek 44/48

Nepružná srážka dvou částic Relativistická hmotnost m: FyM - Obdržálek 45/48 vykrátíme v, vynásobíme ( m 0 +m v ) vynásobíme ( m 0 +m v ) roznásobíme, odečteme m 0 m v

Klidová hmotnost m 0  Veličinu m v značíme prostě m. Platí m = γ m 0 a hraje v relativitě roli (setrvačné) hmotnosti m částice z klasické mechaniky, měřené při rychlosti v.  V různých systémech S je m různě velká; nejmenší je v systému, kde částice stojí ( v = 0).  Tato veličina m 0 =m / γ, tj. klidová hmotnost, je proto nezávislá na rychlosti v částice pohybující se vůči S, a je tedy invariantem FyM - Obdržálek 46/48

Čtyřhybnost P = m 0 U  Protože vlastní čas τ je invariantem (je stejně velký v různých systémech S ), je časová změna (počítaná podle vlastního času) čtyřhybnosti částice čtyřvektorem, a má stejný význam v každém S.  Toto nám umožňuje formulovat relativisticky invariantní pohybovou rovnici relativistické mechaniky: FyM - Obdržálek 47/48

Další pohybové zákony STR  2NZ: Časová změna čtyřhybnosti částice (podle vlastního času) je rovna výsledné čtyřsíle působící na částici.  Druhý Newtonův zákon (s časovou změnou čtyřhybnosti) tedy platí i ve STR.  Pro úplnost: 3NZ (zákon akce a reakce) zůstává rovněž v platnosti, pokud akce i reakce působí v tomtéž místě.  „Přesouvání sil“ v rámci tuhého tělesa však není možné, protože STR vylučuje pojem tuhého tělesa FyM - Obdržálek 48/48 Děkuji vám za pozornost