Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen 2007 - FI MU1 Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát …

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen 2007 - FI MU1 Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát …"— Transkript prezentace:

1 Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen FI MU1 Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát … od brachistochrony k variační posloupnosti …

2 Richard P. Feynman …. Přírodní zákony mají obvykle matematickou podobu. Proč lze přírodní zákony vtělit do matematického tvaru, je záhada. O smyslu bytí. AURORA, 2000 Co je to matematická fyzika ?

3 3 Příroda zná variační princip Izoperimetrický problém ( Archimédes, Aristoteles) A B Nejkratší spojnice bodů na kouli Fermatův princip (17. stol.) α α β A B g Brachistochrona (1696) L=konst S=max

4 Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen FI MU4 Brachistochrona chronos – čas brachys – krátký brachistos – nejkratší Galileo Galilei (1638) Johann Bernoulli (1696) Johann Bernoulli Jacob Bernoulli Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz Guillaume l’Hospital Ehrenfried Tschirnhaus Groningen – 14 x 12 x 7,5 metru

5 Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen FI MU5 Brachistochrona - řešení Křivka, která spojuje dva dané body A a B v homogenním tíhovém poli tak aby volně puštěné těleso dorazilo z bodu A do bodu B v nejkratším čase. y x A B y dsds y = y(x) … ?

6 Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen FI MU6 Variační problém Variační funkcionál Zobrazení definované na množině M křivek (ploch,….) integrálem Variační problém Kritické body F(C) C C+δC

7 7 Variační princip ve fyzice Variační princip klasické mechaniky Skutečnými trajektoriemi částic nebo jejich soustav jsou ty, podél nichž nabývá jistý integrál (variační funkcionál) zvaný akce stacionární hodnoty. Variační princip teorie pole – pohybové rovnice

8 8 Příklady Mechanika 1. řádu Teorie pole (mechanika kontinua) 0 x(t) x (x) (u) nevariačnost

9 9 Matematická formulace variačních teorií geometrická struktura podkladových prostorů geometrické objekty pro popis veličin variační ekvivalence triviální variační problém variačnost pohybových rovnic (inverzní problém) integrabilita lokálnost a globálnost

10 10 Podkladové prostory Fibrované variety a jejich prodloužení π r,1 π 1,0 π x γ(x) J 1 γ(x) X … báze (prostor parametrů, čas) dim X = n, např. X = R n Y … totální prostor dim Y = n +m, např. Y = R n+m {x} x R m … (konfigurační prostor) J 1 Y … první prodloužení Y dim J 1 Y = n +m+nm {x} x R m x R nm … (fázový prostor) Ω J r γ(x)

11 11 Souřadnicové systémy Fibrované systémy na Y Asociované systémy na X Asociované fibrované systémy na J r Y V V _

12 Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen FI MU12 Geometrické objekty – I Vektorová pole π r – projektabilní π r – vertikální x γ π ξ ξ0ξ0 vertikální

13 13 Geometrické objekty - II Diferenciální formy (antisymetrická tenzorová pole na J r Y ) horizontální kontaktní jednoznačný rozklad ξ1ξ1 ξ2ξ2 ξ3ξ3

14 14 Variační funkcionál Lagrangeova struktura r – tého řádu Akce, stacionární body Ω γ γτγτ

15 15 Obecné problémy variačnosti Triviální variační problém Najít jádro E-L zobrazení všechny lagrangiány r – tého řádu s identicky nulovými E-L výrazy (levé strany pohybových rovnic) Klasické řešení v mechanice: Inverzní variační problém Kritéria, zda dané pohybové rovnice vzešly z variační úlohy „variační“ zobecněné síly, podmínky pro „hmotnosti“, lagrangián

16 Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen FI MU16 Variační ekvivalence Variační irelevance kontaktní formy E-L zobrazení, irelevance vnější derivace kontaktní formy, Lepageův ekvivalent

17 17 Variační ekvivalence forem Ekvivalence q-forem – fyzikální motivace Zobecnění ekvivalence

18 18 Exaktní posloupnosti Exaktní posloupnosti: homomorfismy abelovských grup De Rhamův komplex d 2 =0 Faktorizace podle normální podgrupy GjGj G j+1 G j+2 hjhj h j+1 d d d d d Im h j =Ker h j+1

19 19 0  0 r  d 1  r d... dd P  r 2  r d  r P+1  r N... ddd 0 Variační posloupnost 00 d 1  r d... dd 2  r P  r d  r 2  r / F  r 1  r / F P  r P  r / F P E 0 E P E 2 E 1 E P- 1

20 Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen FI MU20 „Fyzikální“ část VP Ε: λ → Ε λ Η: E → H E trivial Lagrangians n-forms(n+1)-forms(n+2)-forms dynamical formsE-L formsH-S forms

21 Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen FI MU21 Aplikace – variační síly Odvoditelnost pohybových rovnic z variačního principu  podmínky kladené na koeficienty rovnic. Klasická částice Variační síla „lorentzovského typu“ zahrnuje Lorentzovu sílu i všechny typy setrvačných sil a splňuje Maxwellovy rovnice.

22 22 Vlastní výzkum Reprezentace variační posloupnosti formami I. Anderson Reprezentace variační posloupnosti v teorii pole (dim X > 1) na nekonečných jetech D. Krupka, J. Musilová, M. Krbek, J. Kašparová, J. Volná Reprezentace VP v mechanice (dim X = 1) na konečných jetech (vhodné pro fyziku) M. Krbek, J. Musilová Kompletní řešení problému reprezentace v teorii pole vyššího řádu na konečných jetech D. Krupka, J. Volná Alternativní řešení pro speciální případy

23 23 Závěr – perspektivy PV Richard P. Feynman Takové principy fascinují a vždy stojí za to poznat, do jaké míry jsou obecné. Přednášky z fyziky 2. FRAGMENT, 2001 Příroda respektuje variační princip Hezké fyzikální teorie jsou variační. Proto má smysl rozvíjet pro ně matematický aparát.


Stáhnout ppt "Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát Informatické kolokvium 23. říjen 2007 - FI MU1 Variační teorie ve fyzice a jejich současný aparát …"

Podobné prezentace


Reklamy Google