© Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA Č ASOVÝCH Ř AD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.

Prezentace na téma: "© Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA Č ASOVÝCH Ř AD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc."— Transkript prezentace:

1 © Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA Č ASOVÝCH Ř AD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz

2 © Institut biostatistiky a analýz II. PRINCIPY TOHO, JAK NA TO

3 © Institut biostatistiky a analýz ZÁV Ě RY Z MINULA časová řada = deterministická složka + + nedeterministická (náhodná) složka (koncept Hermana Wolda (1938) - A Study in the Analysis of Stationary Time Series)  není konečná energie  neexistuje Fourierův integrál  výkonový koncept spektrální hustota výkonu – power spectral density (PSD)

4 © Institut biostatistiky a analýz H ERMAN O LE A NDREAS WOLD * 25.12.1908 – Skien, Norsko  16.2. 1992 – Gothenburg, Švédsko oblasti zájmů: matematická ekonomie, ekonometrie, statistika, analýza časových řad školitel: Harald Cramér na čem se podepsal: Cramérův-Woldův teorém, Woldova dekompozice časových řad, metoda parciálních nejmenších čtverců; teorie užitku, teorie spotřebitelské poptávky

5 © Institut biostatistiky a analýz SPOJITÝ SIGNÁL  Fourierova transformace Parsevalova věta spektrální hustota energie S xx (f)

6 © Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ HUSTOTA ENERGIE (VÝKONU) SPOJITÝ P Ř ÍPAD autokorelační funkce signálu x a (t) obě funkce tvoří Fourierovský pár u stacionární funkce ztrácíme informaci o fázi A PROČPAK ???

7 © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ SIGNÁL x(nT vz ), definovaný na nekonečném intervalu n  -  ;  ; je frekvenčně omezený na pásmo o šířce  B  vzorkovací frekvence F = 1/T vz > 2B x(nT vz ) = x a (nT vz ) = ? x(n) energie diskrétního signálu

8 © Institut biostatistiky a analýz Vztah spektra analogového a diskrétního signálu: DISKRÉTNÍ SIGNÁL Spektrální vyjádření diskrétního signálu spektrální periodicita

9 © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ SIGNÁL

10 © Institut biostatistiky a analýz REKONSTRUKCE SPOJITÉ FUNKCE předpokládejme, že je

11 © Institut biostatistiky a analýz REKONSTRUKCE SPOJITÉ FUNKCE

12 © Institut biostatistiky a analýz REKONSTRUKCE SIGNÁLU

13 © Institut biostatistiky a analýz RAYLEIGHOVA V Ě TA

14 © Institut biostatistiky a analýz J OHN W ILLIAM STRUTT, 3. BARON R AYLEIGH An Unerring Leader in the Natural Knowledge * 12. 11.1842, Maldon, Essex, U.K.  30.6.1919, Witham, Essex, U.K. oblasti zájmu: fyzikální chemie, akustika, optický a elektromagnetický rozptyl světla,povrchové vlny; psychologie - telekineze na čem se podepsal: spolu s Williamem Ramsayem objevitel argonu (Nobelova cena 1904) a dalších vzácných plynů;

15 © Institut biostatistiky a analýz

16 WIENER-KHINCHINOVA V Ě TA

17 © Institut biostatistiky a analýz А ЛЕКСАНДР Я КОВЛЕВИЧ ХИНЧИН * 7.(19.)7.1894, село Кондрово, Медынский уезд, Калужская губерния, Россия  18.7.1959, Москва, СССР zájmy: teorie pravděpodobnosti, statistika, teorie funkcí reálné proměnné, teorie čísel, limitní věty, řetězové zlomky, … na čem se podepsal: Pollaczekova-Chinčinova formule (teorie fronty),Wienerův- Chinčinův teorém, Chinčinova nerovnost (statistika, komplexní čísla), Chinčinova-Lévyho konstanta (konvergence řetězových zlomků), Chinčinova věta o diofantických aproximacích (aproximace reálných čísel pomocí racionálních čísel) ocenění: 1939 – člen korespondent AV SSSR; 1941 – Stalinova cena, ? - Leninova cena

18 © Institut biostatistiky a analýz WIENER-KHINCHINOVA V Ě TA

19 © Institut biostatistiky a analýz WIENEROVA-KHINCHINOVA V Ě TA

20 © Institut biostatistiky a analýz  z toho plyne, že spektrální hustotu energie neperiodického signálu s konečnou energií lze spočítat dvěma způsoby:  přímá metoda: S xx (f) = |X(f)| 2 = |T vz.Σx(nT vz ).exp(-2πjfnT vz )| 2  nepřímá metoda: 1) R xx (mT vz ) = T vz. Σx(nT vz ). x(nT vz +mT vz ); 2) S xx (f) = ΣR xx (mT vz ).exp(-2πjfmT vz ) DISKRÉTNÍ SIGNÁL

21 © Institut biostatistiky a analýz  z toho plyne, že spektrální hustotu energie neperiodického signálu s konečnou energií lze spočítat dvěma způsoby:  přímá metoda: S xx (f) = |X(f)| 2 = |T vz.Σx(nT vz ).exp(-2πjfnT vz )| 2  nepřímá metoda: 1) R xx (mT vz ) = T vz. Σx(nT vz ). x(nT vz +mT vz ); 2) S xx (f) = ΣR xx (mT vz ).exp(-2πjfmT vz ) SIGNÁL S KONE Č NOU ENERGIÍ - SHRNUTÍ

22 © Institut biostatistiky a analýz PRAXE  Signál konečné délky = tj. násobení signálu obdélníkovým oknem, takže počítáme spektrum signálu ve frekvenční oblasti SIGNÁL S KONE Č NOU ENERGIÍ - SHRNUTÍ

23 © Institut biostatistiky a analýz Konvoluce funkce W(f) s X(f) vyhlazuje spektrum X(f) za předpokladu, že W(f) je relativně úzké ve srovnání s X(f)  okno w(nT vz ) musí být dostatečně dlouhé Problémy:  postranní laloky  rozlišení dvou frekvenčních pásem SIGNÁL S KONE Č NOU ENERGIÍ - SHRNUTÍ

24 © Institut biostatistiky a analýz FREKVEN Č NÍ OKNA kde I 0 () je modifikovaná Besselova funkce 0. řádu 1. druhu; ω a je šířka hlavního laloku

25 © Institut biostatistiky a analýz FREKVEN Č NÍ OKNA

26 © Institut biostatistiky a analýz FREKVEN Č NÍ OKNA

27 © Institut biostatistiky a analýz VYHLAZOVÁNÍ OKNEM spektrální konvoluce obdélníkového okna (spektrum) X(f) = 1 pro |f|  0,1; X(f) = 0 pro |f| > 0,1; Blackmanova okna N = 61 obrazu obdélníka (N=61) a …

28 © Institut biostatistiky a analýz SIGNÁL S KONE Č NOU ENERGIÍ - P Ř ÍKLADY

29 © Institut biostatistiky a analýz SIGNÁL S KONE Č NOU ENERGIÍ - P Ř ÍKLADY

30 © Institut biostatistiky a analýz SIGNÁL S KONE Č NOU ENERGIÍ - P Ř ÍKLADY