Jiří Šafr jiri.safr(AT)seznam.cz

Prezentace na téma: "Jiří Šafr jiri.safr(AT)seznam.cz"— Transkript prezentace:

1 Jiří Šafr jiri.safr(AT)seznam.cz
UK FHS Historical sociology (2015+) Quantitative Data Analysis I. Descriptive statistics an exploratory univariate analysis Jiří Šafr jiri.safr(AT)seznam.cz Last revision

2 Content Analysis of quantitative data (general principles)
Two basic types of statistics / approaches Připomenutí základních pojmů – typy znaků Jednoduché popisné statistiky → univariate analysis Střední hodnoty: mode, median, mean Variance-rozptýlení dat: variance, standard deviation Další míry variability-rozptýlení (rozpětí, kvantily, špičatost, šikmost) Střední hodnoty a míry variability v programu SPSS Míry variability pro kategoriální proměnné (úvod): Směrodatná odchylka pro dichotomickou proměnnou Variační poměr – v Vlastnosti rozdělení znaků Ověření normality rozložení dat Na co si dát v datech pozor Standardizace na z-skóre

3 Analýza kvantitativních dat
Předmětem statistického zkoumání jsou hromadné jevy: výskyt vlastností u velkého počtu prvků – statistických jednotek (osoby, organizace, události,…) Jejich vlastnosti vyjadřují statistické znaky (= proměnné): kvantitativní (číselné)/ kvalitativní (slovní). Získání dat pomocí šetření: - úplné-vyčerpávající - výběrové (pouze u části populace → výběrový soubor, který reprezentuje základní soubor) [Cyhelský, Hustopecký, Závodský 1978]

4 Dva základní typy statistiky/ přístupy ve statistice
Popisná statistika: metody pro zjišťování a sumarizaci informací → grafy, tabulky, popisné charakteristiky (průměr, rozptyl percentily,..). Cílem je explorace – průzkum dat. Inferenční statistika (statistická indukce): metody pro přijímání a měření spolehlivosti závěrů o populaci založených na informacích získaných z jejího výběru (odhad parametru na základě výběru z populace). Cílem je ověřování hypotéz.

5 Proces analýzy dat musíme promyslet již ve stadiu plánování dotazníku (modelu vztahů a hypotéz).

6 Nejprve malé připomenutí základních pojmů

7 Základní pojmy Populace Základní soubor Výběrový soubor (vzorek)
Datový soubor Znak Třídění dat (jedno a vícestupňové) Absolutní četnost Relativní (poměrná) četnost Kumulativní četnost Střední hodnota Distribuce (rozdělení) hodnot proměnné

8 Typy znaků – proměnných
Kategoriální: Nominální Kategorie jsou rovnocenné (na úrovni jmen) př.: pohlaví, jména, typ rodiny, barva vlasů, profese Pořadové (ordinální) Kategorie lze seřadit do hierarchie Lze se ptát: vyšší/nižší apod., ale ne o kolik např.: spokojenost, stupeň souhlasu Kardinální (intervalové/poměrové): číselné proměnné lze se ptát větší/ menší a o kolik př.: věk, příjem, počet dětí → Různé typy znaků vyžadují v analýze odlišné přístupy (statistické míry).

9 Typy znaků – proměnných z hlediska úrovně měření
Dichotomický př: Kraj Vícekategoriální (polynomický) Kategoriální (kategorizované) Kardinální – číselné (numerické) Zdroj: adaptováno podle [Babbie 1995: 137]

10 Kardinální znaky/proměnné
Kardinální znaky rozlišujeme na: a) intervalové – nemají přirozený počátek: obsahový smysl má rozdíl ale nikoliv podíl Příklad: „Dnes je o 10 st. C tepleji“, ale ne „o 25% tepleji.“ / IQ nemá nulu b) poměrové – mají přirozený počátek (0 má význam), tudíž lze uvažovat i podíl. Příklad: „nulové“ i „dvojnásobné tržby“

11 Nominální znaky/proměnné
Nominální znaky rozlišujeme na: a) více-kategoriální – mají tři a více hodnot (např. rodinný stav: svobodný/ná; ženatý/á; rozvedený/á; vdovec/vdova) Z hlediska analýzy jsou nejobtížněji analyzovatelné a výsledky interpretovatelné. b) dichotomické – mají jen dvě hodnoty lze je kódovat 0/1: 0 má význam jev nenastal; 1 jev nastal (např. proměnná žena: 1 = žena a 0 = muž(+ostatní)) Z hlediska analýzy mají určité výhody (např. pravděpodobnost (tj. %) odpovídá průměru) Více-kategoriální lze převést na sadu dichotomických proměnných (tzv. dummy znaky).

12 Jednoduché popisné statistiky
třídění dat 1. stupně: Střední hodnoty Míry variability

13 Střední hodnoty: nominální znaky → modus
ordinální znaky → medián (aritmetický průměr) intervalové znaky → aritmetický průměr Pomocí „jednoho čísla“ vyjadřujeme vlastnost znaku → typická hodnota datové řady

14 Základní střední hodnoty (míry centrální tendence)
Modus (Mo) = kategorie s největší četností Nelze s ním provádět žádné algebraické operace. Může existovat i více modálních kategorií. Medián (Me) = hodnota, která je ve prostředku všech pozorování seřazených podle hodnot nebo jinak řečeno: Hodnota proměnné, před níž je polovina pozorování majících menší hodnotu a za níž je druhá polovina pozorování majících větší hodnotu než má medián. Při sudém počtu hodnot: průměr dvou prostředních hodnot. _ Aritmetický průměr (X) = součet hodnot dělený počtem pozorování Pro symetrické rozložení hodnot je Mo = Me = X

15 Modus (mode) [Babbie 1995]

16 Medián Poznámka: zde je důležité, aby hodnoty znaku byly seřazeny.
Máme 31 případů (žáků) seřazených podle věku, tj. medián je uprostřed (16. žák): 50 % případů je pod a 50 % nad ním. Zde je medián zároveň modusem i průměrem. [Babbie 1995]

17 Průměr [Babbie 1995]

18 Střední hodnoty a jejich limity
Střední hodnota → popis rozložení hodnot znaku „pomocí jednoho „typického“ čísla“ – těžiště uspořádání hodnot znaku To má pochopitelně limity: - jedno číslo k popisu znaku většinou nestačí (málokdy mají všechny případy přibližně stejnou hodnotu) - neříká nic o variabilitě – rozptýlení dat - moc se nehodí pro kategoriální znaky (→ místo modusu ukazujeme raději celou distribuci hodnot v %) Proto je vždy používáme zároveň s údaji o variabilitě, rozptylu → “kvalitativní“ informace

19 Základní charakteristiky variability → „Kvalitativní“ charakteristika středních hodnot (u kardinálních-číselných znaků) Rozptyl = střední hodnota kvadrátů odchylek od střední hodnoty Směrodatná odchylka = odmocnina z rozptylu náhodné veličiny (na rozdíl od rozptylu je v původních jednotkách proměnné) Výběrová směrodatná odchylka (dtto ale ve výběrovém souboru → malinká úprava ve vzorci, logicky jde o odmocninu z výběrového rozptylu) Jak uvidíme dále variabilitu hodnot proměnné lze popsat i podrobněji pomocí dalších měr.

20 Charakteristiky variability kardinálních znaků: Rozptyl a Směrodatná odchylka
Udávají koncentraci nebo rozptýlení kolem střední hodnoty. Ukazují na „kvalitu“ průměru. Rozptyl (σ2) = součet kvadratických odchylek od průměru dělený rozsahem výběru (pokud jde o výběrový soubor tak navíc zmenšeným o 1) (anglicky Variance) Směrodatná odchylka (σ) = odmocnina z rozptylu (anglicky Standard Deviation – STDDEV) Směrodatná odchylka je míra rozptýlení hodnot od průměrné (střední) hodnoty vyjádřená v původních hodnotách, v nichž proměnnou měříme (např. u věku v letech). Naproti tomu samotný rozptyl je bezrozměrný a špatně se tak interpretuje. Existují také míry variability pro kategoriální (nominální) znaky, viz dále.

21 Výpočet směrodatné odchylky
pozorování: 2 5 4 3 1 8 6 7 odchylky od prům.: -2 -1 -3 čtverce odchylek 9 16 Máme pozorování: součet řady = 40; počet případů n = 10; průměr = 40/10 = 4 odchylky od průměru (X=4): (součet odchylek je 9 – 9 = 0) čtverce odchylek: součet čtverců odchylek = 52 průměrná čtvercová odchylka tj. rozptyl σ2= 52/10= 5,2 směrodatná odchylka (odmocnina z rozptylu) s = 2,28 Existují dva vzorečky: pro populační směrodatnou odchylku (zde – pro celou populaci) a pro výběrovou, tj. jen pro vzorek z populace, v níž je ve jmenovateli místo „n „n-1“.

22 Výpočet směrodatné odchylky (př. 2)
Obdobné jako předchozí příklad, ale vynechali jsme jedno – poslední pozorování (n=9). Příklad 2. Máme pozorování: Součet řady = 33; n = 9; průměr = 33/9 = 3,66 odchylky od průměru: -1,66 1,34 0,34 -0,66 -2,66 4, ,66 2,34 -1,66 součet odchylek je = 0 čtverce odchylek: 2,76; 1,80; 0,12; 0,44; 7,08; 18,84; 2,76; 5,48; 2,76 součet čtverců odchylek = 42,04 průměrná čtvercová odchylka tj. rozptyl = 42,04 /9= 4,67 směrodatná odchylka (odmocnina z rozptylu) = 2,16

23 Příklad k procvičení DATA: Věk AKD1 LS 2012 Porovnejte střední hodnoty (průměr, medián) a směrodatnou odchylku u skupin studentů z Denního a Kombinovaného studia Denní 23 25 24 22 Kombinované 33 30 48 25 31 46 49 38 26 28

24 Směrodatná odchylka v Excelu
STDEVPA pro základní soubor STDEVA pro výběrový soubor V SPSS je výpočet pro výběrovou směrodatnou odchylku StD (tj. pro vzorek z populace).

25 Další popisné statistiky - variabilita
Pro kardinální (číselné) proměnné Minimum / maximum Rozpětí (= max - min) Kvantily: dolní a horní kvartil → mezikvartilové rozpětí (jsou ale jiné členění do stejně početně zastoupených skupin, např. tercily (33 % / 33 % / 33 %), decily (10 % / 10 % …) Koeficienty šikmosti (Skewness) Koeficienty špičatosti (Kurtosis) Variační koeficient (= podíl směr.odchylky a průměru) Pro kategoriální proměnné míry variability (variační koeficient a jeho varianty) – viz AKD II. 9. Míry variability: variační koeficient a další indexy

26 Různé typy proměnných a odpovídající popisné statistiky (střední hodnoty, míry variability, grafy, …) Zdroj: [Rachad 2003: 81].

27 Střední hodnoty a míry variability v SPSS
K dispozici máme více možností, např. pomocí příkazů: FREQUENCIES, MEANS, DESCRIPTIVES a EXAMINE. FREQUENCIES vek /STATISTICS MEAN STDDEV MEDIAN MODE. *průměr, směrodatná odchylka, medián a Modus (v rámci STATISTICS) + tabulka frekvencí (počty a %), kterou lze vypnout pomocí přidání /FORMAT NOTABLE. MEANS vek /CELLS MEAN STDDEV MEDIAN COUNT. *průměr, směrodatná odchylka, medián a počet platných případů. DESCRIPTIVES vek. *průměr, směrodatná odchylka, počet platných případů; vhodné pro porovnání hodnot u více proměnných (bohužel neumí medián). EXAMINE vek /PLOT NONE. *velké množství statistik pro střední hodnoty a variabilitu, zde (PLOT NONE) bez grafů.

28 Střední hodnoty a míry variability v SPSS (output)
Frequencies Means Descriptives Explore

29 Směrodatná odchylka pro dichotomickou proměnnou (podíl)
Variance = p*q kde p (resp. q) je pravděpodobnost (tj. p = % / 100). Směrodatná odchylka = √p*q nebo √p(1-p) Příklad: p = 0,29 q = 0,71 StD = √0,29*0,71 = 0,45 Poznámka: Všimněte si, že hodnota rozptyl/StD je zcela závislá na hodnotě parametru (%). Pokud máme hodnoty dichotomické proměnné kódovány jako 0/1 (např. 0=nepracuje, 1=pracuje), pak lze v SPSS použít výpočet pro kardinální znak, např. Descriptives (vzorec není ale stejný – výsledek se může nepatrně lišit).

30 Kvantily Kvantily (obecně) → členění do stejně početně zastoupených skupin Tercily: tři skupiny (33 % / 33 % / 33 %) Decily: deset skupin (10 % / 10 % …) Kvartily: čtyři skupiny (25 % / 25 % / 25 % / 25 %) → mezikvartilové rozpětí: rozdíl horního a dolního kvartilu (x75 – x25) Zobrazujeme je (spolu s mediánem) v Boxplotu → jejich poloha ukáže na zešikmení (čím blíže je H nebo D kvartil k mediánu, tím větší zešikmení) Určení kvantilů v SPSS pomocí NTILES: FREQUENCIES vek /NTILES (4). *číslo v závorce určuje, pro kolik stejných skupin chceme určit hranice hodnot (na jejich základě můžeme dále rekódovat kardinální-spojitý znak na ordinální-kategoriální).

31 Boxplot – vousaté krabičky: vizualizace distribuce
KVARTILY dělí statistický soubor na desetiny: dolní Q0,25 (Q1) a horní Q0,denní5 (Q3) Interkvartilové rozpětí: HH = horní kvartil + 1,5 násobku interkvartilového rozpětí DH = dolní kvartil + 1,5 násobku interkvartilového rozpětí

32 Variabilita hodnot u nominálního znaku
Na rozdíl od kardinálních-numerických znaků tvar rozložení nedává smysl (v histogramu), protože kategorie nemají žádný číselný - hierarchický význam. (u ordinálních znaků tvar rozložení ovšem určitou informaci podává). Variabilita znaku je dána rozptýleností / koncentrací podílů (%) v jednotlivých kategoriích (nulová je tehdy jsou-li kategorie % stejně zastoupené).

33 Míry variability pro kategoriální proměnné poněkud složitější situace (než u kardinálních znaků), zde jen úvod (v, D) pro nominální proměnné: Variační poměr – v Nominální rozptyl – D (nomvar) (~ Giniho koeficient) → relativní počet všech dvojic, které nejsou ve stejné kategorii Normalizovaný nominální rozptyl (norm. nomvar nebo IQV) Entropie – H Normalizovaná entropie – H* pro ordinální proměnné: Ordinální rozptyl - dorvar Variační koeficient a jeho varianty – viz AKD II. 9. Míry variability: variační koeficient a další indexy Viz také

34 Vlastnosti měr variability kategoriálních znaků
Čím vyšší hodnota tím vyšší heterogenita souboru Jsou rovny nule, když je celý soubor soustředěn do jedné kategorie (nulové rozptýlení) → úplná homogenita Maximální hodnota = rovnoměrné rozložení dat (kategorií) → úplná heterogenita Ukazují do jaké míry, jsou data koncentrována kolem své charakteristické hodnoty (→ modální kategorie), tj. jak moc je tato hodnota typická pro celý soubor. Zdroj: [Řehák, Řeháková 1986: 66-69]

35 Variační poměr – v Nejjednodušší míra variability.
Pokud je více modálních kategorií uvažujeme nejvyšší četnost pouze jednou. Výhodou v je jednoduchost výpočtu. Nevýhodou v je, že je založeno pouze na modální četnosti (normvar – D je pracnější,ale odráží celou strukturu tabulky). Zdroj: [Řehák, Řeháková 1986: 66]

36 Příklad: Variační poměr – v (DATA)
[Řehák, Řeháková 1986: 68-70; Agresti, Agresti 1978]

37 Příklad: Variační poměr – v
Způsob získávání denního tisku u pravidelných čtenářů, pro Periodikum J (N = 1289) Předplácí Kupuje K disp. v práci Půjčuje si Získává jinak Celkem N % z celku 48,3% 24,1% 6,9% 16,4% 43,0% 100 116 8,9 lze spočítat v Excelu: v = 1 – (56,028 / 116) = 0,517 V může sloužit k porovnání variability rozložení několika znaků (např. zde různých periodik) nebo podskupin v třídění 2.stupně (podobně jako Směrod.odchylka u kardinálních znaků). Zde způsoby získávání u různých periodik: např. periodikum J (v=0,517) má dvojnásobný variační poměr než periodikum H (v=0,224), tj. způsoby jeho získávání jsou mnohem variabilnější (všimněte si, že u tiskoviny H představuje modus „Kupuje“ celých 77,6 %). Zdroj: [Řehák, Řeháková 1986: 68-69]

38 Nominální variance (nomvar) Index diversity (D)
nomvar nebo D Kde: p – podíl pozorování v dané i-té kategorii → podíl všech dvojic jednotek, které nemají stejnou hodnotu znaku nebo také → pravděpodobnost, že dva náhodně vybraní jedinci z populace budou patřit do rozdílných kategorií. Index je tím vyšší, čím více je kategorií a čím více jsou pozorování rozptýlena rovnoměrně v těchto kategoriích. [Řehák, Řeháková 1986: 68-70; Agresti, Agresti 1978]

39 Více k varianci kategoriálních znaků v AKD II. http://metodykv. wz
SPSS míry variability pro kategoriální proměnné neumí, ale na již hotovou tabulku (FREQUENCIES) lze v outputu použít skript Míry variability pro kategorizované proměnné

40 Vlastnosti rozdělení znaků
popisná statistka pro kardinální znaky v grafickém znázornění

41 Symetrie, variabilita Vlastnosti rozložení hodnot znaku, jsou dány střední hodnotou (průměrem) a rozptylem hodnot [Hanousek, Charamza 1992: 21]

42 Bimodální (dvouvrcholové) rozložení
Proměnnou nejlépe reprezentují dvě střední hodnoty (průměry). Zdroj: [Howell 2011: 52]

43 Šikmost a špičatost → odchylky od symetrie (šikmost) a variability (špičatost/plochost) [Hanousek, Charamza 1992: 21]

44 Normální rozložení hodnot a směrodatná odchylka
Rozložení hodnot (tvar křivky) je dán průměrem a rozptylem. Zde jde o normované (standardizované) normální rozdělení, kde μ=0 a σ=1 Platí, že v ploše pod křivkou vymezené +/- 1 směrodatnou odchylkou od průměru je 68 % případů (cca 2/3). Jde o teoretické rozložení hodnot, v praxi vždy dochází k nějaké odchylce od tohoto normálního rozložení. Pro většinu analýz kardinálních znaků (např. průměr nebo korelace) potřebujeme, aby se rozložení proměnných co nejméně odchylovalo od tohoto tvaru (gaussovy křivky).

45 A k čemu variance–variabilita dat (směrodatná odchylka) je?
Směrodatná odchylka ukazuje na to, jak „kvalitně“ popisuje průměr data. (nulová STDEV = všechny případy mají stejnou hodnotu, tj. průměr) → uvádíme-li průměr, tak vždy uvedeme i směrodatnou odchylku (StDev) Distribuci hodnot – varianci v datech musíme věcně interpretovat (StdDev, míry šikmosti, percentily, …). Před výpočty u numerické proměnné (korelace, průměr, …) ověřujeme rozložení hodnot, zda se (výrazněji) nevychyluje od normálního rozložení. A pro výběrová data, tj. náhodný(!) vzorek z populace platí: Normální rozdělení je vlastně zákonem chyb měření (a to i těch o nichž nevíme, tj. přímo jsme je neměřili). A na tom jsou postaveny principy inferenční statistiky (testování hypotéz). Směrodatná odchylka slouží k výpočtu Standardní chyby (S.E.) → kvantifikace chyb měření (výběrové chyby)

46 Význam variance hodnot znaků
Zjednodušeně řečeno: naším záměrem je, aby v datech–proměnné byla „dostatečná“ variabilita (tj. proměnlivost hodnot), která bude nenáhodná, tj. budeme ji schopni (většinou pomocí dalších „nezávislých“) proměnných vysvětlit. Pokud je variabilita prakticky nulová (či pouze náhodná), pak není co vysvětlovat (to v podstatě platí i, pokud je naopak extrémně vysoká). A abychom v datech dosáhli „dostatečné“ variability, to je úkol již pro přípravné fáze výzkumu (formulace modelu vztahů (výzkumných otázek/hypotéz) → rozhodnutí o zahrnutí indikátorů/proměnných, jejich operacionalizace, stanovení jednotek sběru dat a analýzy, velikosti a metodě výběru …).

47 Na co si dát v datech dát pozor
Variance a střední hodnoty

48 Vzájemná poloha průměru a mediánu

49 Průměr a rozptyl nejsou všechno!
Ve všech čtyřech případech je stejné: maximum 170 průměr 85 směrodatná odchylka 25,8 Výsledek testu (interval hodnot) případ 1 případ 2 případ 3 případ 4 20-29 1 - 30-39 4 2 40-49 6 5 12 50-59 8 10 34 60-69 16 70-79 17 80-89 18 90-99 7 3 šikmost 0,00 0,57 špičatost -0,43 0,18 -1,23 -1,77 Zdroj: [Hanousek, Charamza 1992: 38-39]

50 Variabilita rozložení hodnot - doporučení
kardinální znaky Průměr a směrodatná odchylka nestačí, uvádějte ještě alespoň medián (vztah průměru a mediánu ukazuje na směr vychýlení) Grafické znázornění variability → Histogram (případně boxplot) Pokud chceme variabilitu popsat čísly: Koeficienty šikmosti (Skewness) a špičatosti (Kurtosis) nebo mezikvartilové rozpětí (rozdíl horního a dolního kvartilu) Vždy věnujeme nejprve pozornost extrémním hodnotám. kategoriální (nominální) znaky Tabulka frekvencí (s %) nebo graficky → Barchart

51 Ověření normality rozložení dat
Histogram → vizuálně orientačně Podrobněji a přesněji: Q-Q graf (quantile-quantile): ukazuje kvantily pozorované distribuce proměnné proti kvantilů zvolené distribuční funkce Normálně rozložená data → přímkový charakter v SPSS: Analyze, Descriptive statistics, Q-Q plots Kolmogorov-Smirnov test: H0 = data jsou normálně rozložena, Pozor na interpretaci výsledku: nízké! p (< 0,05) → distribuce dat se statisticky signifikantně lišší od normální distribuce. v SPSS: Analyze, Nonparametric Tests, 1-Sample K-S... Dojde-li k porušení normality rozložení → rekódování, transformace (např. logaritmická), použití neparametrických metod

52 Rozložení četností a Q-Q graf

53 Standardizace na z-skóre odstranění původní metriky u kardinálních-číselných znaků
Z – skóry: průměr X=0 a StD =1 V transformované proměnné je aritmetický průměr roven nule a směrodatná odchylka je jedna. Odchylka od průměru / směrodatnou odchylkou: Od každého pozorování odečteme průměr a vydělíme směrodatnou odchylkou. z-skóre = kolik standardních odchylek je danná hodnota vzdálena od střední hodnoty (aritmetického průměru) Většina nově transformovaných hodnot je v rozmezí od -3 do 3. → umožňuje porovnat znaky s odlišnou metrikou.

54 Standardizace na z-skóre
V SPSS jednoduše pomocí Descriptives přidáním SAVE: DESCRIPTIVES var1 /SAVE. V datech vznikne proměnná automaticky pojmenovaná Zvar1 (v Labelu je uvedeno „Zscore:“ a původní pojmenování) Pozor: Proměnná musí mít přibližně normální rozložení! (kontrolujeme aspoň vizuálně pomocí Histogramu) Pokud ne, pak lze transformovat na percentily. Existují i jiné principy standardizace dat, např. přímá standardizace.

55 Některé webové nástroje pro analýzu
Index of On-line Stats Calculators Exact r×c Contingency Table: Statistical Calculations R. Webster West applets Učebnice: Interstat - hypertextová interaktivní učebnice statistiky pro ekonomy Statnotes: Topics in Multivariate Analysis, by G. David Garson StatSoft - Elektronická učebnice statistiky (anglicky) Více na webu v sekci Webové nástroje pro analýzu dat

56 Nejprve se ptej, k čemu analýza tvá má sloužit, potom teprv výběrem metody dej se soužit.
[Hanousek, Charamza 1992 : 61]

57 → dvourozměrná (a vícerozměrná) analýza, elaborace vztahů …
Jednorozměrnou analýzou tj. tříděním dat prvního stupně (univariate analysis) to teprve vše začíná … → dvourozměrná (a vícerozměrná) analýza, elaborace vztahů … A navíc, pokud máme výběrová data → inferenční statistika (intervalové odhady, statistické testování hypotéz, …)

58 Literatura Babbie, E The Practice of social Research. 7th Edition. Belmont: Wadsworth. → kapitola 15 – Elementary Analyses. de Vaus, D., A. (1985) Surveys in Social Research, Fifth Edition. St Leonards NSW: Allen & Unwin / London: Routledge. → kapitola 13 – Univariate analysis. Disman, M Jak se vyrábí sociologická znalost. Praha: Karolinum. → kapitola 8 – Já ti to spočítám aneb statistika pro úplně beznadějné případy (jen do st. 195). Hanousek, Charamza Moderní metody zpracování dat. Matematická statistika pro každého. Praha: Grada. Řehák, J., B. Řeháková Analýza kategorizovaných dat v sociologii. Praha: Academia. Howell, D. C Fundamental Statistics for the Behavioral Sciences. Belmont: Wadsworth.