Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Obsah přednášky : Doba studia : asi 1,5 hodiny Cíl přednášky : seznámit studenty se základními zákonitostmi kinematiky bodu úvod do dynamiky, kinematika.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Obsah přednášky : Doba studia : asi 1,5 hodiny Cíl přednášky : seznámit studenty se základními zákonitostmi kinematiky bodu úvod do dynamiky, kinematika."— Transkript prezentace:

1 Obsah přednášky : Doba studia : asi 1,5 hodiny Cíl přednášky : seznámit studenty se základními zákonitostmi kinematiky bodu úvod do dynamiky, kinematika bodu, základní kinematické veličiny a vztahy mezi nimi, pohyb rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrný Základy mechaniky, 11. přednáška Kinematika bodu.

2 dynamika kinematika jen pohybpohyb a síly Zabývá-li se dynamika vztahem mezi pohybem a silami, pak je účelné zkoumat nejprve samotné zákonitosti pohybu a teprve pak se ptát na závislost na silách. Kinematika se zabývá zákonitostmi pohybu. Vztahem mezi základními kinematickými veličinami, t.j. časem, dráhou, rychlostí a zrychlením. Dynamika se zabývá vztahem mezi základními veličinami dynamiky, t.j. hmotou, pohybem a silami. Základy mechaniky, 11. přednáška

3 Kinematika - nauka o pohybu Kinematika se zabývá popisem a vyšetřováním pohybu bodu, tělesa nebo soustavy těles. Pohybem rozumíme změnu polohy v čase. Polohou je míněna poloha v prostoru, ve kterém se bod nebo těleso nachází. Prostor je spojitý (bod může v prostoru zaujmout jakoukoliv polohu). Trojrozměrný prostor - směr dopředu-dozadu, doprava-doleva, nahoru-dolů. Dvourozměrný prostor - rovina, obecně však jakákoliv plocha. Jednorozměrný prostor - křivka, ve zvláštním případě přímka. V trojrozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně určena třemi souřadnicemi. Ve dvourozměrném prostoru je poloha bodu určena dvěma souřadnicemi. V jednorozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně dána jedinou souřadnicí. Čas je jednorozměrná, spojitá, skalární veličina, jeho změna je nezávislá, plyne rovnoměrně vždy dopředu a je absolutní, tedy pro všechna tělesa a pro všechny pozorovatele společný. Základy mechaniky, 11. přednáška

4 Jedním ze základních pojmů kinematiky a mechaniky je stupeň volnosti. Pohyblivost jakéhokoliv objektu je dána počtem stupňů volnosti. „Možný pohyb“- není důležité, zda pohyb skutečně nastane. Důležité je, že může nastat (nic mu nebrání). „Nezávislý pohyb“- mezi dvěma pohyby, jež představují dva stupně volnosti, nesmí platit žádný explicitní vztah, daný vnějšími okolnostmi. z y x x y Stupeň volnosti je možný nezávislý pohyb. Hmotný bod je vázán ke kruhové trajektorii. Vykonává pohyb ve dvou směrech - x a y. Pohyb v jednom směru (např. y) však je určen pohybem v jiném směru (x). Jen jeden z těchto pohybů je nezávislý, bod má jeden stupeň volnosti. Hmotný bod padá volným pádem v prostoru. Padá svisle dolů. Ale mohl by se pohybovat i ve dvou vodorovných směrech (třeba kdyby zafoukal vítr). Může tedy vykonávat tři pohyby, má tři stupně volnosti. {nezávislá souřadnice} Základy mechaniky, 11. přednáška

5 bodtěleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) až 3° volnosti pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Hmotný bod, jehož pohyb je pevně vázaný na danou křivku (dráhu, trajektorii), má 1º volnosti. Může se pohybovat pouze daným směrem. Například pohyb vlaku je vázán k dané trajektorii - ke kolejím. Navlékneme-li korálek na drát, bude jeho pohyb vázán k dané trajektorii. Základy mechaniky, 11. přednáška

6 bodtěleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) až 3° volnosti pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Hmotný bod, jenž se může pohybovat v rovině nezávisle ve dvou směrech, má 2º volnosti. Rugbyový míč, vržený hráčem, se pohybuje nezávisle ve směru vodorovném a svislém. Rovinnost plochy, k níž je vázán pohyb bodu, není nutnou podmínkou. Turista, toulající se po horách, mění svou polohu ve třech směrech. Jeho nadmořská výška však není nezávislá, závisí na jeho geografických souřadnicích. Má tedy 2º volnosti. je-li pohyb bodu omezen vazbami, má méně stupňů volnosti Základy mechaniky, 11. přednáška

7 bodtěleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) až 3° volnosti pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Hmotný bod, jenž se může pohybovat v prostoru nezávisle ve třech směrech, má 3º volnosti. Zafouká-li boční vítr, rugbyový míč se vychýlí z roviny, v níž byl vržen. Bude nezávisle měnit svou polohu jak ve svislém směru (nahoru a dolů), tak ve dvou vodorovných směrech (dopředu a do strany). Poloha letadla, sledovaného střediskem letového provozu, je dána dvěma geografickými souřadnicemi a nadmořskou výškou. Má 3º volnosti. je-li pohyb bodu omezen vazbami, má méně stupňů volnosti Základy mechaniky, 11. přednáška

8 bodtěleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) až 3° volnosti pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Těleso, konající rovinný pohyb, se může pohybovat nezávisle ve dvou směrech a může se otáčet. Má 3º volnosti. Lodička na hladině může plout dopředu a do stran a může se otáčet. pohyb ve směru osy y pohyb ve směru osy x rotace okolo osy z z x y všechny pohyby současně Základy mechaniky, 11. přednáška

9 bodtěleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) až 3° volnosti pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Koule se pohybuje vodorovně kupředu a současně se otáčí (nezávisle na dopředném pohybu). Svislý pohyb je znemožněn vazbou. Má tedy 2º volnosti. je-li pohyb tělesa omezen vazbami, má méně stupňů volnosti Základy mechaniky, 11. přednáška

10 bodtěleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) až 3° volnosti pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Mince se valí bez prokluzu po vodorovné podložce. Svislý pohyb je znemožněn vazbou. Mince se pohybuje vodorovně kupředu a současně se otáčí. Tyto pohyby však nejsou nezávislé (protože nedochází k prokluzu). Otočí-li se mince jednou dokola (o 360º), posune se kupředu o dráhu přesně rovnou obvodu mince. Jen jeden z obou pohybů je nezávislý - mince má 1º volnosti. je-li pohyb tělesa omezen vazbami, má méně stupňů volnosti Základy mechaniky, 11. přednáška

11 bodtěleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1° volnosti pohyb určitým směrem v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) až 2° volnosti pohyb ve dvou směrech až 3° volnosti posuvy ve dvou směrech a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu v prostoru (3 rozměrný prostor) až 3° volnosti pohyb ve třech směrech až 6° volnosti posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os Těleso volné v prostoru se může pohybovat ve třech směrech a může se otáčet okolo tří os. Má 6 º volnosti. Například helikoptéra při letu nebo družice na oběžné dráze. je-li pohyb tělesa omezen vazbami, má méně stupňů volnosti Základy mechaniky, 11. přednáška

12 bodtěleso na křivce (1 rozměrný prostor) 1 souřadnice dráha s v rovině (na ploše) (2 rozměrný prostor) 2 souřadnice x, y 3 souřadnice x, y a úhel natočení  v prostoru (3 rozměrný prostor) 3 souřadnice x, y, z 6 souřadnic x, y, z a tři úhly natočení, např. , ,  Okamžitá poloha objektu je jednoznačně určena tolika nezávislými souřadnicemi, kolik stupňů volnosti objekt má. Objekt má tolik stupňů volnosti, kolik nezávislých souřadnic je zapotřebí k jednoznačnému určení jeho polohy. Základy mechaniky, 11. přednáška

13 Pohyb bodu Pohyb bodu po dané dráze - základní kinematické veličiny. časznačímetz anglického slovatime základní jednotkou je[s]{sekunda} dalšími jednotkami jsou[min, hod,...]{minuta, hodina,...} dráha, souřadnice značímes, x, y,... základní jednotkou je[m]{metr} dalšími jednotkami jsou[cm, km,...]{centimetr, kilometr,...} rychlost značímevz anglického slovavelocity základní jednotkou je[m/s, m·s -1 ]{metr za sekundu} dalšími jednotkami jsou[km/hod]{kilometr za hodinu} zrychlení značímeaz anglického slovaacceleration základní jednotkou je[m/s 2, m·s -2 ]{metr za sekundu na druhou} Základy mechaniky, 11. přednáška

14 Veličiny čas a dráha nebudeme explicitně definovat, spolehneme se na intuitivní chápání jejich významu. Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas. Tuto rychlost nazveme střední rychlostí nebo průměrnou rychlostí. Okamžitá rychlost - nekonečně malá změna dráhy za nekonečně malý přírůstek času. Tuto limitu definuje matematika jako derivaci. Okamžitá rychlost je derivace dráhy podle času. Základy mechaniky, 11. přednáška

15 Rychlost může být kladná (vzdálenost od počátku se zvětšuje). Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas. s Základy mechaniky, 11. přednáška

16 Rychlost může být i záporná (vzdálenost od počátku se zmenšuje). Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas. s Základy mechaniky, 11. přednáška

17 Abychom snadno rozlišovali kladnou a zápornou rychlost, zavádíme pojem orientovaná souřadnice. Kladná rychlost v znamená nárůst dráhy (souřadnice), proto je kladná rychlost orientována vždy ve směru nárůstu příslušné souřadnice. Základy mechaniky, 11. přednáška

18 Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za čas. Zrychlení je zrychlení průměrné neboli střední. Okamžité zrychlení je derivace rychlosti podle času. Základy mechaniky, 11. přednáška

19 zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za přírůstek času zrychlení je derivace rychlosti podle času zrychlení je druhá derivace dráhy podle času zrychlení je rovno rychlosti, násobené derivací rychlosti podle dráhy zrychlení je rovno jedné polovině derivace kvadrátu rychlosti podle dráhy Základy mechaniky, 11. přednáška

20 Kladné zrychlení je orientováno stejně, jako kladná rychlost, tedy ve směru nárůstu souřadnice. Úplné kinematické řešení. dráha, rychlost a zrychlení jsou funkcí času rychlost a zrychlení jsou funkcí dráhy zrychlení je funkcí rychlosti Základy mechaniky, 11. přednáška

21 Shrnutí zrychlení je derivace rychlosti podle času zrychlení je druhá derivace dráhy podle času zrychlení je rovno rychlosti, násobené derivací rychlosti podle dráhy zrychlení je rovno jedné polovině derivace kvadrátu rychlosti podle dráhy rychlost je derivace dráhy podle času toto jsou obecně platné vztahy mezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením Základy mechaniky, 11. přednáška

22 Shrnutí podle toho, jak se dráha, rychlost a zrychlení mění v čase, rozlišujeme tři druhy pohybu : toto jsou obecně platné vztahy mezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením A) Pohyb rovnoměrný - rychlost je konstantní. B) Pohyb rovnoměrně zrychlený - zrychlení je konstantní. C) Pohyb nerovnoměrný. Základy mechaniky, 11. přednáška

23 A) pohyb rovnoměrný : je takový pohyb, jehož rychlost je konstantní v = konst. rychlost je konstantní, její změna (derivace) je nulová s- okamžitá dráha s 0 - počáteční dráha (v závislosti na volbě souřadného systému může být nulová) t- okamžitý čas t 0 - počáteční čas - obvykle volíme t 0 =0 toto jsou vztahy, platné pouze pro rovnoměrný pohyb (v=konst). Základy mechaniky, 11. přednáška

24 B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. řešení neurčitým integrálem t = 0... v = v 0 integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných rychlost na počátku vyšetřovaného pohybu Základy mechaniky, 11. přednáška

25 integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. řešení neurčitým integrálemřešení určitým integrálem diferenciální rovnice 1. řádu separace proměnných Základy mechaniky, 11. přednáška

26 B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. separace proměnných řešení neurčitým integrálem integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky t = 0... s = s 0 diferenciální rovnice 1. řádu dráha na počátku vyšetřovaného pohybu Základy mechaniky, 11. přednáška

27 integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. separace proměnných řešení neurčitým integrálemřešení určitým integrálem diferenciální rovnice 1. řádu Základy mechaniky, 11. přednáška

28 B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. separace proměnných řešení neurčitým integrálem integrační konstantu C určíme z počátečních podmínek t = 0... s = s 0, v = v 0 alternativní řešení diferenciální rovnice 1. řádu dráha a rychlost na počátku vyšetřovaného pohybu Základy mechaniky, 11. přednáška

29 B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. separace proměnných řešení neurčitým integrálemřešení určitým integrálem integrační konstantu C určíme z počátečních podmínek alternativní řešení diferenciální rovnice 1. řádu Základy mechaniky, 11. přednáška

30 B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. shrnutí toto jsou vztahy, platné pouze pro rovnoměrně zrychlený pohyb (a=konst). Základy mechaniky, 11. přednáška

31 B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst. Špičkové sportovní auto zrychluje z klidu na rychlost v = 100 km/hod (27,8 m/s) za čas t = 5 s. Jeho zrychlení tedy je a = 5,6 m/s 2. Dráha rozjezdu pak je s = 70 m. Základy mechaniky, 11. přednáška

32  v r y C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění. amplituda [m] frekvence [Hz] kruhová frekvence [s -1 ] perioda [s] počáteční úhel , fázový posuv [-] r t T T y  0  počet cyklů za sekundu doba jednoho cyklu Základy mechaniky, 11. přednáška

33  v r y C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění. amplituda [m] max. rychlost [m/s] max. zrychlení [m/s 2 ] t y  0  Je to kmitavý pohyb hmotného objektu na pružném uložení. r T T Základy mechaniky, 11. přednáška

34 C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. Pro jednoduchost provedeme řešení s nulovými počátečními podmínkami. y, v, a Základy mechaniky, 11. přednáška

35 C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. Pro čas, narůstající nade všechny meze, se průběh blíží ustálené hodnotě : y, v, a Základy mechaniky, 11. přednáška

36 C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. V ustáleném stavu se rychlost již nebude měnit, bude konstantní (v = v ustálená = konst). Zrychlení tedy bude nulové. y, v, a Základy mechaniky, 11. přednáška

37 C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. časová konstanta [s] y, v, a Základy mechaniky, 11. přednáška

38 C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti. separace proměnných y, v, a Základy mechaniky, 11. přednáška

39 C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.  = 6,67· kg -1 ·m 3 ·s -2 - gravitační konstanta, M = 5,98·10 24 kg- hmotnost Země, R = km- poloměr Země. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. G m Země R h na povrchu Země (y=0) : Základy mechaniky, 11. přednáška

40 C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. G m Země R y v, a h volný pád z výšky h Základy mechaniky, 11. přednáška

41 C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. G m Země R y v, a h volný pád z výšky h rychlost dopadu na Zemi : Základy mechaniky, 11. přednáška

42 C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. v, a Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. G m Země R y v0v0 svislý vrh vzhůru Základy mechaniky, 11. přednáška

43 C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst. v, a Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní. G m Země R y v0v0 svislý vrh vzhůru těleso se zastaví ve výšce htěleso se neustále vzdaluje od Země Základy mechaniky, 11. přednáška

44 Obsah přednášky : úvod do dynamiky, kinematika bodu, základní kinematické veličiny a vztahy mezi nimi, pohyb rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrný Základy mechaniky, 11. přednáška


Stáhnout ppt "Obsah přednášky : Doba studia : asi 1,5 hodiny Cíl přednášky : seznámit studenty se základními zákonitostmi kinematiky bodu úvod do dynamiky, kinematika."

Podobné prezentace


Reklamy Google