Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Agregace rizik SAV 10. 11. 2006 Iva Justová Iman – Conoverova metoda.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Agregace rizik SAV 10. 11. 2006 Iva Justová Iman – Conoverova metoda."— Transkript prezentace:

1 Agregace rizik SAV Iva Justová Iman – Conoverova metoda

2 Obsah Úvod Míry asociace IC metoda  Základní myšlenka  Teoretické odvození  Algoritmus  Referenční rozdělení Metoda normální kopuly Srovnání IC metody a metody normální kopuly Praktický příklad Závěr – odkazy

3 Úvod Kvantifikace celkového rizika  Formulace modelů korelovaných rizik  Kombinace modelů korelovaných rizik  Parametrizace modelu korelovaných rizik Užití IC metody v tomto procesu  Vzorky z marginálních rozdělení → kombinace → požadovaná korelační struktura Stephen J. Mildenhall  Correlation and Aggregate Loss Distributions With An Emphasis On The Iman-Conover Method

4 Míry asociace Lineární (Pearsonův) korelační koeficient  Dostatečné pro normální rozdělení  Normalizační transformace Pořadová (Spearmanova) korelace  Lineární korelace pořadí vzorku Kendallovo tau  Invariantní vůči striktně monotónním transformacím  Maximum pro neklesající funkce

5 IC metoda Základní myšlenka  Máme dva vzorky X a Y n hodnot ze známých marginálních rozdělení a požadovanou korelaci ρ  Určíme vzorek n x 2 z dvourozměrného referenčního rozdělení s lineární korelací ρ  Přeuspořádáme vzorky X a Y tak, aby měly stejné pořadí jako vzorek z referenčního rozdělení  Výsledkem je vzorek z dvourozměrného rozdělení s příslušnými marginály a stejným pořadovým korelačním koeficientem jako dvourozměrné rozdělení s lineárním korelačním koeficientem ρ Rozšíření do více dimenzí Pořadová a lineární korelace bývají podobné → výstup má přibližně požadovanou korelační strukturu

6 IC metoda Výhody  Jednoduchý algoritmus k určení vzorku z referenčního rozdělení  Efektivní i v MS Excel  Nezáleží na typu vstupních marginálních rozdělení  Výsledný vzorek obsahuje stejné hodnoty jako vstupní, pouze jinak spárované Vitale´s Theorem  Nechť U a V jsou dvě libovolné náhodné veličiny. Potom existuje posloupnost funkcí S 1, S 2, … taková, že (U,S n U) konverguje v distribuci k (U,V) pro.  … cyklická permutace

7 IC metoda – Teoretické odvození M (n x r)  Matice n vzorků z r-rozměrného rozdělení  Sloupce nekorelované s nulovým průměrem a jednotkovou směrodatnou odchylkou  Kovarianční matice = korelační matice = n -1 M´M = I S (r x r)  Požadovaná pozitivně definitní korelační matice  Choleskiho rozklad S = C´C T = MC  Průměr ve sloupcích = 0, směrodatná odchylka = 1  Korelační matice = S (n -1 T´T = n -1 C´M´MC = C´C = S) IC metoda spočívá v přeměně M (snadná simulace) v T (požadovaná korelační struktura S)

8 IC metoda – Teoretické odvození Tvorba matice M   Vytvoříme sloupec matice M a r-krát ho nakopírujeme  Hodnoty ve sloupcích náhodně permutujeme → nezávislost Skóry → tvar výsledného vícerozměrného rozdělení Normální skóry  Simulace N(0,1), úprava na nulový průměr a jednotkovou směrodatnou odchylku  Stratifikovaný výběr z N(0,1)  Nulový průměr  Polovina hodnot

9 IC metoda – Teoretické odvození Korelační matice M bude rovna I jen přibližně E = n -1 M´M korelační matice M  E singulární → permutace ve sloupcích matice M Choleskiho rozklad E = F´F T = MF -1 C  Sloupce nulový průměr  Kovarianční matice Referenční rozdělení T má přesně korelační strukturu S

10 IC metoda – Algoritmus Vstup  Matice X (n x r) n vzorků z každého z r marginálních rozdělení  Požadovaná korelační matice S 1.Vytvoříme sloupec skórů a upravíme, aby se směrodatná odchylka rovnala jedné 2.Zkopírujeme skóry r-krát → matice M 3.V každém sloupci matice M náhodně přeházíme hodnoty 4.Spočteme korelační matici E = n -1 M´M 5.Určíme Choleskiho rozklad E, E = F´F 6.Určíme Choleskiho rozklad S, S = C´C

11 IC metoda – Algoritmus 7.Spočteme matici T = MF -1 C 8.Určíme matici Y přeuspořádáním každého sloupce matice X, aby pořadí hodnot ve sloupcích bylo stejné jako v matici T Výstupem je matice Y (n x r)  Sloupce jsou permutací odpovídajících sloupců matice X  Korelační matice je přibližně S  Pořadová korelační matice je stejná jako pro r-rozměrné rozdělení s korelační maticí S Detailnější popis algoritmu na

12 IC metoda – Ilustrativní příklad

13 Y =

14 IC metoda – Referenční rozdělení Skóry  Normální skóry (IC metoda)  Exponenciální rozdělení  Rovnoměrné rozdělení  Libovolné rozdělení (průměr 0, směrodatná odchylka 1) Choleskiho rozklad (IC metoda) Simulace referenčního rozdělení s danou korelační maticí  Eliptická rozdělení (t rozdělení, Laplaceovo rozdělení)

15 Metoda normální kopuly Vstupem je vektor rizik s marginálními distribučními funkcemi F i a Kendallovými tau nebo pořadovými korelačními koeficienty 1.Určíme korelační koeficienty a Choleskiho rozklad na S = C´C 2.Generujeme r náhodných veličin z N(0,1) 3.Položíme Z = YC 4.Položíme 5.Položíme Výstupem je vzorek  Marginální rozdělení F i  Korelační matice je přibližně S

16 Srovnání IC a NC metody Podstata je podobná  IC – matici X s marginály F i přeuspořádáme podle matice T s požadovanou korelační strukturou  NC – vektor Z s přibližně požadovanou korelační strukturou přetransformujeme, aby marginály byly F i Metody si odpovídají pouze při použití normálních skórů a Choleskiho rozkladu v IC metodě IC metodu aplikujeme na daný vzorek z marginálního rozdělení, NC metoda vzorek generuje invertováním distribučních funkcí jako součást procesu

17 Srovnání IC a NC metody Referenční rozdělení má u IC metody přesně požadovanou korelační strukturu, u NC metody pouze přibližně Vzorky mají u IC metody pořadovou korelaci stejnou jako vzorek z referenčního rozdělení se správnou lineární korelací. Vzorky normální kopuly mají přibližnou lineární i pořadovou korelaci Vzorek z IC metody musí být brán jako celek (případně náhodné řádky), u NC metody má vzorek z každé iterace přibližně požadované rozdělení Obě metody uvažují pouze lineární závislost

18 Praktický příklad Sdružené rozdělení agregovaných čistých (retained) a postoupených (ceded) škod při XL zajištění  Určení rozdělení čistých výsledků pojišťovny, kdy zajištění obsahuje variabilní prvky Marginální rozdělení  Individuální škody  Pojistný limit 1 milion USD  XL zajištění, priorita a = USD, limit = USD  Výše škody má lognormální rozdělení,  Počet škod má negativně binomické rozdělení E(X)HrubéČistéCedované Výše škody ,3 Počet škod527 28,7 Agregace

19 Praktický příklad  Agregované škody – posunuté Gamma rozdělení Korelační koeficient   X, Y jsou komonotonické, nicméně R a C obecně nejsou  IC metoda  pozorování čistých a postoupených škod  Výstup – matice x 2 vzorku z dvourozměrného rozdělení

20 Praktický příklad

21 Závěr Software  LAPACK (Linear Algebra PACKage)  Algebraické operace s maticemi, Choleskiho rozklad, …   SCARE (Simulating, Correlated Aggregation and Risk Engine)  IC metoda, kopuly, Choleskiho rozklad, …  Literatura  Stephen J. Mildenhall  Correlation and Aggregate Loss Distributions With An Emphasis On The Iman-Conover Method  Casualty Actuarial Society Winter Forum 2006, pages 

22 Děkuji za pozornost


Stáhnout ppt "Agregace rizik SAV 10. 11. 2006 Iva Justová Iman – Conoverova metoda."

Podobné prezentace


Reklamy Google