Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 1 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 2 Jaroslav Neuhauser Pavel Trnka

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 1 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 2 Jaroslav Neuhauser Pavel Trnka"— Transkript prezentace:

1 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 1 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 2 Jaroslav Neuhauser Pavel Trnka Katedra Řídicí techniky Elektrotechnická fakulta České vysoké učení technické v Praze

2 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 2 úvod Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr V tomto semináři ukážeme: využití matematických nástrojů z minulé přednášky v algoritmech deterministické identifikace použití těchto algoritmů na jednoduchých příkladech a také na reálných datech

3 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 3 Metody deterministické 4SID si kladou za cíl určit z posloupnosti naměřených vstupně/výstupních dat: řád systému a posloupnost stavů a nakonec z této posloupnosti stavů určit matice stavového modelu A, B, C, D. připomenutí z minula Stavový model systému (m vstupů, l výstupů, řád n): Pro odvození deterministické identifikace budeme uvažovat systém bez přítomnosti šumu w k =0 a v k =0 Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

4 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 4 připomenutí - maticový tvar Stavový model v maticovém tvaru: U p, U f - Hankelovy matice „minulých“/„budoucích“ vstupních dat Y p, Y f - Hankelovy matice „minulých“/„budoucích“ výstupních dat X p, X f - časová posloupnost „minulých“/„budoucích“ stavů systému  i - rozšířená matice pozorovatelnosti H i - Toeplitzova matice impulsní odezvy  i - reverzovaná matice řiditelnosti Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr počítané z matic A,B,C,D

5 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 5 připomenutí - maticový tvar Maticový zápis stavových rovnic systému odpovídá rozepsaným diferenčním rovnicím: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr indexy značí čas a nikoliv složky vektoru

6 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 6 připomenutí - maticový tvar Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr v prvním sloupci jsou výstupy počítány jako odezva na počáteční stav x 0 a posloupnost vstupů: v druhém sloupci jsou výstupy počítány jako odezva na počáteční stav x 1 a posloupnost vstupů: atd…

7 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 7 připomenutí - nejednoznačnost Stavový model je nejednoznačný vzhledem k volbě báze stavového prostoru. Jeden systém tak může být popsán nekonečně mnoha stavovými modely, které jsou ovšem svázány podobnostní transformací T. Libovolná regulární transformační matice popisuje transformaci mezi ekvivalentními stavovými modely. Výsledek stavové identifikace tak není v maticích A, B, C, D numericky jednoznačný. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

8 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 8 připomenutí - nejednoznačnost Stejnou transformaci můžeme napsat i pro již zavedenou matici posloupnosti stavů X i : jelikož je transformační matice T nesingulární budou řádkové prostory generované řádky matice X i a Z i stejné. 4SID algoritmy proto nehledají konkrétní stavovou posloupnost X i, ale právě prostor generovaný řádky matice X i, jehož libovolná báze tvoří platnou stavovou posloupnost. K nalezení tohoto řádkového prostoru jsou používány geometrické nástroje numerické algebry. Nejednoznačnost ve volbě báze je dána nejednoznačností stavového modelu vůči podobnostní transformaci. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

9 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 9 připomenutí – geometrická interpretace Geometrická interpretace maticových rovnic Na násobení maticemi  i, H i, A i,  i zleva můžeme nahlížet jako na řádkové úpravy násobených matic. Z tohoto pohledu pak každý řádek matice Y f vzniká jako lineární kombinace řádků matic X f a U f. i. Xfi. Xf Hi. UfHi. Uf YfYf Xf Xf UfUf Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

10 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 10 algoritmy deterministické identifikace Algoritmy deterministické identifikace: Průsečíkový algoritmus Projekční algoritmus Sjednocující projekční algoritmus (Theorem 2) Odlišují se odolností proti šumu. Využívají geometrických vlastností vazeb mezi řádkovými prostory matic U p, U f, Y p, Y f, X p a X f popsaných maticovými rovnicemi systému. Téměř výhradně pracujeme s řádkovými vektory blokových Hankelových matic (časové posloupnosti) a nikoliv např. s vektory vstupů nebo stavů z jednoho časového okamžiku. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

11 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 11 průnikový (intersection) algoritmus (1) Řádkový prostor sekvence stavů X f lze získat jako průnik mezi řádkovým prostorem minulých dat ( U p, Y p ) a řádkovým prostorem budoucích dat ( U f, Y f ): Libovolná báze tohoto průnikem vzniklého prostoru tvoří platnou posloupnost stavů. Nejednoznačnost ve volbě báze odpovídá podobnostní transformaci stavového modelu T. Identifikační metoda pracující na základě velmi jednoduché vlastnosti řádkových prostorů datových Hankelových matic. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

12 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 12 průnikový (intersection) algoritmus (2) K nalezení průniku lze použít například principiálních úhlů a principiálních směrů mezi podprostory počítaných pomocí SVD (minulá přednáška). Principiální úhly uvažujeme jako zobecnění úhlu mezi dvěma vektory na úhly mezi dvěma podprostory. Počet principiálních úhlů je roven dimenzi menšího ze dvou podprostorů. Průnik mezi dvěma podprostory nalezneme jako prostor generovaný principiálními směry odpovídajících nulovým principiálním úhlům. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

13 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 13 průnikový (intersection) algoritmus (3) Nalezení průniku za použití principiálních úhlů a principiálních směrů počítaných pomocí SVD: Singulární rozklad Matice S má na diagonále kosíny principiálních úhlů mezi principiálními směry danými řádky matice U a V T. Počet principiálních úhlů blížících se nule udává odhad dimenze průniku a tím také řád systému. Odpovídající principiální směry pak tvoří bázi tohoto průniku a tím i platnou posloupnost stavů systému. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

14 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 14 průnikový algoritmus – příklad (1) SISO systém 3. řádu: Naměřeno 200 vzorků Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

15 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 15 průnikový algoritmus – příklad (2) Volba počtu řádek blokových Hankelových matic: i = 10 Umožní identifikovat systémy až do desátého řádu. 1)Z naměřených 200 vzorků sestavíme datové Hankelovy matice s rozměry: kde počet sloupců j je zvolen tak, aby byla využita všechna data: j = (počet vzorků) – 2i = 180 Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

16 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 16 průnikový algoritmus – příklad (3) Dále budeme pracovat s řádkovými prostory těchto matic. V našem případě tedy ve 180-ti rozměrném prostoru. Yf Yf Hankelovy datové matice (vykresleno pomocí pcolor): YpYp Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

17 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 17 průnikový algoritmus – příklad (4) 2)Vypočteme principiální úhly mezi řádkovými prostory minulých dat ( W p ) a budoucích dat ( W f ): Vypočteme součin projekčních matic a provedeme jejich singulární rozklad. Z matice singulárních čísel S vypočteme principiální úhly: z počtu singulárních čísel blížících se nule odhadneme řád systému. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr PrincpialniUhly = acos(diag(S))*180/pi;

18 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 18 průnikový algoritmus – příklad (5) Prvních 15 nejmenších principiálních úhlů: Tři nulové principiální úhly ukazují na prostor průsečíku s dimenzí 3 a tím na systém 3. řádu. Odpovídající řádky matice U (s normou rovné jedné) pak tvoří posloupnost stavů. Ta je nejednoznačná vůči podobnostní transformaci. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

19 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 19 průnikový algoritmus – příklad (6) 3)Nakonec jsou z posloupnosti stavů, vstupu a výstupu pomocí nejmenších čtverců určeny matice systému A, B, C, D. Porovnání skutečného a naidentifikovaného systému: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

20 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 20 vliv šumu Začneme-li přidávat k měření šum bude se zhoršovat jednoznačnost odhadu řádu systému. Minulá a budoucí data budou postupně ztrácet průnik – první tři původně nulové principiální úhly budou růst: 5% šum 10% šum 20% šum Pomocí SVD můžeme určit aproximaci průniku pro zvolený řád systému. nárůst šumu měření % k maximální hodnotě výstupu Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

21 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 21 důkaz průnikového algoritmu (1) Jak je možné, že stačí (zdánlivě) tak málo?: Ukážeme následující: 1.X f leží v řádkovém prostoru budoucích dat ( W f ) 2.X f leží také v řádkovém prostoru minulých dat ( W p ) 3.prostor průniku má dimenzi rovnou řádu systému n čímž dokážeme, že libovolná báze prostoru vzniklého průnikem minulých a budoucích dat tvoří správnou (přípustnou) posloupnost stavů. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

22 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 22 důkaz průnikového algoritmu (2) 1. X f leží v řádkovém prostoru budoucích dat z maticové rovnice systému lze budoucí stavy napsat jako výsledkem násobení maticí zleva je matice jejíž řádky jsou tvořeny lineární kombinací řádků násobené matice. To ukazuje, že X f leží v řádkovém prostoru budoucích dat: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

23 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 23 důkaz průnikového algoritmu (3) 2. X f leží také v řádkovém prostoru minulých dat Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Ze stavových rovnic: můžeme X f zapsat jako: Což ukazuje, že také X f leží v řádkovém prostoru minulých dat

24 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 24 důkaz průnikového algoritmu (4) 3. prostor průniku má dimenzi rovnou řádu systému n Důkaz následující rovnosti je delší. Omezíme se proto na výčet podmínek, za kterých platí: Řádky Hankelových matic U p, U f jsou lineárně nezávislé. To lze zajistit dostatečným počtem vzorků. Řádky matic X p a X f jsou lineárně nezávislé. To odpovídá v identifikaci obvyklé podmínce dostatečného vybuzení systému. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

25 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 25 průnikový algoritmus - poznámky Poznámky: stavová matice a Hankelovy matice vstupů U a matice výstupů Y mají počet sloupců přibližně rovný počtu naměřených vzorků řádkové vektory se kterými 4SID pracuje tak mohou mít rozměry v řádech 100, 1000, … je tak potřeba rozlišovat mezi stavovým prostorem systému a řádkový prostor matice X i Stavový prostor – n rozměrný s dimenzí n (n řád systému). Leží v něm všechny stavy tj. sloupce matice X i. Řádkový prostor matice X i – j rozměrný s dimenzí n. Báze je dána řádky matice X i Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

26 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 26 K nalezení systémových matic stačí vyřešit soustavu rovnic: Rozměry matic díky odhadu řádu systému známe. U i|i resp. Y i|i je jeden blokový řádek vstupních resp. výstupních dat. Soustava rovnic je přeurčená, avšak pro náš deterministický případ také konzistentní – tudíž není nutné použít metodu nejmenších čtverců. Z předchozích kroků algoritmu známe: odhad řádu systému (ze singulárních čísel) stavovou posloupnost X f získání matic stavového modelu (1) Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr známé

27 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 27 získání matic stavového modelu (2) Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr V případě použití deterministické identifikace na zašuměná data je použití metody nejmenších čtverců nutné:

28 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 28 vlastnosti SVD pro Subspace metody (1) 4SID metody používají singulární rozklad pro zjištění báze řádkového nebo sloupcového prostoru matice a pro jeho aproximaci prostorem nižšího řádu. Pro matici A 2 R m £ n : kde matice S 1 je čtvercová matice s k nenulovými singulárními čísly na diagonále. Pak matice U a V jsou rozděleny následovně: Potom pro řádkový resp. sloupcový prostor matice A platí: navíc řádky V 1 T resp. sloupce U 1 tvoří ortogonální bázi řádkového resp. sloupcového prostoru matice A. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

29 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 29 vlastnosti SVD pro Subspace metody (2) Z hlediska šumu umožňuje SVD jednoduchou aproximaci řádkových/sloupcových podprostorů. Příklad Matice A má v řádcích 5 vektorů ležících v rovině (x,y). V matici A noise je k těmto vektorů přidán šum. Ukážeme, že pomocí SVD lze určit řádkový prostor matice A (nalézt jeho dimenzi a bázi) a také použití SVD pro odstranění šumu z A noise a nalezení aproximace řádkového prostoru prostorem nižšího řádu. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

30 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 30 vlastnosti SVD pro Subspace metody (3) červeně – vektory z řádků matice A modře – vektory z řádků matice A noise Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

31 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 31 vlastnosti SVD pro Subspace metody (4) SVD Pro porovnání vypočteme normálové vektory k rovinám představujícím řádkové prostory matic A a A noise : Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

32 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 32 sjednocující projekční algoritmus Algoritmus bez konkrétního názvu označovaný v literatuře jako „Theorem 2“ podle knihy „De Moor: Subspace Identification for Linear Systems”, ve které byl pod tímto označením zaveden. Pomocí váhových matic W 1, W 2 představující volné parametry algoritmu, zahrnuje ostatní deterministické algoritmy. Je založen na šikmé projekci prostoru budoucích výstupů do prostoru minulých dat podél podél prostoru budoucích vstupů. kde Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

33 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 33 stručný princip (1) Stručný princip Podle maticové rovnice systému: jsou vektory řádkového prostoru blokové Hankelovy matice Y f získány jako suma lineární kombinace vektorů z řádkového prostoru posloupnosti stavů X f a lineární kombinace vektorů z řádkového prostoru blokové Hankelovy matice U f. i. Xfi. Xf Hi. UfHi. Uf YfYf Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

34 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 34 stručný princip (2) Stručný princip 2 Lze ukázat, že vektory posloupnosti stavů lze získat jako lineární kombinaci řádkových vektorů blokových Hankelových matic minulých dat: vypočteme-li tedy projekci Y f na W p podél U f, zbavíme se tak složky výstupu generované vstupem U f. Projekcí tak dostaneme řádkový prostor X f daný součinem  i. X f, jehož činitele (řádkový a sloupcový prostor) můžeme určit pomocí singulárního rozkladu. i. Xfi. Xf Hi. UfHi. Uf YfYf Wp Wp Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

35 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 35 kroky algoritmu (1) Postup: 1)Výpočet šikmé projekce (např. pomocí LS) 2)Singulární rozklad matice řádkového prostoru projekce kde váhové matice W 1 a W 2 jsou zvoleny, tak aby: 3)Určení řádu systému podle počtu nenulových singulárních čísel v matici S 1 Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

36 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 36 kroky algoritmu (2) 4)Výpočet rozšířené matice pozorovatelnosti (sloupcový prostor projekce) 5)Pro posloupnost stavů dostaneme singulárním rozkladem část stavů ležících ve sloupcovém prostor matice W 2 : 6)Posloupnost stavů nakonec dostaneme jako Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

37 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 37 poznámky k algoritmu Poznámky: volba matic W 1 a W 2 určují výslednou bázi pro stavový prostor. Transformační matice T je těmito maticemi parametrizována T ( W 1, W 2 ). Sjednocující projekční algoritmus má následující algebraickou interpretaci: ze které může být vidět, že cílem 4SID algoritmů je nalezení subprostoru stavů. Jeho libovolná báze tvoří potom posloupnost stavů – tato báze (báze řádkového prostoru) je nalezena pomocí SVD. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

38 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 38 důkaz (1) Jak již bylo ukázáno matici posloupnosti budoucích stavů X f můžeme získat jako lineární kombinaci minulých dat. Ze stavových rovnic: můžeme X p zapsat jako: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

39 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 39 Rovnici pro budoucí výstupy Y f potom můžeme přepsat: ortogonální projekcí obou stran rovnice na prostor kolmý k prostoru budoucích vstupů U f dostaneme: Z matice můžeme singulárním rozkladem získat bázi řádkového prostoru X i neboť  i má plnou sloupcovou hodnost (podobně pro bázi col( i ) ). důkaz (2) Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

40 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 40 příklad (1) Stejná data jako pro průnikový algoritmus: Naměřeno 200 vzorků SISO systém 3. řádu: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

41 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 41 příklad (2) K výstupním datům přidán šum. Singulární čísla matice Počet velkých singulárních čísel dává dobrý odhad řádu systému -> n=3. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

42 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 42 příklad (3) Porovnání skutečného a naidentifikovaného systému: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

43 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 43 Hydraulický servoválec Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Použití metod Subspace Identification pro identifikaci reálného systému z naměřených dat. Parametry válce: jmenovitý zdvih: 50 mm jmenovitá síla:125 kN Parametry servoventilu: jmenovitý průtok:240 l/min perioda vzorkování: 0,5 ms

44 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 44 naměřená data Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Hydraulický válec používán k testování silentbloků pro automobily. Vstupní data tak představují změřené nárazy a vibrace při testovací jízdě automobilem.

45 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 45 odhad řádu systému Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Odhad řádu systému pomocí singulárních čísel

46 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 46 stavový model odhadovaného systému Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Matice identifikovaného systému Vypočtené chyby pro metodu Subspace identification a pro ARX model:

47 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 47 porovnání výstupů Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

48 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 48 závěr Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr V této přednášce jsme: představili jiný přístup k metodám identifikace systémů, ukázali základy metod Subspace Identification a především jejich deterministickou část, ukázali, že 4SID metody i přes jejich abstraktnost jsou použitelné pro praktické aplikace.


Stáhnout ppt "M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 1 M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 2 Jaroslav Neuhauser Pavel Trnka"

Podobné prezentace


Reklamy Google