Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

1.část Barbara Zitová -Fourierova transformace -wavelety: něco málo teorie -wavelety: aplikace.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "1.část Barbara Zitová -Fourierova transformace -wavelety: něco málo teorie -wavelety: aplikace."— Transkript prezentace:

1 1.část Barbara Zitová -Fourierova transformace -wavelety: něco málo teorie -wavelety: aplikace v DZO Speciální funkce a transformace ve zpracování obrazu

2 Fourierova transformace = = oscilační X úhlová frekvence k

3 Vlastnosti linearita posun shift theorem konvoluce convolution theorem = rotace změna měřítka similarity theorem F(R(f)) = R(F(f))

4 Fourierova transformace - 2D F( x,y ) = f( k x,k y ) = real, u=vimag, u=v

5 Peridoické prodloužení

6 6.5 / N 4 / N 19 / N 17 / N

7 filtrace registrace interpolace reprezentace objektů reprezentace textur Použití

8 Filtrace ve frekvenční oblasti = high pass low pass Gaussian high pass Gaussian low pass band pass directional

9 Low pass step filtr

10 Butterworth filtr low pass high pass n= 1, 4, 16

11 Butterworth filtr

12 Filtrace periodického poškození Inverzní filtrace Známý typ PSF

13 kros korelace + F ( Image(x,y)). F * ( Window(x,y)) | F ( Image(x,y)). F * ( Window(x,y)) | = e 2π i (x TX + y TY ) SPOMF symmetric phase - only matched filter Registrace - fázová korelace

14 Log-polar transformace polar log

15 RTS registrace F(R(f)) = R(F(f))  - periodicita amplitudy - > 2 úhly log(abs(FT)+1) problémy s diskrétním prostředím FT | | log-polar FT fázová korelace

16

17 Fourierovy deskriptory Posun- změna F(0) Rotace- změna fáze Měřítko- vynásobení konstantou Změna start bodu- posun v 1D reprezentaci f(t) = x(t) + iy(t)

18 f(t) = ([x(t) – x c ] 2 + [y(t) - y c ] 2 ) 1/2 Fourierovy deskriptory periodická funkce souřadnice vzdálenost od těžiště f(t) = x(t) + iy(t) plocha

19 Fourierovy deskriptory - interpolace separace - tvar- pozice - měřítko - orientace medicínské řezy

20 Textury - popis

21

22 - základní stavební prvky FT pro každou frekvenci – sinusoida dané frekvence porovnána se signálem obsahuje-li signál danou frekvenci – korelace je velká  velké FT koeficienty nemá-li signál žádnou část dané frekvence, korelace na dané frekvenci je malá/nulová  malý / nulový FT koeficient Fourierova transformace

23 Okénková Fourierova transformace

24

25 výpočet různých FT pro po sobě jdoucí časové intervaly time-frequency reprezentace „1-D time domain“ „2-D time-frequency“ volba oknatvar, šířka šířka okna – signál v něm stacionární širší okno – menší „time“ rozlišení Okénková Fourierova transformace

26 Dva extrémy W(t) nekonečně široké  klasická FT výborné „frequency“ rozlišení, žádná „time“ informace W(t) nekonečně úzké  konstanta výborné „time“ rozlišení, žádná „frequency“ informace Okno zvoleno – rozlišení nastaveno v obou oblastech Gaussovské okno – nejmenší Volba okna

27  t Time rozlišení: separace 2 „špicí“ v časové oblasti  f Frequency rozlišení : separace 2 spektrálních komponent Obě rozlišení nemohou být libovolně velké! Pouhé intervaly!! Heisenbergův princip  t *  f > 1/(4  ) Gaborův princip neurčitosti

28 FT versus wavelets - plocha

29 Waveletová transformace Základy teorie Aplikace

30 Historie Wavelet  1909 Alfred Haar- Haar báze.  1946Gabor - ne-orthogonální neomezené wavelety  1976 Croisier, Esteban a Galand- filter banks pro dekompozici a rekonstrukci signálu  1982 JeanMorlet použil Gabor wavelety k modelování seismických signálů

31

32 Aplikace wavelet Komprese Odstraňování šumu a poškození Detekce struktur Problematika rozmazání Registrace Reprezentace Fúze dat s různým rozlišením

33 „Laplacian“ pyramida O co tady jde ?

34 K čemu směřujeme ?

35 Haarova waveleta

36 kompaktní dyadická ortonormální

37

38

39 g = [, - ] h = [, ]

40 g* = [,- ] h* = [, ]

41

42 Haar waveleta Mexican hat waveleta

43

44 Okno proměnné šířky –analýza vysokých frekvencí  úzké okno pro lepší „time“ rozlišení –analýza nízkých frekvencí  širší okno pro lepší „frequency“ rozlišení Wavelet transformace

45 Okénková Fourierova transformace waveletová transformace translace, dilatace a > 0,  R   R

46 h a,  =>  a,b - matečná waveleta (mother wavelet) - wave... osciluje - ….let dobře lokalizovaná kolem 0, mizí rychle -   = 0 -  |  | 2 <  - FT(  ) a,b v 0 - 0, v  něco jako band-pass filtr ve FT Waveletová transformace  a,b  x - b a > 0,  R b  R, normalizace přes škály < ∞ 2

47 Haar waveleta Mexican hat waveleta

48 Shannon waveleta Morlet waveleta

49 Daubechies 4 waveleta

50 c - záleží na  Spojitá waveletová transformace  a,b * a, b  a,b a, b a > 0,  R b  R REDUNDANTNÍ!! – diskretizace a,b WF(a,b) =  f (t),  a,b 

51 „ time“ vzorkování u nízkých frekvencí – řídké stačí log a b a vzorkované na log stupnici b vzorkované hustěji u malého a Dyadická síť – diskretizace a, b obvykle a 0 = 2 a b 0 = 1, což vede na dyadickou síť

52 Dyadická waveletová transformace - waveletové řady -  < m, n <  m, n  Z Přeurčenost binární škálování - zmenšování o faktor 2 dyadický posun - posun o k/2 j  m,n - ortonormální báze L 2 (R)   m,n,  k,l  =  m,k  n,l f(x) =   c m,n,  m,n c m,n =  f (x),  m,n  -   

53 Diskrétní waveletová transformace - cesta Kompaktní dyadická waveletová transformace - f(x),  m,n nenulové na [0,1], jednotkový interval jj j = 2 m + n, m = 0,1, … n = 0, 1, … 2 j - 1 pro libovolné j je m je největší takové, že 2 m  j, n = j - 2 m Diskretizace f … f (i  x) N vzorků … mocnina 2 f(x) =  c j,  j c j =  f (x),  j  -   spojité

54

55 Diskrétní waveletová transformace Kompaktní dyadická waveleta jj Diskretizace f …. f (i  x) N vzorků … mocnina 2 f(x) =  c j,  j c j =  f (x),  j  =  f(x)  j 1 N 1 N diskrétní

56 FT - spojitá funkce x spojitá funkce   FŘ- periodická funkce x řada koeficientů   DFT- navzorkovaná funkce x navzorkované spektrum   SWT - spojitá funkce x spojité a,b   WŘ- spojitá funkce x řada koeficientů   DWT- navzorkovaná funkce x konečná řada koeficientů  

57 Waveletová transformace - dekompozice

58 V 10 V5V5 W5W5 W6W6 W7W7 W8W8 W9W9 Haar waveleta

59 Waveletová dekompozice funkce f základ +  detaily různého měřítka VjVj V j0 W J-1

60

61 Mutliresolution analysis (MRA) - postup pro konstrukci ortonormálních bází - L 2 prostor - vnořená sekvence uzavřených podprostorů V i - každé V i odpovídá jednomu měřítku - plně určeno volbou škálovací funkce 

62 Platí: nárůst i - jemnější rozlišení scale invariance

63 funkce  ij (x), kde tvoří ortonormální bázi V i …škálovací funkce „father wavelet“ P i (f) - ortonormální projekce f do V i, pak škálovací koeficienty reprezentace chyby ( detailu ) V i+1 - V i ortonormální doplněk W i shift invariance

64 každý W i je generován posuny  i, j waveleta Platí: škálová invariance translační invariance ortonormalita W i a W k waveletové koeficienty

65 Waveletová transformace - dekompozice V j0 VjVj W j0 W j-1

66 waveletové koeficienty  …vyhlazovací (smoothing) funkce - nenulový   (=1) -   = 0 -  a FT(  ) dobrý pokles ( lokalizace v obou oblastech) - kompaktní ,  - nulové krom určitého konečného intervalu škálovací koeficienty

67 dilatační rovnice V 0  V 1 V0V0 V1V1 W 0  V 1 V0V0 V1V1 W0W0

68 Haar waveleta g = [, - ] h = [, ]

69 h - low pass filtr g - high pass filtr  h =  2  g = 0 Poznámky k h a g h,g quadrature mirror filtry (|H| 2 + |G| 2 = 1) g – h zpětně se změněnými znaménky posun o pul periody h j určuje škálovací funkci h N-1-j = (-1) j g j g = [h 3 -h 2 h 1 -h 0 ] g = [, - ] h = [, ]

70 Ortogonalita  waveleta (wavelet)báze W i  škálovací funkce (scaling function)báze V i

71 Waveletová dekompozice funkce f VjVj V j0 základ +  detaily různého měřítka

72 V 10 V5V5 W5W5 W6W6 W7W7 W8W8 W9W9 Haar waveleta

73 V 10 V5V5 W5W5 W6W6 W7W7 W8W8 W9W9 Daubechies 4 waveleta Daubechies 4 škálovací funkce a waveleta

74 V 10 V5V5 W5W5 W6W6 W7W7 W8W8 W9W9 Haar waveleta

75 Waveletová dekompozice funkce f P Vj f - ortonormální projekce f do V i základ +  detaily různého měřítka kompaktní suport

76 VjVj j k k (P V f )(x) =  c j-1,k  j-1,k (x) +  d j-1,k  j-1,k (x) V j-1 + W j-1 DR signál délky 2 J - vzorky na jednotkovém intervalu V n, aproximace spojité funkce f.. c J,k c j-1,k =  h(n-2k) c j,n n d j-1,k =  g(n-2k) c j,n n c j+1,k =  h(k-2l) c j,l + +  g(k-2l) d j,l l l

77 Rychlá waveletová transformace

78

79

80 Kompaktní - konečný počet nenulových koeficientů - lokalizace v čase, frekvenci Waveletová transformace - proces určení c j0,k, d j,k Požadavek na nulovost momentů FFT - O(Nlog 2 N) FWT - O(N)

81 Vlastnosti očekávané od wavelet - dobrá lokalizace - jednoduchost konstrukce a reprezentace - invariance vzhledem k některým operacím - hladkost, spojitost, diferencovatelnost, symetrie - dobré vlastnosti vzhledem k počtu nulových momentů

82 Kompaktnost - v obrazové oblasti (ve frekvenční rychle k nule) - nižší výpočetní nároky - lepší obrazové rozlišení x horší frekvenční Symetrie - ortogonální kompaktní wavelety nemohou být sym. - biortogonální wavelety Momenty a jejich nulovost 1. M momentů 0 : signály typu nulové detailní koeficienty dobré pro kompresi Daubechies 2p koeficientů – p nulových momentů Hladkost lepší rekonstrukce

83 Reálné x komplexní wavelety Ortogonální x biortogonální x neortogonální Biortogonální wavelety -Haar jediná kompaktní, ortogonální a symetrická -oslabení ortogonality Jiné typy diskretizace, nedyadické, m-bands

84 analytické funkce (W 0 škálovací f., W 1 waveleta ) volba stromu (snižování entropie) Wavelet packets - nadmnožina WT

85

86 Filter banks ψ a (x) = (1/√a) ψ(x/a) ψ a (x) = ψ* a (-x) = (1/√a) ψ*(-x/a) pak CWT = f * ψ a (x) násobení ve FT H G

87 Subband coding f(iΔt) F(s) h(iΔt) H(s) f(iΔt)*h(iΔt)F(s).H(s) h H

88 f(iΔt)*h(iΔt) F(s).H(s) b(iΔt) B(s) b(iΔt)[ f(iΔt)*h(iΔt)] B(s)*[F(s).H(s)]

89 f(iΔt) F(s) g(iΔt) G(s) f(iΔt)*g(iΔt)F(s).G(s) g G

90 f(iΔt)*g(iΔt) F(s).G(s) b(iΔt) B(s) b(iΔt)[ f(iΔt)*h(iΔt)] B(s)*[F(s).H(s)] Aliasing


Stáhnout ppt "1.část Barbara Zitová -Fourierova transformace -wavelety: něco málo teorie -wavelety: aplikace."

Podobné prezentace


Reklamy Google