Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

1 Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Téma.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "1 Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Téma."— Transkript prezentace:

1 1 Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Téma 11, plošné konstrukce, desky Plošné konstrukce, desky Rozdělení desek Předpoklady a řešení tenkých desek Metody řešení tenkých desek

2 2 Desky Idealizují se jako rovinný obrazec (nejčastěji ve vodorovné rovině), může mít otvory Zatížení působí pouze kolmo ke střednicové rovině a může být vyvoláno idealizovanými bodovými silami (momenty) idealizovanými liniovými silami (momenty) idealizovanými plošnými silami vlastní tíhou změnou teploty Vazby působí kolmo ke střednicové rovině a mohou být bodové (proti posunům) liniové (proti posunům a pootočením) plošné

3 3 Desky, příklady

4 4 Desky, příklady podpor desek

5 5 Desky, příklady

6 6 Pravoúhlé desky, volba souřadného systému

7 7 Desky, rozdělení Desky lze rozdělit dle rozměrů : membrányh/l < 1/80, velmi tenké desky h/l = 1/50 až 1/80, tenké desky h/l = 1/10 až 1/50, hrubé desky h/l = 1/5 až 1/10, prostorová tělesa h/l > 1/5. Dle deformace: s malými deformacemi |w max | <1/300 a současně |w max | 1/300, řešení patří k nelineárním úlohám pružnosti

8 8 Desky, tenké desky s malými deformacemi, předpoklady řešení Autorství lineární teorie desek se přisuzuje Kirchhoffovi. Je založeno na těchto předpokladech: 1. Deformace střednicové plochy jsou malé. 2. Normálová napětí  z jsou v porovnání s napětím  x a  y malá a zanedbávají se. 3. Body ležící před deformaci na normále ke střednici leží na ní i po deformaci (tzv. špendlíková hypotéza). Nemění se také jejich vzdálenost  z.=0. Důsledkem je, že přetvoří lze vyjádřit jako funkci ohybové plochy w(x,y),  xz =  yz =0. 4. Body na střednicové ploše desky mají nulové normálové napětí a přemísťují se pouze ve směru osy z (podmínkou je symetrie tvaru a materiálu desky.

9 9 Desky, příklady reálného průběhu napětí  z Schéma rozložení napětí při plošném zatížení a), reálný průběh napětí  z na obr. b).

10 10 Tenké desky, předpoklady o deformaci Střednice desky se pohybuje pouze ve směru osy z. Normála ke střednici n před zatížením zůstává normálou i po zatížení n´. Posunutí bodu K v rovině xy ležícího mimo střednici do bodu K´ lze vyjádřit jako funkci u=f 1 (w), obdobně v=f 2 (w).

11 11 Tenké desky, řešení

12 12 Tenké desky, řešení, pokračování Z těchto rovnic a z geometrických vztahů lze odvodit:

13 13 Tenké desky, řešení, pokračování Je zde určitý nesoulad s Kirchhofovou teorií

14 14 Tenké desky, řešení, pokračování

15 15 Desky, průběh složek napětí a složek měrných vnitřních sil Kladný smysl vnitřních sil je zřejmý z obr. Na tzv. kladných ploškách jsou orientovány ve směru kladných os x,y (ohybové momenty vyvolávají tah ve spodních vláknech a kladné kroutící momenty mají směr kladných tečných napětí). Na záporně orientovaných ploškách je to opačně.

16 16 Desky, odvození složek měrných vnitřních sil Měrné vnitřní síly mají význam intenzity vnitřních sil, jsou vztaženy k jednotkové délce příslušného řezu. Označují se malými písmeny. Je jich celkem pět. Dva měrné ohybové momenty – m x, m y, jeden měrný kroutící moment m xy a dvě měrné posouvající síly q x, q y.

17 17 Desky, odvození složek měrných (posouvajících) vnitřních sil

18 18 Desky, transformace složek měrných vnitřních sil, hlavní momenty Měrné momenty byly odvozeny integrací složek napětí, což lze maticově zapsat: Pootočíme-li souřadné osy x a y a úhel , dostaneme osy x´a y´. Těm budou odpovídat složky napětí  x ´,  y ´a  xy ´a momenty m x ´, m y ´a m xy ´.

19 19 Desky, transformace složek měrných vnitřních sil, hlavní momenty Hlavní momenty a směry normál k plochám, kde působí jsou: Pro transformaci složek napětí a momentů můžeme použít identické vztahy: Maximální měrné krouticí momenty m 3,4, se kterými spolupůsobí ohybové momenty (m x +m y )/2 jsou:

20 20 Výpočet složek napětí v desce Platí-li pro výpočet momentu m x a napětí  x : Složky napětí v desce lze vypočíst dle vztahů:

21 21 Desky, složky měrných vnitřních sil na okraji desky

22 22 Desky, podmínky rovnováhy

23 23 Desky, podmínky rovnováhy, pokračování

24 24 Desky, podmínky rovnováhy, pokračování, desková rovnice

25 25 Desky, podmínky rovnováhy, pokračování, desková rovnice

26 26 Desky, podmínky rovnováhy, pokračování, desková rovnice Zatížení desky lze rozdělit na tři části, na zatížení p x a p y přenášené ohybovými momenty m x, m y a zatížení p xy přenášené kroutícím momentem m xy

27 27 Desky, podmínky rovnováhy, pokračování, desková rovnice vyjadřuje podmínky rovnováhy pomocí měrných momentů Po dosazení za měrné ohybové momenty a kroutící moment je: po úpravě odvozená desková rovnice Rovnice respektive

28 28 Desky, desková rovnice pro pravoúhlé desky Desková rovnice parciální diferenciální rovnice 4. řádu, lineární nehomogenní (má pravou stranu) eliptického typu Pro p=0 jde o biharmonickou rovnici. Každá biharmonická funkce odpovídá průhybové ploše desky zatížené jen na okrajích.

29 29 Okrajové podmínky desky Řešení rovnice desky musí odpovídat daným okrajovým podmínkám (vždy dvě na okraji). Okraj vetknutý: na okraji nulový průhyb i pootočení

30 30 Okrajové podmínky desky, okraj prostě podepřený Na okraji nulový průhyb a nulový moment m x. Deformační vyjádření OP:

31 31 Okrajové podmínky desky, okraj prostě podepřený, pokračování Desková rovnice umožňuje plnit na okraji pouze dvě podmínky. Mělo by zde být ještě třetí podmínka m xy =0. Řeší se tzv. doplněnou posouvající silou.

32 32 Okrajové podmínky desky, okraj volný Na nezatíženém okraji by měly být splněny tři podmínky, a to: Předepisujeme však jen dvě podmínky :

33 33 Desky, metody řešení Přímé řešení deskové rovnice v uzavřeném tvaru neexistuje. Aplikují se přibližné metody, ke kterým např. patří: Navierovo řešení, založené na rozvoji funkce zatížení a průhybu do Fourierových řad Metoda sítí Metoda konečných prvků

34 34 Deskový pás Je nejjednodušší případ deskové konstrukce

35 35 Desky, příklady

36 36 Desky kruhové

37 37 Tlusté desky, Mindlinova teorie Předpoklady  z =  z =0 a u(x,y,0)=v u(x,y,0)=0 zůstávají v platnosti. Body normály ke střednicové rovině zůstávají po deformaci na přímce. Ta již obecně není normálou ke střednicové rovině. Platí: Vedle neznáme w, jsou zde ještě neznámé  x a  y, respektive

38 38 Tlusté desky, Mindlinova teorie, pokračování Místo jedné neznámé máme dle Mindlinovy teorie neznámé tři. Pro tenké desky se momenty počítaly dle vztahů: Pro tlusté desky se počítají: Měrné posouvající síly jsou:

39 39 Tlusté desky, Mindlinova teorie, pokračování Místo jedné deskové rovnice, v níž vystupovala jediná neznámá w(x,y), máme nyní z podmínek rovnováhy tři rovnice

40 40 Tlusté desky, okrajové podmínky Prosté podepření: okraj x= konst: w=m x =m xy =0 okraj y= konst: w=m y =m xy =0 Vetknutí: okraj x=y= konst: w= x = y =0 Volný okraj: okraj x= konst: m x =m xy =q x =0 okraj y= konst: m y =m xy =q y =0 Doplňkové posouvající síly se zde nezavádějí


Stáhnout ppt "1 Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Téma."

Podobné prezentace


Reklamy Google