Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Prezentace se nahrává, počkejte prosím

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Úvod do předmětu Formalismus a jeho užití Teorie a axiomy.

Podobné prezentace


Prezentace na téma: "Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Úvod do předmětu Formalismus a jeho užití Teorie a axiomy."— Transkript prezentace:

1 Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Úvod do předmětu Formalismus a jeho užití Teorie a axiomy

2 Teoretická informatika 2 Cíle předmětu •Poskytnout dostatečné teoretické zázemí •Dát jiný pohled na informatiku •Odlišit inženýra od „kodéra“ •Seznámit s otevřenými problémy •Umožnit použití formalismu v DP

3 Teoretická informatika 3 Osnova předmětu •Matematika a její vztah k informatice –Výroková logika –Predikátová logika –Teorie množin –Algebra •Formalizace počítače –Turingovy stroje –Rozhodnutelnost problémů •Složitost algoritmů –Odhad složitosti algoritmů –Složitostní třídy •Pokročilé datové struktury –Grafy, stromy –Algoritmy nad těmito strukturami –Sítě, toky v sítích •Paralelní programování –Paralelní systémy, Petriho sítě

4 Teoretická informatika 4 Studijní materiály •Vaníček, J.: Teoretické základy informatiky. Praha: Alfa, ISBN •Slidy z přednášek •E-learningová osnova/opora v UIS •Google, Wikipedia (anglická!) •Další materiály u jednotlivých celků

5 Teoretická informatika 5 Ukončení předmětu •5 cvičení => 5 domácích úkolů –Na každý úkol možno získat 0-10 bodů –Celkem tedy 50 bodů •Kdo má 30 bodů, má zápočet –Kdo ne, napíše si písemku •písemka může přidat max. 15 bodů –Kdo nemá zápočet ani po písemce…  •Kdo má zápočet, může jít ke zkoušce –Zkouška bude ústní –Teorie (přednášky) i praxe (cvičení) •45 bodů z úkolů => zkouška jen teoretická

6 Teoretická informatika 6 Prosba: Komunikujte •Ptejte se na přednáškách, cvičeních •Chcete-li něco procvičit, pošlete včas •Konzultační hodiny po domluvě em

7 Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Formalismus a jeho užití v informatice

8 Teoretická informatika 8 Formalismus a jeho použití •Je soubor syntaktických a sémantických pravidel pro popis nějaké reálné skutečnosti •Formalismus nahrazuje reálný objekt jeho formálním modelem, který poté můžeme zkoumat •Cílem užití formalismu je obvykle odstranění nejednoznačnosti přirozeného jazyka •Formalismus umožňuje popis libovolně složitých problémů

9 Teoretická informatika 9 Proč zavádíme formalismus •Potřebujeme přesně specifikovat (zapsat) naše myšlenky •Jde o jednotný jazyk pro popis problémů a jejich řešení –teoretických i praktických •Viz gnoseologický čtyřúhelník

10 Teoretická informatika 10 Jaký formalismus? •Existují dva základní druhy: –matematický (exaktní) –filozofický (intuitivní) •Je možné užít oba principy, výsledné dokazování se však vede exaktně •Každý problém lze formalizovat •Ne každý problém lze v daném formalismu rozhodnout –slepice/vejce •Kritéria správnosti závěrů –empirické vědy: pravda = shoda se skutečností ověřená experimentem –formální modely: platnost = odvoditelnost z přijatých předpokladů

11 Teoretická informatika 11 Jak formalismus použít I. •Zvolíme formalismus –existuje více možností pro daný problém –ne každý formalismus je vhodný –musíme obvykle ověřit více formalismů •Formalismus nastudujeme a vyzkoušíme si na modelové situaci •Formulujeme 1. intuitivní představu našeho problému užitím formalismu •Ověříme formální správnost zápisu •Ověříme formulovaný zápis na dostupných modelech problému •Zpřesníme formální zápis •Iterujeme předchozí trojici kroků až do okamžiku dosažení dostatečné podrobnosti a správnosti zápisu

12 Teoretická informatika 12 Jak formalismus použít II. •Formalismus může být nevhodný –žádný formalismus nenpoíše skutečnost zcela přesně –je třeba zjednodušovat •Pokud jsme dosáhli správné formální specifikace našeho problému, můžeme začít využívat všech vlastností a možností formalismu: –hledání odvozených vlastností –dokazování vlastností a jejich důsledků –klasifikace problémů do tříd –hledání úplnosti problémů v třídách

13 Teoretická informatika 13 Hlavní zásady •Formalismus není cíl, ale prostředek pro vyjádření myšlenek •Na správném výběru formalismu závisí úspěch řešení problému •Je užitečné předložit formulovaný problém k posouzení jiné osobě, která formalismus zná •S dostatečnými matematickými znalostmi lze zavést libovolně složitý formalismus, jedná se však pouze o sbírku řeckých písmen a značek

14 Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie a axiomy strana 14

15 Teoretická informatika Tvrzení a důkazy •Matematika je deduktivní věda •Všechny pojmy se vymezují definicí –složitější pojmy definujeme na základě jednodušších •Matematické tvrzení (věta) je výrok, který může být buď pravdivý, nebo nepravdivý –právě jeden stav •Pravdivost nemusí být známa •Kritériem pravdivosti matematického tvrzení je jeho důkaz

16 Teoretická informatika Paradoxy naivní teorie množin I. •Otec s dítětem jdou po břehu řeky. Vyskočí krokodýl, sežere dítě a říká: “Vrátím ti dítě, pokud uhodneš, jestli ti vrátím dítě, nebo ne.” –Otec odpoví: “Nevrátíš ho.” –Co krokodýl udělá? •Právník Corax učí Tisiase. Domluví se, že Tisias mu za hodiny zaplatí, až vyhraje svůj první případ. Poté se právem nezabývá a Corax jej žaluje, aby mu za hodiny zaplatil. –Tisias: Pokud vyhraju, nemusím ti nic platit (rozhodnutí soudu). Pokud prohraju, nemusím ti nic platit (ještě jsem nevyhrál žádný případ) –Corax: Pokud vyhraju, musíš mi zaplatit (rozhodnutí soudu). Pokud prohraju, vyhraješ svůj první případ a musíš mi zaplatit. strana 16 zdroj: akva-exo.cz zdroj: e-polis.cz

17 Teoretická informatika Paradoxy naivní teorie množin II. •Paradox lháře: “Teď lžu.” •Richardův / Berryho paradox –Nejmenší přirozené číslo, které nelze definovat méně než dvaceti slovy. •Grellingův sémantický paradox –Slovo je autologické  je samo o sobě pravdivé •př.: „české“, „krátké“,... –Slovo je heterologické  je samo o sobě nepravdivé •př.: „německé“, „nejdelší“,... –Kam zařadit slovo „heterologické“? A „autologické“? strana 17

18 Teoretická informatika Paradoxy naivní teorie množin III. •Russelův paradox: {x| x  x} –Holič holí všechny, kteří se sami neholí –Katalog katalogů neobsahujících sebe sama •V matematice je všechno množina. Je- li teorie množin sporná, pak je sporná celá matematika  strana 18

19 Teoretická informatika Krize matematiky •1. krize matematiky – Řecko –každé číslo lze vyjádřit jako poměr jiných čísel (existují jen racionální čísla) –matematikové byli spíše “sekta” –východisko: iracionální čísla •2. krize matematiky – aktuální nekonečno –infinitezimální a integrální počet –vágní definice nekonečně malých veličin –Bolzano, Cauchy, Weierstrass: ε-δ definice limity •3. krize matematiky – paradoxy teorie množin –částečně vyřešeno axiomatickou výstavbou –krize přetrvává dodnes strana 19

20 Teoretická informatika Řešení paradoxů •Axiomatická výstavba teorie •Oddělení syntaxe od sémantiky •Syntaxe vychází z primitivních pojmů a axiomů •Sémantika vychází z modelu •Objekty, které nevyhovují axiomům v dané teorii nemohou existovat •Např. v teorii množin nemůže existovat “množina všech množin” strana 20

21 Teoretická informatika Jazyk matematické teorie •Abeceda – souhrn znaků užívaných v teorii •Slova a věty (formule) – povolené řetězce znaků •Smysluplné formule (z hlediska sémantiky) •Pravdivé formule (dokazatelné z axiomů) •Odvozovací pravidla – nezbytná pro dokazatelnost •Metajazyk – používáme k popisu jazyka teorie (např. mezera je metaznak) strana 21

22 Teoretická informatika Axiomatická výstavba teorie •Axiomy jsou výchozí tvrzení dané teorie, která se nedokazují a jejichž platnost se předpokládá –základní formule jazyka teorie •Primitivní pojmy jsou nedefinované pojmy –jejich vlastnosti jsou určené axiomy –sémantiky primitivních pojmů je dána modelem teorie •Z axiomů se dedukcí odvozují další tvrzení nazývané důsledky –využití odvozovacích pravidel

23 Teoretická informatika Model teorie •Axiomatická teorie je ryze syntaktická záležitost –dokazování v teorii lze algoritmizovat •Představujeme-li si pod primitivními pojmy objekty reálného světa, vytváříme model teorie. •Modelů lze obecně vytvořit více –každá množina reálných objektů vyhovující axiomům může být modelem teorie •Ve školách se učí model teorie množin, model euklidovské geometrie, atd. strana 23

24 Teoretická informatika Vlastnosti axiomatické teorie •Nezávislost axiomů – žádný axiom není důsledkem zbývajících axiomů –byl by zbytečný •Bezespornost – důsledkem nemůže být tvrzení a současně jeho negace •Úplnost – každé tvrzení lze v dané teorii dokázat, anebo vyvrátit

25 Teoretická informatika Euklidovská geometrie 1.Máme-li dány dva body, existuje jedna přímka, která jimi prochází. 2.Konečnou přímou čáru (úsečku) můžeme prodloužit tak, že vznikne opět úsečka. 3.Je možné nakreslit kružnici s libovolným středem a poloměrem. 4.Všechny pravé úhly jsou si rovny. 5.K dané přímce a bodu, který na ní neleží, lze sestrojit právě jednu rovnoběžku, která prochází daným bodem. strana 25

26 Teoretická informatika Neeuklidovské geometrie •1829 N.I. Lobačevskij •Neplatí 5. axiom •Rovnoběžek může daným bodem procházet více, nebo žádná •Modely neeuklidovské geometrie –sférická geometrie –hyperbolická geometrie strana 26 zdroj: wikipedia

27 Teoretická informatika Formalizace matematiky •Snaha o řešení paradoxů naivní teorie množin •Zermelo-Fraenkelova axiomatická teorie množin je vystavěna nad logikou •Obavy ze vzniku dalších paradoxů (otázka bezespornosti) vede ke snahám o formalizaci matematiky •Dokazování bezespornosti silných matematických teorií prováděno pomocí kombinatorických manipulací s formulemi (Hilbertův program f.m.) •Kurt Gödel roku 1931 formuloval a dokázal věty o neúplnosti, jejichž důsledkem bylo dokázání, že Hilbertův program nelze uskutečnit

28 Teoretická informatika 1. Gödelova věta o neúplnosti Každá bezesporná matematická teorie, obsahující jako svoji součást aritmetiku nad přirozenými čísly, není úplná.

29 Teoretická informatika Důkaz I: Malá Gödelova čísla •Každý symbol teorie dostane po řadě číslo 1, 2, 3, … •Malé Gödelovo číslo formule je dáno jako součin prvních prvočísel umocněných na číslo symbolu •Např.: –označení symbolů (=1, )=2, x=3, y=4, z=5,  =6,  =7 –g(„(x  y)  z“) = 2 1 ∙ 3 3 ∙ 5 7 ∙ 7 4 ∙ 11 2 ∙ 13 6 ∙ 17 5 •Označme G množinu všech Gödelových čísel korektně utvořených formulí. –Vlastní podmnožina N. –Pro každé n  N umíme rozhodnout, zda n  G. –Tvrzení „ n  G“ je tedy aritmetické tvrzení

30 Teoretická informatika Důkaz II: Velká Gödelova čísla •Nechť  1,  2, …  n je důkaz formule  n. •Velkým Gödelovým číslem tohoto důkazu nazveme číslo 2 g(  1) ∙ 3 g(  2) ∙ … ∙ p n g(  n) •Opět tedy můžeme zavést množinu všech velkých Gödelových čísel H  N. •Označme dem(y,x) tvrzení, že y je velké Gödelovo číslo důkazu formule s malým Gödelovým číslem x. –dem je relace na N 2 •Tvrzení o dokazatelnosti formule  jsme tedy převedli na pravdivost/nepravdivost aritmetického tvrzení (  y  H): dem(y,g(  ))

31 Teoretická informatika Důkaz III: Spor nebo neúplnost •Existuje číslo k  G takové, že –g(  ) = k –  =  (  y  H): dem(y,k) •Formule  je dokazatelná  Nelze dokázat formuli s Gödelovým číslem k  Nelze dokázat formuli  •Formule  není dokazatelná  Lze tedy dokázat formuli s Gödelovým číslem k  Lze dokázat formuli  •Jsme-li v bezesporné teorii, pak je  nerozhodnutelná formule.

32 Teoretická informatika 2. Gödelova věta o neúplnosti Žádný formální systém zahrnující alespoň aritmetiku přirozených čísel nemůže dokázat vlastní bezespornost

33 Teoretická informatika Shrnutí •Co je to formalismus a co je jeho cílem? •Formulujte Russelův paradox naivní teorie množin •V čem spočívaly tzv. krize matematiky? •Jak se buduje axiomatická teorie? •Jaký je rozdíl mezi teorií a jejím modelem? •Co je to neeuklidovská geometrie? •Co je to nezávislost, úplnost a bezespornost axiomatického systému? •Formulujte Gödelovy věty o neúplnosti strana 33


Stáhnout ppt "Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Úvod do předmětu Formalismus a jeho užití Teorie a axiomy."

Podobné prezentace


Reklamy Google