1 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Vladimír Mikulík. Slezské gymnázium, Opava, příspěvková organizace. Vzdělávací materiál byl vytvořen v rámci OP VK 1.5 – EU peníze středním školám. Základní kombinatorická pravidla VY_42_INOVACE_ srpna 2013

2 Kombinatorické pravidlo součinu Příklad 1 V cukrárně nabízejí čtyři druhy zmrzliny: vanilkovou, čokoládovou, oříškovou a pistáciovou a k tomu tři druhy polev: jahodovou, karamelovou a šmoulí. Každý den vyzkoušíte jednu zmrzlinu s jednou polevou. Kolik korun celkem utratíte, stojí-li jedna porce 14 Kč? 2

3 3

4 Ke každému ze čtyř druhů zmrzliny můžeme přiřadit jednu ze tří polev. Celkem je 4 * 3 = 12 možných kombinací zmrzliny a polevy. Dohromady zaplatíme 168 Kč. 4

5 Počet všech uspořádaných k-tic, jejichž první člen lze vybrat n 1 způsoby, druhý člen po výběru prvního členu n 2 způsoby atd. až k-tý člen po výběru všech předcházejících členů n k způsoby, je roven

6 Příklad 2 a) Kolik různých zvukových signálů může vytvořit trubač, jestliže použije pouze tři různé tóny (C, E, G), z kterých se žádný neopakuje ? Může zahrát signály: jednotónové: C, E, G dvoutónové: CE, CG, EC, EG, GC, GE třítónové: CEG, CGE, ECG, EGC, GCE, GEC

7 b) Kolik různých zvuků může zahrát klavírista jediným úderem, jestliže použije pouze tři různé tóny (C, E, G) ? Může zahrát : jednozvuky: C, E, G dvouzvuky: CE, CG, EG trojzvuky: CEG 7

8 Kombinatorické pravidlo součtu Jsou-li A 1, A 2, …, A n konečné množiny, které mají po řadě p 1, p 2, …, p n prvků, a jsou-li každé dvě disjunktní (mají prázdný průnik), pak počet prvků množiny A 1 U A 2 U … U A n je roven p 1 + p 2 + … + p n. Příklad 3 Ve třídě je 33 žáků, z toho je osm z Kateřinek, tři z Jaktaře, pět z Kylešovic, devět z jiných místních částí Opavy a ostatní pocházejí z jiných obcí. Kolik žáků není z Opavy? x = 33 8

9 Příklad 4 Kolik je žáků ve třídě, víte-li, že 20 z nich chodí do školy pěšky, 15 žáků jezdí MHD a 5 žáků chodí někdy pěšky a někdy využívají MHD = 40 ??? 9

10

11

12

13

14

15 Ve třídě je 30 žáků 15

16 Příklad 5 Určete počet všech přirozených dvojciferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá č í slice vyskytuje nejvýše jednou. 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, …, 95, 96, 97, 98, 99

17 1) Řešení s využitím kombinatorického pravidla součinu Na místě desítek může být libovolná z číslic 1, 2, …, 9, máme tedy devět možností pro výběr první číslice. Ke každé z nich existuje devět možností, jak vybrat číslici pro místo jednotek: může zde být číslice 0 a libovolná z číslic 1, 2, …, 9, která je různá od číslice stojící na místě desítek. Celkem lze tedy sestavit 9 · 9 = 81 uvažovaných dvojciferných čísel. 17

18 2) Řešení s využitím kombinatorického pravidla součtu Všechna přirozená dvojciferná čísla lze rozdělit do dvou disjunktních skupin tak, že v první jsou dvojciferná čísla s různými číslicemi a ve druhé dvojciferná čísla se stejnými číslicemi. Počet všech dvojciferných čísel je 90, počet dvojciferných čísel se stejnými číslicemi je 9 (jsou to čísla 11, 22, …, 99). Označíme-li hledaný počet dvojciferných čísel s různými číslicemi x, pak platí: x + 9 = 90. Odtud dostáváme, že je x =

19 Příklad 7 Potřebujeme vyřídit jisté záležitosti v Ostravě a v Třinci. Navigace v autě mi nabídla dvě možnosti cesty z Opavy do Ostravy a dále tři varianty mezi Ostravou a Třincem. Určete, kolika způsoby lze vybrat trasu z Opavy do Třince a zpět tak, že z těchto pěti cest je právě jedna použita dvakrát. 19 OpavaOstravaTřinec

20 Cesta tam: z Opavy do Ostravy2 možnosti z Ostravy do Třince3 možnosti Cesta zpět: a)pojedu po stejné cestě z Třince do Ostravy - 1 možnost, pak z Ostravy do Opavy – 1 možnost nebo a)pojedu po stejné cestě z Ostravy do Opavy – 1 možnost, přitom z Třince do Ostravy – 2 možnosti 20 6 možností 1 možnost 3 možnosti Celkem mám 18 možností si zvolit cestu.

Citace 21 CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia. 5. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 170 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN