Kvadratické rovnice – Algebraické způsoby řešení III. – Viètovy vzorce Rovnice a nerovnice Kvadratické rovnice – Algebraické způsoby řešení III. – Viètovy vzorce VY_32_INOVACE_M1r0110 Mgr. Jakub Němec

Řešení kvadratické rovnice V současné době již známe čtyři způsoby, jak řešit kvadratické rovnice – pomocí úpravy na čtverec, pomocí vytýkání, pomocí rozkladu na součin dle vzorce 𝐴 2 − 𝐵 2 a pomocí diskriminantu. Metoda diskriminantu využívá specifických vlastností koeficientů kvadratické rovnice. My si v této lekci představíme ještě jeden způsob, který je založen na zvláštních vztazích koeficientů kvadratické rovnice a jejích kořenů. Jedná se o metodu tzv. Viètových vzorců.

Viètovy vzorce Druhým široce užívaným způsobem pro řešení kvadratických rovnic, které lze využít u všech jejich typů, jsou tzv. Viètovy vzorce (jmenují se podle francouzského matematika Françoise Vièta). Viètovy vzorce využívají vzájemných vztahů mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Stručně se dají pravidla shrnout do dvou vztahů, díky kterým lze vyřešit jakoukoliv kvadratickou rovnici.

Pro kořeny 𝑥 1 𝑎 𝑥 2 kvadratické rovnice ve tvaru 𝑥 2 +𝑝𝑥+𝑞=0 (tedy normovaný tvar rovnice) platí: 𝑥 1 + 𝑥 2 =−𝑝 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 =𝑞. Jinak řečeno platí vztah 𝑥 2 +𝑝𝑥+𝑞= 𝑥 2 − 𝑥 1 + 𝑥 2 ∙𝑥+ 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 = 𝑥− 𝑥 1 ∙ 𝑥− 𝑥 2 , což znamená, že díky Viètovým vzorcům lze obecnou kvadratickou rovnici převést na součin dvou lineárních členů.

7∙ 𝑥−1 2 =6∙ 𝑥+3 ∙ 𝑥−4 +67 7∙ 𝑥 2 −2𝑥+1 =6∙ 𝑥 2 −𝑥−12 +67 Určete kořeny dané rovnice a své řešení ověřte zkouškou. Upravíme rovnici. V tomto případě použijeme Viètovy vzorce. Známe vztahy mezi kořeny rovnice, do nichž dosadíme naše koeficienty. Součet kořenů je roven osmi a součin kořenů je roven dvanácti. Pokusíme se určit možné součiny, kterými dostaneme číslo 12. Ze stejných čísel se pokusíme získat součtem číslo osm. Vzhledem ke skutečnosti, že součin je kladný (čísla musí mít stejné znaménko) a součet je taktéž kladný, je zřejmé, že kořeny budou oba kladné. Vhodná kombinace kořenů je 6 a 2, což je naše řešení, které zapíšeme do množiny kořenů rovnice. 7∙ 𝑥−1 2 =6∙ 𝑥+3 ∙ 𝑥−4 +67 7∙ 𝑥 2 −2𝑥+1 =6∙ 𝑥 2 −𝑥−12 +67 7 𝑥 2 −14𝑥+7=6 𝑥 2 −6𝑥−72+67 𝑥 2 −8𝑥+12=0 𝑥 1 + 𝑥 2 =8 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 =12 12+1=13 12∙1=12 6+2=8 6∙2=12 3+4=7 3∙4=12 𝑲= 𝟐;𝟔

4∙ 𝑥−3 ∙ 𝑥+1 =5∙ 𝑥−2 2 −60 4∙ 𝑥 2 −2𝑥−3 =5∙ 𝑥 2 −4𝑥+4 −60 4∙ 𝑥−3 ∙ 𝑥+1 =5∙ 𝑥−2 2 −60 Obdobně řešte danou rovnici. Proveďte zkoušku. Upravíme rovnici. Využijeme Viètových vzorců. Určíme možné kombinace součinu kořenů (jde nám o absolutní hodnotu, prozatím znaménka neřešíme). Vzhledem ke skutečnosti, že součin je záporný a součet kladný, víme, že kořeny mají opačné znaménko a větší kořen je kladný. Oběma podmínkám odpovídá kombinace čísel -2 a 14. Řešení zapíšeme do množiny kořenů rovnice. 4∙ 𝑥 2 −2𝑥−3 =5∙ 𝑥 2 −4𝑥+4 −60 4 𝑥 2 −8𝑥−12=5 𝑥 2 −20𝑥+20−60 𝑥 2 −12𝑥−28=0 𝑥 1 + 𝑥 2 =12 𝑥 1 ∙ 𝑥 2 =−28 −1+28=27 1∙28=28 −2+14=12 2∙14=28 −4+7=7 4∙7=28 𝑲= −𝟐;𝟏𝟒

Úkol závěrem 1) Řešte rovnice pomocí Viètových vzorců a proveďte zkoušku: a) 𝑥 2 −17𝑥+72=0 b) 𝑦 2 +23𝑦−50=0 c) 𝑧 2 +23𝑧+42=0 d) 5 𝑥 2 +5𝑥−60=0 e) 𝑥 3 −13 𝑥 2 −48𝑥=0

Zdroje Literatura: CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN 987-80-7196-362-2.