Rozklad mnohočlenů na součin Opakování znalostí o výrazech Odvození rozkladných vzorců (vzorců pro rozklad výrazů na součin) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Radomír Macháň.

Algebraický výraz = předpis jedné nebo více matematických operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování…) = předpis, který obsahuje blíže neurčené znaky (a; b; c; v; z1; z2; Q; m; t… – mohou to být konstanty či proměnné a nemusíme znát ani jejich hodnotu), čísla a matematické operátory (sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování…)

Číselný a algebraický výraz Existují dva druhy výrazů podle toho, z čeho jsou sestaveny: 1) Výrazy, v nichž se vyskytují jenom čísla: Číselné výrazy 7 : (6 – 3 . 2) – 2 . 3 5 . (4 – 3) – 6 : 3 4 . 2,5 – 6 + 22 2) Výrazy, v nichž se vyskytují proměnné, které zastupují čísla z určité množiny: Algebraické výrazy (x + 2) / 4 x – 6 + 3x y2 – 6y + 9

Mnohočleny Mnohočlen = zvláštní typ výrazů Mnohočleny obsahují pouze přirozené mocniny neznámých (jedné nebo více). … Mnohočlen s jednou proměnnou … Mnohočlen dvou proměnných … Není mnohočlen (x je ve jmenovateli, tzn. záporná mocnina x) … Není mnohočlen (obsahuje odmocninu z x, tzn. mocnina ve tvaru zlomku) … Je mnohočlen (sice obsahuje zlomek, ale bez neznámé ve jmenovateli)

Sčítání mnohočlenů 3 + 4 = 7 3x2 + 4x2 = 7x2 3x + 4x = 7x Sčítat můžeme jen stejné členy se stejnou proměnnou a se stejným mocnitelem. proměnné jen s proměnnými, To znamená čísla jen s čísly, proměnné na druhou jen s proměnnými na druhou atd. 3 + 4 = 7 3x2 + 4x2 = 7x2 3x + 4x = 7x Příklad: (3x2 + 7x – 5) + (-2x2 – 4x + 1) = 3x2 + 7x – 5 – 2x2 – 4x + 1 = = 3x2 – 2x2 + 7x – 4x – 5 + 1 = x2 + 3x – 4

Odčítání mnohočlenů –2x2 – 4x + 1 2x2 + 4x – 1 Odečíst mnohočlen znamená přičíst mnohočlen k němu opačný. K danému mnohočlenu utvoříme mnohočlen opačný, změníme-li znaménka všech jeho členů na opačná. –2x2 – 4x + 1 2x2 + 4x – 1 Příklad: (3x2 + 7x – 5) - (-2x2 – 4x + 1) = 3x2 + 7x – 5 + (2x2 + 4x – 1) = 3x2 + 7x – 5 + 2x2 + 4x – 1 = = 3x2 + 2x2 + 7x + 4x – 5 - 1 = 5x2 + 11x – 6

Násobení mnohočlenů (2x – 1)(2x2 – 4x + 1) = = 4x3 - 8x2 + 2x - 2x2 Každý člen prvního mnohočlenu násobíme s každým členem druhého mnohočlenu a výsledné členy pak sečteme. (2x – 1)(2x2 – 4x + 1) = = 4x3 - 8x2 + 2x - 2x2 + 4x - 1 Příklad: (3x2 + 7x – 5).(-2x2 – 4x + 1) = = -6x4 - 12x3 + 3x2 - 14x3 - 28x2 + 7x + 10x2 + 20x - 5 = = -6x4 - 12x3 - 14x3 + 3x2 - 28x2 + 10x2 + 7x + 20x - 5 = = -6x4 - 26x3 - 15x2 + 27x - 5

Rozklad mnohočlenu na součin Obdobně jako v případě počítání s číselnými výrazy (zlomky), můžeme i v případě lomených výrazů s proměnnou, za dodržení podmínek krácení (tj. dělíme čitatele i jmenovatele stejným číslem, výrazem, mnohočlenem různým od nuly), krátit výrazy (mnohočleny) nad sebou a v případě součinu i do kříže. Proto se naučíme rozkládat mnohočleny na součin.

Rozklad mnohočlenu na součin pomocí rozkladných vzorců Na základě našich znalostí si vzorce odvodíme Uprav daný výraz umocněním závorky: Tak ještě jednou obecněji:

A máme první vzorec : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Rozklad mnohočlenu na součin pomocí rozkladných vzorců A máme první vzorec : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 10

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Příklady na ujasnění: Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Příklady na ujasnění: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce: a b a2 + 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Příklady na ujasnění: Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Příklady na ujasnění: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce: a b a2 + 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Příklady na ujasnění: Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Příklady na ujasnění: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce: a b a2 + 2ab + b2

Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Uprav daný výraz umocněním závorky: Tak ještě jednou obecněji:

Druhý vzorec : (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Druhý vzorec : (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 15

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Příklady na ujasnění: Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Příklady na ujasnění: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce: a b a2 – 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Příklady na ujasnění: Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Příklady na ujasnění: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce: a b a2 – 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Příklady na ujasnění: Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Příklady na ujasnění: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce: a b a2 – 2ab + b2

Rozklad mnohočlenu na součin pomocí rozkladných vzorců A ještě jeden vzorec. Uprav: Tak ještě jednou obecněji:

Třetí vzorec tedy je: (a + b).(a – b) = a2 – b2 Rozklad mnohočlenu na součin pomocí rozkladných vzorců Třetí vzorec tedy je: (a + b).(a – b) = a2 – b2 20

(a + b).(a – b) = a2 – b2 Příklady na ujasnění: Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Příklady na ujasnění: (a + b).(a – b) = a2 – b2 Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce: a + b a – b a2 – b2

(a + b).(a – b) = a2 – b2 Příklady na ujasnění: Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Příklady na ujasnění: (a + b).(a – b) = a2 – b2 Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce: a + b a – b a2 – b2

(a + b).(a – b) = a2 – b2 Příklady na ujasnění: Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Příklady na ujasnění: (a + b).(a – b) = a2 – b2 Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce: – a + b a b a2 – b2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 a2 – b2 = (a + b).(a – b) Rozkladné vzorce Všechny tři vzorce však budeme mnohem častěji používat obráceně, tzn. tak, abychom pomocí nich rozkládali dané mnohočleny na součin. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 (a + b).(a – b) = a2 – b2 a2 – b2 = (a + b).(a – b)

Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Použité obrázky: Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010–25–06]. Dostupné pod licencí Creative Commons na http://www.clker.com. Obrázek na pozadí:[cit. 2010-10-19]. Dostupný pod licencí Public domain na www: <http://www.clker.com/clipart-blackboard.html> Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Radomír Macháň. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.