KVAZISTACIONÁRNÍ STAVY a RELACE  E.  t   WIGNER—WEISSKOPFŮV ROZPAD (Abstraktní Andersonův Hamiltonián) III.

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 2 GF a spektrální hustota Fourierova transformace tam a zpět Výraz pro spektrální hustotu explicitní (definice) invariantní Dvě základní vlastnosti … a NIC víc 12 nezáporná sumační pravidlo : amplituda přežití pravdě- podobnosti Moje definice Greenovy funkce

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 3 GF a spektrální hustota Fourierova transformace tam a zpět Výraz pro spektrální hustotu explicitní (definice) invariantní Dvě základní vlastnosti … a NIC víc 12 nezáporná sumační pravidlo amplituda přežití pravdě- podobnosti Moje definice Greenovy funkce

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 4 GF a spektrální hustota Fourierova transformace tam a zpět Výraz pro spektrální hustotu explicitní (definice) invariantní Dvě základní vlastnosti … a NIC víc 12 nezáporná sumační pravidlo amplituda přežití pravdě- podobnosti Moje definice Greenovy funkce J I N A K

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 5 Fourierova transformace v QT Fourierova transformace tam a zpět

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 6 Fourierova transformace Greenovy funkce Fourierova transformace tam a zpět Výraz pro spektrální hustotu

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 7 Zavedení spektrální hustoty a Krylovova representace... převedení GF na spektrální hustotu --- dá se lépe porozumět... nízké momenty se Fourierovou transformací přenášejí do krátkých časů. Neurčitost energie je 2. moment spektr. hustoty :

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 8 Zavedení spektrální hustoty a Krylovova representace... převedení GF na spektrální hustotu --- dá se lépe porozumět... Fourierovou transformací dostaneme GF jako maticový element resolventy – primární... z ní teprve spektrální hustotu

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 9 Rozpadový zákon Zatím jsme uvažovali amplitudu (pravděpodobnosti) přežití stavu Příslušná pozorovatelná je však sama pravděpodobnost přežití ROZPADOVÝ ZÁKON Hustota pravděpodobnosti rozpadu za jednotku času Kdyby platilo, pak rozpadový zákon by byl To je známý radioaktivní rozpad, monomolekulární luminiscence, … Proto je to centrální případ a náš úkol bude zejména najít podmínky a meze platnosti tohoto Wigner-Weisskopfova rozpadu Rozpadový zákon pomocí spektrální hustoty autokorelační funkce :

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 10 Rozpadový zákon Zatím jsme uvažovali amplitudu (pravděpodobnosti) přežití stavu Příslušná pozorovatelná je však sama pravděpodobnost přežití ROZPADOVÝ ZÁKON Hustota pravděpodobnosti rozpadu za jednotku času Kdyby platilo, pak rozpadový zákon by byl To je známý radioaktivní rozpad, monomolekulární luminiscence, … Proto je to centrální případ a náš úkol bude zejména najít podmínky a meze platnosti tohoto Wigner-Weisskopfova rozpadu

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 11 Rozpadový zákon... můžeme pokračovat s GF a hledat rozpadové zákony pro modelové spektr. hustoty :

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 12 Rozpadový zákon... můžeme pokračovat s GF a hledat rozpadové zákony pro modelové Hamiltoniány

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 13 Modelové příklady TUNELOVÁNÍ (  -ROZPAD)... bariera v reálném prostoru odděluje konečnou a nekonečnou oblast FERMIHO ZLATÉ PRAVIDLO … diskrétní hladina je slabě vázána na překrývající kontinuum stavů A(E)A(E) A(E)A(E) bod větvení resonance A(E)A(E) bod větvení resonance :

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 14 Modelové příklady TUNELOVÁNÍ (  -ROZPAD)... bariera v reálném prostoru odděluje konečnou a nekonečnou oblast FERMIHO ZLATÉ PRAVIDLO … diskrétní hladina je slabě vázána na překrývající kontinuum stavů A(E)A(E) A(E)A(E) bod větvení resonance A(E)A(E) bod větvení resonance "ROZMAZANÁ delta-FUNKCE"

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 15 Modelové příklady TUNELOVÁNÍ (  -ROZPAD)... bariera v reálném prostoru odděluje konečnou a nekonečnou oblast FERMIHO ZLATÉ PRAVIDLO … diskrétní hladina je slabě vázána na překrývající kontinuum stavů A(E)A(E) A(E)A(E) bod větvení resonance A(E)A(E) bod větvení resonance

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 16 Modelové příklady TUNELOVÁNÍ (  -ROZPAD)... bariera v reálném prostoru odděluje konečnou a nekonečnou oblast MODELOVÝ HAMILTONIÁN … diskrétní hladina je slabě vázána na překrývající kontinuum stavů A(E)A(E) A(E)A(E) bod větvení resonance A(E)A(E) bod větvení resonance NECHÁME JAKO ZVLÁŠTNÍ ODDĚLENOU ÚLOHU

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 17 Modelový Hamiltonián … diskrétní hladina je vázána na kontinuum stavů A(E)A(E) bod větvení resonance

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 18 Modelový Hamiltonián … diskrétní hladina je vázána V Hilbertově prostoru stavů zavedu na kontinuum hladin projektory na oba ortogonální podprostory

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 19 Příklady použití modelového Hamiltoniánu Tunelovací Hamiltoniány... Gamov, Oppenheimer, Bardeen příště Metastabilní hladina v QED... Wigner&Weisskopf holá (atomová) hladina překrytá jedno-fotonovými stavy Polaron slabé vazby... Fröhlich, Landau, Pekar holý jednoelektronový stav v krystalu a kontinuum jednofononových stavů d- nebo f-hladiny transitivních příměsí v sp-matrici... P W Anderson např. d- hladina niklu v aluminiu, překrytá sp vodivostním pásem adsorbáty na povrchu krystalů atd.

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 20 Od evolučního operátoru ke GF Neporušený a úplný evoluční operátor jsou spojeny integrální rovnicí Zavedeme Výsledná rovnice nemá číselné faktory a má implicitní meze, formálně Proměnná mez – rovnice Volterrova typu

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 21 Od evolučního operátoru ke GF Neporušený a úplný evoluční operátor jsou spojeny integrální rovnicí Zavedeme Výsledná rovnice nemá číselné faktory a má implicitní meze, formálně Proměnná mez – rovnice Volterrova typu místo toho Fredholmova integrální rovnice

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 22 Od evolučního operátoru ke GF Rovnici přepíšeme symbolicky Iterativní formální řešení Greenova funkce Dosadíme iterativní řadu:

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 23 Od evolučního operátoru ke GF Rovnici přepíšeme symbolicky Iterativní formální řešení Greenova funkce Dosadíme iterativní řadu: 0 0

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 24 Od evolučního operátoru ke GF = =+ Obrázkově odvozená Dysonova rovnice P Q

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 25 Zacházení s Dysonovou rovnicí Symbolicky Časově V energiích explicitně holá energierenormalizace

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 26 Zacházení s Dysonovou rovnicí Analogie spektrální hustoty pro GF: Jediná funkce, určuje vše ostatní VLASTNÍ ENERGIE V časech Explicitně V energiích Spektrální representace

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 27 Zacházení s Dysonovou rovnicí Analogie spektrální hustoty pro GF: Jediná funkce, určuje vše ostatní VLASTNÍ ENERGIE V časech Explicitně V energiích Spektrální representace Máme všechno

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 28 Praktický výpočet GF Spektrální repres. FFT Dysonova rovnice diferenc. Dysonova rovnice FFT Rovnocenný výsledek

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 29 Pólová aproximace (Wigner-Weisskopf) holá energierenormalizace přesně linearisace pól renorm. konst.

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 30 Pólová aproximace (Wigner-Weisskopf) holá energierenormalizace přesně linearisace pól renorm. konst. Platí pro E a,kde vlastní energie je hladká

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 31 Polaron nad prahem práh

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 32 Polaron pod prahem práh

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 33 Polaron těsně nad prahem práh

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 34 Polaron těsně pod prahem práh

The end

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 36 Modelové příklady: úvodní poznámky JEDNOTKY … vlastně na nich nezáleží, ale pro názornost volím jednotky vhodné pro GF v CM energie1 eV 1,602  J čas1 fs 1,000  s  0,6582~ eV.fs 1,055  J.s

Seminář o základech kvantové fyziky Brno 2005/6 37 Modelové příklady: úvodní poznámky JEDNOTKY … vlastně na nich nezáleží, ale pro názornost volím jednotky vhodné pro GF v CM energie1 eV 1,602  J čas1 fs 1,000  s  0,6582~ eV.fs 1,055  J.s délka 1 nm 1,000  m c 299,8 nm/fs 2,998  10 8 m/s  1/137,0 meme 5,685 9,109  kg e' 2 1,440 2,306  J.m