Materiály jsou určeny pro výuku matematiky: 3. ročník Učivo v elektronické podobě zpracovala Mgr. Iva Vrbová 1

KOMBINATORIKA Variace bez opakování

Značení prvků Předem daná konečná množina, z níž skupiny tvoříme, má n prvků. Skupinu, která obsahuje k prvků, nazýváme skupinou k-té třídy. například: Tvoříme-li dvojčlenné skupiny z 10 lidí, pak n = 10, k = 2. Tvoříme-li trikolóry z pěti různých barev, pak n = 5, k = 3.

Prvky ve skupině Vyskytuje-li se vybraný prvek ve skupině pouze jednou, mluvíme o skupinách bez opakování (v předpisu skupiny se tento fakt neuvádí) vybíráme-li skupiny z lidí několikrát (maximálně k-krát), mluvíme o skupinách s opakováním například: vždy, když vybíráme skupiny z cifer a není uvedeno, že opakovat nelze

Požadavek na předpis skupiny Jestliže na pořadí prvků ve skupině záleží, mluvíme o variacích (resp. permutacích) nezáleží, mluvíme o kombinacích

Kdy volíme VARIACE Tvoříme-li čísla – přirozená, telefonní, kódy, slova, skupiny lidí, kterým rozdělujeme konkrétní funkce, konkrétní medaile skupiny lidí, které řadíme podle výšky, abecedy, věku trikolóru, ...

Řešení slovních úloh Vždy si musíte umět správně odpovědět na čtyři základní otázky: Záleží na pořadí prvků ve skupině? Mohou se prvky ve skupině opakovat? Z kolika celkových prvků tvořím skupiny? Kolik prvků vybírám do jedné skupiny?

VARIACE Počet variací k-té třídy z n prvků bez opakování, tzn. žádný prvek výběru se nemůže opakovat :

VARIACE – 1. příklad Zadání: Kolik různých trikolór lze sestavit z bílé, žluté, červené, modré a zelené barvy? Řešení: Nejprve si představte trikolóru… ČESKO HOLANDSKO JAMAJKA Z kolika celkových prvků tvořím skupiny? z pěti barev  n = 5 Mohou se prvky ve skupině opakovat? ne  BEZ OPAKOVÁNÍ Záleží na pořadí prvků? ano  VARIACE Kolik prvků vybírám do jedné skupiny? trikolóra = tři  k = 3 Odpověď: Z daných barev lze sestavit 60 trikolór.

Rozdíl mezi číslem přirozeným a čísel. kódem Tvoříme-li přirozená čísla nesmíme nikdy začínat cifrou nula počet možností s nulou na začátku odečítáme například: trojciferné přirozené číslo je 121, 800, 543, 402 o trojciferné přirozené číslo se nejedná, když postavíme na místo stovek nulu: 015, 075, 042 číselný kód (například na zámečku u kufru) můžeme sestavit z jakýchkoliv cifer, s nulou na začátku či na konci

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

2. Určete, kolik lze utvořit čtyřciferných 2. Určete, kolik lze utvořit čtyřciferných číselných kódů pomocí znaků desítkové soustavy, ve kterých se číslice neopakují. Řešení: Kód 2468 je jiný než kód 8642. Kód 1221 nesmím použít. Kufr si mohu zakódovat možností 0987. Z kolika celkových prvků tvořím skupiny? desítková soustava  n = 10 Kolik prvků vybírám do jedné skupiny? čtyřciferný kód  k = 4 Záleží na pořadí prvků? ano  VARIACE Mohou se prvky ve skupině opakovat? ne  BEZ OPAKOVÁNÍ Odpověď: Za daných podmínek lze vytvořit 5 040 pěticiferných číselných kódů.

Řešení: Číslo 2468 je jiné než číslo 8642. Číslo 1221 nesmím použít. 3. Určete, kolik lze utvořit čtyřciferných přirozených čísel pomocí znaků desítkové soustavy, ve kterých se číslice neopakují. Řešení: Číslo 2468 je jiné než číslo 8642. Číslo 1221 nesmím použít. Číslo 0987 již není čtyřciferné. Kolik prvků vybírám do jedné skupiny? čtyřciferné číslo  k = 4 Mohou se prvky ve skupině opakovat? ne  BEZ OPAKOVÁNÍ Z kolika celkových prvků tvořím skupiny? desítková soustava  n = 10 Záleží na pořadí prvků? ano  VARIACE Čísla, která začínají nulou, je třeba odečíst. x x x x k = 3, obsazujeme už jen 3 pozice n = 9, protože se prvky neopakují Předpis: Variace bez opakování Výsledek: Odpověď: Existuje 4 536 čtyřciferných přirozených čísel daných vlastností.

Řešení: Číslo 1357 je jiné než číslo 7531. Číslo 1221 nesmím použít. 4. Určete, kolik lze utvořit čtyřciferných, lichých čísel pomocí číslic 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, ve kterých se číslice neopakují. Řešení: Číslo 1357 je jiné než číslo 7531. Číslo 1221 nesmím použít. Liché číslo obecně končí cifrou 1; 3; 5; 7; 9. 1. skupina: 1 x x x x Mohou se prvky ve skupině opakovat? ne  BEZ OPAKOVÁNÍ Záleží na pořadí prvků? ano  VARIACE k = 3, obsazujeme už jen 3 pozice n = 6, protože se prvky neopakují, beru o jeden méně oproti zadaní 2. skupina: 3 3. skupina: 5 4. skupina: 7 Výsledek: Odpověď: Existuje 480 čtyřciferných lichých čísel, která jsou složená z cifer 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.

DALŠÍ PŘÍKLADY

1. Ve škole se učí 10 různým předmětům a každému se učí nejvýše hodinu denně. Kolika způsoby je možno sestavit rozvrh hodin na jeden den, je-li v témže dni 5 různých předmětů? 30 240 2. Kolik různých umístění může být na prvních třech místech při hokejovém mistrovství světa, jestliže se ho zúčastní osm družstev? Systém soutěže neumožňuje dělbu umístění. V3(8) = 8 . 7 . 6 = 336

3. Kolika způsoby může 30 studentů zvolit ze svého středu předsedu, místopředsedu, pokladníka a nástěnkáře? Studenti mohou zvolit výbor celkem 657 720 způsoby. 4. Ve čtvrtém ročníku se vyučuje 12 předmětů. Každý předmět se vyučuje nejvýše jednu hodinu denně. Kolika způsoby sestavíte rozvrh na jeden den se sedmi vyučovacími hodinami? Požadovaný rozvrh můžeme sestavit 3 991 680 způsoby.

5. Kolik různých výsledků může mít hokejový zápas, nastřílejí-li obě mužstva nejvýše po třech gólech, hosté dostanou alespoň jeden gól a remíza padne pouze v případě skóre 3:3. Každý výsledek je uspořádaná dvojice (domácí : hosté), v níž záleží na počtu nastřílených gólů. Počet všech možných výsledků, při kterých zápas neskončí remízou, je V2 (4) = variace bez opakování druhé třídy ze čtyř prvků 0, 1, 2, 3. Z tohoto počtu vyloučíme ty zápasy, ve kterých hosté nedostanou žádný gól ([0:1], [0:2], [0:3]), V1 (3) = variace bez opakování první třídy ze tří prvků 1, 2, 3. Remíza [3:3] je přičtena k počtu Celkový počet výsledků: V2(4) – V1(3) + 1 =10