Materiály jsou určeny pro výuku matematiky: 3. ročník Učivo v elektronické podobě zpracovala Mgr. Iva Vrbová

KOMBINATORIKA

Motivační úloha Žáci jedou vlakem na výlet. V kupé pro osm cestujících chtějí tři žáci sedět ve směru jízdy, dva žáci proti směru jízdy a třem žákům je to jedno. Kolika způsoby se těchto osm žáků může usadit?

První z nich má 4 možnosti, Ve směru jízdy chtějí sedět tři žáci Ve směru jízdy je = 24 možností se usadit. druhý z nich 3 možnosti, a třetí má už jen 2 možnosti. Proč součin?  K 1. možnosti ze čtyř celkových usazení prvého žáka existují tři možnosti usazení druhého žáka a dvě možnosti usazení třetího žáka.  K 2. možnosti ze čtyř celkových usazení prvého žáka existují opět tři možnosti usazení druhého žáka a dvě možnosti usazení třetího žáka, atd.

První z nich má 4 možnosti, Proti směru jízdy chtějí sedět dva žáci. Proti směru jízdy je 4.3 = 12 možností se usadit. druhý z nich 3 možnosti. První z nich má 3 možnosti, Poslední tři, kterým je lhostejný směr Poslední tři mají = 6 možností se usadit. druhý z nich 2 možnosti, a třetí už jen 1 možnost.

Ve směru jízdy: 24 možností. Proti směru jízdy: 12 možností. Ve směru či proti směru jízdy: 6 možností. Celkový počet možností – výsledek k 1. možnosti z prvních 24 existuje 12 druhých možností, 6 třetích možností, k 2. možnosti z prvních 24 existuje také 12 druhých možností, 6 třetích možností,... opět použijeme (vcelku logicky) pravidlo součinu a vypočteme: = Žáci se mohou usadit způsoby.

Kombinatorika je část matematiky, která se zabývá seskupováním prvků z určité konečné množiny Můžeme například spočítat, kolika způsoby lze vybrat tři reprezentanty třídy 3OA, kteří... nauka o skupinách

Kombinatorika a její vývoj Různé kombinatorické úlohy řešili již starořečtí či indičtí matematici. K oddělení od obecné matematiky a k utváření jako samostatné vědecké disciplíny došlo v 16. a 17. století. Důvod byl velmi prozaický. Byly to především hazardní hry. Dnes je kombinatorika součástí matematiky, která studuje vlastnosti konečných množin. Její aplikace pomáhají řešit i důležité problémy ekonomické.

Úkol kombinatoriky Vytvořit na základě určitého předpisu všechny možné skupiny prvků z předem dané konečné množiny a především určit počet všech těchto skupin. Úlohy kombinatoriky budeme tedy řešit v oboru čísel celých nezáporných: N 0 = {0; 1; 2; 3; 4;...}

Značení prvků Předem daná konečná množina, z níž skupiny tvoříme, má n prvků. Skupinu, která obsahuje k prvků, nazýváme skupinou k-té třídy. například: Tvoříme-li dvojčlenné skupiny z 10 lidí, pak n = 10, k = 2. Tvoříme-li trikolóry z pěti různých barev, pak n = 5, k = 3.

Prvky ve skupině Vyskytuje-li se vybraný prvek ve skupině a)pouze jednou, mluvíme o skupinách bez opakování vybíráme-li skupiny z lidí b)několikrát (maximálně k-krát), mluvíme o skupinách s opakováním například: vždy, když vybíráme skupiny z cifer a je uvedeno, že opakovat lze

Požadavek na předpis skupiny Jestliže na pořadí prvků ve skupině 1. záleží, 2. nezáleží,

Kombinator. pravidlo součinu Zadání: U stánku nabízejí tři druhy zmrzliny a dvě polevy. Kolik různých zmrzlin s polevou lze vytvořit, jestliže nechceme míchat více druhů ani více polev? Řešení: Tvoříme jeden kornout (1 skupinu). Do kornoutu vybíráme 1 zmrzlinu ze všech zmrzlin (1. podskupina) a zvlášť 1 polevu ze všech polev (2. podskupina). Odpověď: Můžeme si pochutnat celkem na 3.2 = 6 druzích zmrzlin s polevou.

Počet všech uspořádaných k-tic, jejichž první člen lze vybrat n 1 způsoby, druhý člen po výběru prvního členu n 2 způsoby atd. až k- tý člen po výběru všech předcházejících členů n k způsoby, je roven KOMBINATORICKÉ PRAVIDLO SOUČINU

Kdy volíme KOMB. PRAV. SOUČINU Tvoříme-li JEDNU skupinu, která je složena z rozlišných „nesourodých“ podskupin. Například: Tvoříme-li taneční pár:  1. podskup. = ženy, 2. podskup. = muži SPZ automobilu:  1. podskup. = písmena, 2. podskup. = čísla

KOMB. PRAVIDLO SOUČINU – příklad Zadání: Určete, kolik můžeme vytvořit různých tanečních párů z 5 dívek a 7 chlapců. Řešení: Tvoříme jeden taneční pár (1 skupinu). Pár je tvořen 1 dívkou (1. podskupina) a 1 chlapcem (2. podskupina). Odpověď: Celkem můžeme vytvořit 35 (=7.5) různých tanečních párů.

Kolik různých optických signálů je možno dát vytahováním 5 různých barevných vlajek, je-li vždy všech pět vlajek nahoře? [120]

Osm studujících si slíbilo, že si pošlou vzájemně pohlednice z prázdninových cest. Kolik pohlednic bylo rozesláno? [56]

O Vánocích si deset přátel vzájemně předalo dárky. Kolik dárků bylo celkem předáno? Dřívější SPZ automobilu byla tvořena třemi písmeny a čtyřmi čísly, např. ABC Určete kolik těchto SPZ bylo možné vytvořit, bereme-li v úvahu 24 písmen. [90] [ ]

Kolika způsoby lze rozdělit 8 účastníků finále na 100 m do osmi drah? [40 320]

Jsou dány cifry 1; 2; 3; 4; 5. Cifry nelze opakovat. Kolik je možno vytvořit z těchto cifer čísel, která jsou a) pětimístná, sudá, b) pětimístná, končící dvojčíslím 21, c) pětimístná, menší než , d) trojmístná, lichá, e) čtyřmístná, větší než 2 000, f) čtyřmístná, začínající cifrou 2, g) čtyřmístná, sudá nebo končící cifrou 3, h) dvojmístná nebo trojmístná. [a) 48, b) 6, c) 48, d) 36, e) 96, f) 24, g) 72, h) 80]

Jsou dány cifry 0; 1; 2; 3; 4. Cifry nelze opakovat. Kolik je možno vytvořit z těchto cifer čísel, která jsou ( úkoly minulé úlohy) a) pětimístná, sudá, b) pětimístná, končící dvojčíslím 21, c) pětimístná, menší než , d) trojmístná, lichá, e) čtyřmístná, větší než 2 000, f) čtyřmístná, začínající cifrou 2, g) čtyřmístná, sudá nebo končící cifrou 3, h) dvojmístná nebo trojmístná. [a) 60, b) 4, c) 48, d) 18, e) 72, f) 24, g) 78, h) 64]