1 GONIOMETRICKÉ FUNKCE Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Kristýna Zemková, Václav Zemek Gymnázium, Prachatice, Zlatá stezka 137 V PRAVOÚHLÉM TROJÚHELNÍKU

2 Thaletova věta: Všechny trojúhelníky, jejichž střed kružnice opsané půlí nejdelší stranu, jsou pravoúhlé. Strany pravoúhlého trojúhelníku: Pravoúhlý trojúhelník Co víš o pravoúhlém trojúhelníku? Co víš o pravoúhlém trojúhelníku? Pythagorova věta:

3 Sinus ostrého úhlu Pomocí funkce sinus se naučíme vypočítat jeden z ostrých úhlů pravoúhlého trojúhelníku. Pomocí funkce sinus se naučíme vypočítat jeden z ostrých úhlů pravoúhlého trojúhelníku. Nejprve se však musíme domluvit na pojmenování odvěsen trojúhelníku: Nejprve se však musíme domluvit na pojmenování odvěsen trojúhelníku:

4 Dokážeš určit protilehlou a přilehlou odvěsnu úhlu  ? Dokážeš určit protilehlou a přilehlou odvěsnu úhlu  ?

5 Dokážeš určit sin  ? Dokážeš určit sin  ?

6 Hodnota sinu úhlu nezáleží na velikosti trojúhelníku, ale na poměru stran. Hodnota sinu úhlu nezáleží na velikosti trojúhelníku, ale na poměru stran.

7 Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C ; a = 5 cm, c = 10 cm. Vypočítej úhel . Řešení: Nejprve vypočítáme sin . POZOR, to ještě není velikost úhlu! Kalkulačkou (nebo tabulkami) určíme úhel. K čemu využijeme sinus úhlu? K čemu využijeme sinus úhlu?

8 Příklad 1: Trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C ; c = 5 cm, b = 3 cm. Kolik měří úhel  ?

9 První způsob: 1. Pomocí Pythagorovy věty dopočítáme stranu a. 2. Vypočítáme sin . 3. Pomocí kalkulačky nebo tabulek určíme úhel . 4. Velikost úhlu  je tedy přibližně 53°8‘.

10 Druhý způsob: 1. Vypočítáme pomocí funkce sin velikost úhlu . 2. Využijeme vlastnost úhlů v trojúhelníku – jejich součet je vždy 180°. Trojúhelník je pravoúhlý, tedy jeden úhel je velký 90°. 3. Velikost úhlu  je tedy přibližně 53°8‘.

11 Příklad 2: Příklad 2: Zjisti bez tabulek či kalkulačky, jen s pomocí pravítka a úhloměru, velikost úhlu , jestliže sin  =0,65. Řešení: 1. Nejprve si musíme uvědomit, že, kde 10 je přepona trojúhelníku a 6,5 protilehlá odvěsna daného úhlu.

12 2. Tento trojúhelník sestrojíme. Pomůže nám Thaletova věta. 3. Úhel změříme. 4. Výsledek si ověříme v tabulkách nebo na kalkulačce.

13 Kosinus ostrého úhlu

14 Příklad 1: Příklad 1: Zapiš sinus a kosinus úhlů  a  pomocí délek stran trojúhelníku DEF.

15 Příklad 2: Příklad 2: Narýsujeme pravoúhlý trojúhelník s přeponou dlouhou 10 cm. Poté změříme délku odvěsen. Narýsuj vhodný trojúhelník s úhlem  = 35°, změř potřebné strany a urči s přesností na dvě desetinná místa sin  a cos . Řešení:

16 Tangens a kotangens ostrého úhlu

17 Bez pomoci tabulek a kalkulačky, jen rýsováním a měřením, urči přibližnou velikost ostrého úhlu , jestliže platí. Příklad 1: Příklad 1: Řešení:

18 Příklad 2: Příklad 2: Řešení:

19 Vztahy mezi goniometrickými funkcemi ostrého úhlu Podobně:

20

21

22 Příklad 1: Příklad 1: Vypočítej sin , tg  a cotg , je-li cos  = 0,6.

23 Tabulka hodnot goniometrických funkcí

24 [1] Herman, J. a kol.: Matematika pro nižší ročníky víceletých gymnázií - Podobnost a funkce úhlu. Dotisk 1. vydání. Praha: Prometheus, ISBN s [2] Odvárko, O.: Matematika pro gymnázia – Goniometrie. Dotisk 3. vydání. Praha: Prometheus, ISBN s Literatura: