Teorie proudových strojů Rozměrová analýza a teorie fyzikální podobnosti Roman GÁŠPÁR Plzeň

Obsah Úvod Podmínky dynamické podobnosti Buckinghamův π-teorém Bezrozměrné veličiny proudových strojů Bezrozměrová kritéria pro stroje pracující se stlačitelnou tekutinou

Úvod V naprosté většině praktických úkolů získáváme charakteristické závislosti mezi fyzikálními veličinami experimentálně. Rozměrová analýza je užitečná tým, že snižuje počet nutných experimentů na minimum. Neposkytuje informace o konkrétních matematických závislostech mezi charakteristickými proměnnými, ale umožňuje nalézt jejich nejvhodnější vzájemné seskupení Poskytuje informace o provozních a technických vlastnostech Umožňuje porovnání dvou či více proudových strojů Cílem teorie fyzikální podobnosti je vyšetřovat podmínky, jejichž splnění podmiňuje fyzikální podobnost mezi dílem a modelem.

Podmínky fyzikální podobnosti v MT Geometrická podobnost Charakterizován konstantním poměrem délek při rovnosti úhlů Často obtížně splnitelný (drsnost, vůle…) Kinematická podobnost Popisuje podobnost pohybu tj. vektorů rychlosti a zrychlení. Podobnost pohybu tekutin je podobný, jsou-li podobná vektorová pole, charakterizována proudnicemi. Nejčastějším kritériem podobnosti je Strouhalovo číslo 𝑺𝒉= 𝒄.𝒕 𝒍 U periodických jevů volíme místo času t dobu stejné periody (ot./min) 𝒕= 𝟏 𝒏 Kritériem periodicky proměnlivých rychlostí je pak 𝑺𝒉= 𝒄 𝒏.𝒍

Podmínky fyzikální podobnosti v MT Dynamická podobnost Charakterizuje podobnost silových působení a účinků Poměr působících sil u fyzikálně podobných strojů je stejný. Jedná se o síly: Tlakové síly v tekutině (setrvačné síly, statické tlaky) Třecí síly v tekutině Vnější síly Povrchové napětí Síly dané pružností prostředí (Stlačitelností) Výše zmíněné podobnosti se popisují podobnostními čísly, které získáváme rozměrovou analýzou. Počet podobnostních čísel závisí od: Popisovaného děje Množství nezávislých parametrů… Nejpoužívanějším nástrojem rozměrové analýzy je Buckinghamův π-teorém

Bezrozměrové veličiny proud. strojů Proudový stroj je charakterizován: Geometrickými rozměry a tvarem průtokové části (průměr rotoru D[m]) Termodynamickými parametry (výkon, účinnost…) Regulovanými veličinami (otáčky, hmotnostní průtok, objemový průtok…) Funkční závislost popisující práci proudového stroje:   𝐹 1 = 𝐻 𝑠 ,𝑃, 𝑚 , 𝑛, 𝐷,𝜇, 𝜌 01 , 𝑎 01 ,𝜅, 𝑙 1 =0 (1)   𝐹 2 𝑃 𝑚 . 𝐻 𝑠 ; 𝑃 𝜌 01 . 𝑛 3 . 𝐷 5 ; 𝑚 𝜌 01 .𝑛. 𝐷 3 ; 𝜌 01 .𝑛. 𝐷 2 𝜇 ; 𝑛.𝐷 𝑎 01 ;𝜅; 𝑙 𝑖 𝐷 =0 (2)

Bezrozměrové veličiny proud. strojů   𝐹 2 𝑃 𝑚 . 𝐻 𝑠 ; 𝑃 𝜌 01 . 𝑛 3 . 𝐷 5 ; 𝑚 𝜌 01 .𝑛. 𝐷 3 ; 𝜌 01 .𝑛. 𝐷 2 𝜇 ; 𝑛.𝐷 𝑎 01 ;𝜅; 𝑙 𝑖 𝐷 =0 (2)   𝐹 2 𝜂;𝜋;𝑆ℎ=Φ;𝑅𝑒;𝑀𝑎;𝜅; 𝑙 𝑖 𝐷 =0 (3) Kinematická podobnost Strouhalovo číslo – Průtokový součinitel (Flow coefficient) 𝑆ℎ= 𝑐 𝑛.𝐷 ≡ 𝑚 𝜌 01 .𝑛. 𝐷 3 ≡Φ≡φ Φ= 𝑚 𝜌 01 .𝑛. 𝐷 3 = 𝜌 01 . 𝑉 𝜌 01 .𝑛. 𝐷 3 ~ 𝑐. 𝐷 2 𝑛. 𝐷 3 ~ 𝑐 𝑥 𝑈

Bezrozměrové veličiny proud. strojů Dynamická podobnost Reynoldsovo číslo– Průtokový součinitel (Flow coefficient) 𝑅𝑒= 𝑐.𝐷 𝜈 ≡ 𝜌 01 .𝑛. 𝐷 2 𝜇 Machovo číslo: 𝑀𝑎= 𝑐 𝑎 01 = 𝑛.𝐷 𝑎 01 Pozor: V průtočné části proudových strojů se hodnoty ς01 a a01 mění. Volí se hodnoty ve vstupní vztažné rovině.

Bezrozměrové veličiny proud. strojů Poměr měrných tepel 𝜅= 𝑐 𝑝 𝑐 𝑣 Termodynamická účinnost: Turbíny 𝜂 𝑡 = 𝑃 𝑚 . ℎ 𝑖𝑧 Kompresory 𝜂 𝑘 = 𝑚 . ℎ 𝑖𝑧 𝑃 Výkonový součinitel Π= 𝑃 𝜌 01 . 𝑛 3 . 𝐷 5

Bezrozměrové veličiny proud. strojů Kombinace parametrů ℎ 𝑖𝑧 𝑛 2 . 𝐷 2 ≡ Π 𝜂 𝑡 .Φ ℎ 𝑖𝑧 𝑛 2 . 𝐷 2 ~ 𝑝 02 𝑝 01 Rovnice (3) v explicitním tvaru   𝜂= 𝑓 1 𝑆ℎ, 𝑅𝑒, 𝑀𝑎, 𝜅 (4) 𝛱= 𝑓 1 [𝑆ℎ, 𝑅𝑒, 𝑀𝑎, 𝜅] (5) ℎ 𝑖𝑧 𝑛 2 . 𝐷 2 = 𝑓 1 [𝑆ℎ, 𝑅𝑒, 𝑀𝑎, 𝜅] (6)

Bezrozměrové veličiny proud. strojů Stroje pracující se stlačitelnou tekutinou Bezrozměrové kritéria, které se používají pro porovnávání strojů, se liší od charakteru proudového stroje (turbína/kompresor) Předpokládejme adiabatický proudový stroj, izentropicky protékaným plynem. Turbína ℎ 01 − ℎ 02𝑖𝑧 == 𝑐 𝑝 𝑇 01 − 𝑇 02𝑖𝑧 Kompresor ℎ 02𝑖𝑧 − ℎ 01 == 𝑐 𝑝 𝑇 02𝑖𝑧 − 𝑇 01

Stroje pracující se stlačitelnou tekutinou Opakování: 𝑝. 𝜌 −𝜅 =𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. ; 𝑐 𝑝 = 𝜅.𝑟 𝜅−1 ; 𝑎 01 2 =𝜅.𝑟. 𝑇 01 𝑇 02𝑖𝑧 𝑇 01 = 𝑝 02 𝑝 01 𝜅−1 𝜅 Kompresor: ℎ 𝑖𝑧 = ℎ 02𝑖𝑧 − ℎ 01 = 𝑐 𝑝 𝑇 02𝑖𝑧 − 𝑇 01 = 𝑐 𝑝 . 𝑇 01 . 𝑇 02𝑖𝑧 𝑇 01 −1 = 𝑐 𝑝 . 𝑇 01 . 𝑝 02 𝑝 01 𝜅−1 𝜅 −1 = = 𝑐 𝑝 . 𝑇 01 . 𝑝 02 𝑝 01 𝜅−1 𝜅 −1 = 𝜅.𝑟 𝜅−1 . 𝑇 01 . 𝑝 02 𝑝 01 𝜅−1 𝜅 −1 = 𝑎 01 2 𝜅−1 𝑝 02 𝑝 01 𝜅−1 𝜅 −1 Pak: ℎ 𝑖𝑧 𝑎 01 2 ~𝑓 𝑝 02 𝑝 01 ~ ℎ 𝑖𝑧 𝑛 2 𝐷 2

Stroje pracující se stlačitelnou tekutinou Pro průtokový součinitel můžeme napsat za pomoci stavové rovnice: Φ= 𝑚 𝜌 01 .𝑛. 𝐷 3 = 𝑚 𝜌 01 . 𝑎 01 . 𝐷 2 = 𝑚 .𝑟. 𝑇 01 𝑝 01 . 𝜅.𝑟. 𝑇 01 . 𝐷 2 = 𝑚 . 𝑟. 𝑇 01 𝑝 01 . 𝜅 . 𝐷 2 𝑎= 𝜅.𝑟.𝑇 ; 𝑝=𝜌.𝑟.𝑇; 𝜌= 𝑝 𝑟.𝑇 Výkonový součinitel uváženým první věty termodynamické pro adiabatickou změnu: Π= 𝑃 𝜌 01 . 𝑛 3 . 𝐷 5 = 𝑚 . 𝑎 𝑡 𝜌 01 . 𝑛 3 . 𝐷 5 = 𝑚 . 𝑐 𝑝 .Δ𝑇 𝜌 01 . 𝑛 3 . 𝐷 5 = 𝑐 𝑝 .Δ𝑇 𝑛 2 . 𝐷 2 ~ Δ 𝑇 0 𝑇 0 Δ𝑞=Δℎ+ 𝑎 𝑡 →Δℎ=− 𝑎 𝑡 = 𝑐 𝑝 .Δ𝑇 𝜌 01 . 𝐷 3 .𝑛= 𝑚

Stroje pracující se stlačitelnou tekutinou Rovnice (4)(5)(6): 𝜂 𝐾 ;Π ; ℎ 𝑖𝑧 𝑛 2 . 𝐷 2 = 𝑓 𝑖 Φ ;𝑀𝑎 ;𝑅𝑒 Veličina κ se ze skupiny bezrozměrných parametrů vypouští, protože je nezávisle proměnnou veličinou. Při porovnávání strojů dané velikosti, pracujícími stále se stejným plynem vypouštíme parametry r, κ a D. a rovnice (7) se zjednoduší: 𝜂 𝐾 ; Δ 𝑇 0 𝑇 01 ; 𝑝 02 𝑝 01 = 𝑓 𝑖 ~Φ ; ~𝑀𝑎   𝜂 𝐾 ; Δ 𝑇 0 𝑇 01 ; 𝑝 02 𝑝 01 = 𝑓 𝑖 𝑚 . 𝑟. 𝑇 01 𝑝 01 . 𝐷 2 ; 𝑛.𝐷 𝑟. 𝑇 01 ;𝑅𝑒 ;𝜅 (7) 𝜂 𝐾 ; Δ 𝑇 0 𝑇 01 ; 𝑝 02 𝑝 01 = 𝑓 𝑖 𝑚 . 𝑇 01 𝑝 01 ; 𝑛 𝑇 01 (8)

Stroje pracující se stlačitelnou tekutinou Nezávislé proměnní v rovnici (8) již nejsou bezrozměrovými veličinami a jejich hodnota závisí na používané jednotkové soustavě. Učinnost vyhodnotíme, známe li: Δ 𝑇 0 𝑇 01 ; 𝑝 02 𝑝 01 𝑛𝑒𝑏𝑜 𝑝 01 𝑝 02 Pro kompresor: 𝑝 02 𝑝 01 = 1− 𝜂 𝐾 . Δ 𝑇 0 𝑇 01 𝜅−1 𝜅 Pro turbínu: 𝑝 01 𝑝 02 = 1− Δ 𝑇 0 𝜂 𝑇 . 𝑇 01 𝜅−1 𝜅 𝜂 𝐾 ; Δ 𝑇 0 𝑇 01 ; 𝑝 02 𝑝 01 = 𝑓 𝑖 𝑚 . 𝑇 01 𝑝 01 ; 𝑛 𝑇 01 (8)

Stroje pracující se stlačitelnou tekutinou Součinitel zatížení: 𝜓= 𝑎 𝑡 𝜋.𝑛 2 . 𝐷 2 ~ 𝑎 𝑡 𝑈 2 =𝜓=𝑓 𝑐 𝑥 𝜋.𝐷.𝑛 =𝑓(Φ) Závislost 𝝍=𝒇 𝜱 , nerespektuje vliv Re a Ma!! Rychlostní poměr 𝜎= 𝑈 𝑐 𝑓 U- obvodová rychlost oběžných lopatek cf – vztažná rychlost (nejčastěji izentropická rychlost expandujícího plynu Veličiny Ψ a φ se využívají u plynových turbín a kompresorů. σ se používá v oboru parních turbín.

Děkuji za pozornost!