Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Sjednocení a průnik dvou jevů VY_32_INOVACE_M4r0115 Mgr. Jakub Němec

Disjunktní jevy Při hledání řešení problémů, které se týkají pravděpodobnosti, se může stát, že budeme muset dát dohromady více jevů, jež nás budou zajímat. V případě, že se pravděpodobnosti jednotlivých jevů budou vylučovat, tzn. že jsou disjunktní (𝐴∩𝐵=∅), neboli že nebudou obsahovat stejné prvky, lze pravděpodobnosti těchto jevů bez problému sečíst. Definice říká, že pravděpodobnost sjednocení dvou navzájem se vylučujících jevů je rovna jejich součtu: 𝑷 𝑨∪𝑩 =𝑷 𝑨 +𝑷(𝑩) Toto pravidlo samozřejmě platí pro n jevy, které však musí být po dvou disjunktní: 𝑷 𝑨 𝟏 ∪ 𝑨 𝟐 ∪…∪ 𝑨 𝒏 =𝑷 𝑨 𝟏 +𝑷 𝑨 𝟐 +…+( 𝑨 𝒏 )

V daném příkladu zjistíme pravděpodobnost samotných jevů. Je zřejmé, že jevy nemají žádný společný prvek, takže můžeme aplikovat vzorec pro součet disjunktních jevů. Rozdíl jedné desetiny procenta ve výsledku je dán zaokrouhlováním u pravděpodobností jednotlivých jevů. Zjistěte, jaká bude při hodu modrou a červenou hrací kostkou pravděpodobnost, když součet obou hodnot bude menší než pět nebo když bude součin obou hodnot větší než 15. Ω= 1,1 ; 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 1,5 ; 1,6 ; 2,1 ; 2,2 ; 2,3 ; 2,4 ; 2,5 ; 2,6 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,3 ; 3,4 ; 3,5 ; 3,6 ; 4,1 ; 4,2 ; 4,3 ; 4,4 ; 4,5 ; 4,6 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,3 ; 5,4 ; 5,5 ; 5,6 ; 6,1 ; 6,2 ; 6,3 ; 6,4 ; 6,5 ; 6,6 𝑃 𝐴 = 6 36 =0,167⟹16,7% 𝑃 𝐵 = 11 36 =0,306⟹30,6% 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 = = 6 36 + 11 36 = 17 36 =𝟎,𝟒𝟕𝟐⟹𝟒𝟕,𝟐%

Jevy se společnými prvky V případě, že chceme sjednotit jevy, které obsahují stejné prvky, musíme si uvědomit, že při obyčejném sečtení pravděpodobností, bychom prvek patřící do obou jevů zahrnuli dvakrát. Proto upravíme vzorec pro sjednocení pravděpodobností tak, aby vyhovoval i pro nedisjunktní jevy (bude fungovat také pro disjunktní jevy, protože jejich průnik je nulový): 𝑷 𝑨∪𝑩 =𝑷 𝑨 +𝑷 𝑩 −𝑷(𝑨∩𝑩) A 𝐴∩𝐵 B 𝐴−(𝐴∩𝐵) B

Sjednocení a průnik jevů – Vlastnosti Pravděpodobnost opačného jevu je vždy doplňkem pravděpodobnosti do celku, tedy do jedné, neboli do 100%: 𝑃 𝐴´ =1−𝑃(𝐴) Je–li jede jev podmnožinou jiného jevu, tak pravděpodobnost průniku doplňku podmnožiny a nadmnožiny je roven rozdílu podmnožiny a nadmnožiny: 𝑝𝑟𝑜 𝐵⊂𝐴 :𝑃 𝐴∩𝐵´ =𝑃 𝐴 −𝑃(𝐵) Pravděpodobnost jevu, který je podmnožinou, je menší nebo rovna pravděpodobnosti nadmnožinového jevu: 𝑝𝑟𝑜 𝐵⊂𝐴:𝑃(𝐵)≤𝑃(𝐴)

𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −P A∩𝐵 = = 9 36 + 15 36 − 3 36 = 21 36 =𝟎,𝟓𝟖𝟑⟹𝟓𝟖,𝟑% Zjistěte, jaká bude při hodu modrou a červenou hrací kostkou pravděpodobnost, když chceme, aby na obou kostkách bylo liché číslo nebo aby součet hodnot byl větší nebo roven osmi. V daném příkladu zjistíme pravděpodobnost samotných jevů. Jak lze vidět, tři prvky náleží oběma jevům. Proto musíme využít vzorec pro sjednocení jevů s odečtením průniku pravděpodobnosti obou jevů. Rozdíl jedné desetiny procenta ve výsledku je dán zaokrouhlováním u pravděpodobností jednotlivých jevů. Ω= 1,1 ; 1,2 ; 1,3 ; 1,4 ; 1,5 ; 1,6 ; 2,1 ; 2,2 ; 2,3 ; 2,4 ; 2,5 ; 2,6 ; 3,1 ; 3,2 ; 3,3 ; 3,4 ; 3,5 ; 3,6 ; 4,1 ; 4,2 ; 4,3 ; 4,4 ; 4,5 ; 4,6 ; 5,1 ; 5,2 ; 5,3 ; 5,4 ; 5,5 ; 5,6 ; 6,1 ; 6,2 ; 6,3 ; 6,4 ; 6,5 ; 6,6 𝑃 𝐴 = 9 36 =0,25⟹25% 𝑃 𝐵 = 15 36 =0,417⟹41,7% 𝑃 𝐴∩𝐵 = 3 36 =0,083⟹8,3% 𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −P A∩𝐵 = = 9 36 + 15 36 − 3 36 = 21 36 =𝟎,𝟓𝟖𝟑⟹𝟓𝟖,𝟑%

Úkol závěrem 1) Házíme dvěma hracími kostkami, černou a bílou. Určete sjednocení pravděpodobností dvou jevů: a) A – na obou kostkách bude stejná hodnota, B – na jedné kostce bude lichá hodnota, na druhé sudá hodnota b) A – hodnota na černé kostce bude dělitelná hodnotou na bílé kostce, B – součin obou hodnot bude větší nebo roven deseti

Zdroje Literatura: Calda, Emil; DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Dotisk 4. vydání. Praha: Prometheus, 2003, 170 s. ISBN 987-80-7196-362-2. Schémata byla tvořena v programu Malování, který je součástí operačního systému Windows.