NUMERICKÁ HOMOGENIZACE PERFOROVANÝCH DESEK Alena Somolová Školitel: Ing. Jan Zeman, PhD. Katedra stavební mechaniky, FSv ČVUT Praha

FORMULACE PROBLÉMU určení kritického zatížení tlačených perforovaných stěn pomocí homogenizace (stabilitní analýza) „perforovaná stěna“ → stěna oslabená hustou sítí malých otvorů (kruhového, čtvercového či trojúhelníkového tvaru různých rozměrů) porovnání výsledků s experimentálními hodnotami a s numerickým řešením doc. Ing. J. Máci, CSc. a doc. Ing. P. Fajmana, CSc. (perforovaná stěna modelovaná prutovými prvky v programu FEAT)

EXPERIMENTÁLNÍ MODEL PERFOROVANÉ STĚNY materiál → plexisklo (E = 3000MPa, ν = 0,4) rozměry → šířka 200 mm → výška 230 mm tuhý rám (2 x 15 mm) → rovnoměrné zatížení tlakovou silou → kloubové uložení stěny na dvou protilehlých stranách typy vylehčení → kruhový otvor → čtvercový otvor → trojúhelníkový otvor odlišné tloušťky stěn a velikosti otvorů Obr. Model perforované stěny

GRAFICKÉ POROVNÁNÍ KRITICKÝCH SIL

POSTUP ŘEŠENÍ 1/ Určení zhomogenizovaných materiálových charakteristik perforovaných desek: → vyjmutí periodické buňky → formulace způsobu podepření a zatížení periodické buňky → formulace periodických okrajových podmínek → modelování jednotlivých buněk v programu ADINA → výpočet „zprůměrovaných“ materiálových charakteristik potřebných pro výpočet kritického zatížení Model K: → založený na Kirchhoffových předpokladech pro tenké desky Model M: → založený na Mindlinových předpokladech pro tlusté desky – vliv smyku Obr. Periodické buňky 2/ Určení kritické síly pro boulení tlačené homogenní desky.

ŘEŠENÍ HOMOGENNÍHO PROBLÉMU Zjednodušená rovnice pro stabilitní analýzu tlačených stěn: Řešení - kritické zatížení tlačené stěny: Odpovídající kritická síla vnesená do rámu:

MODEL K Funkce jednotlivých pootočení: Periodické okrajové podmínky: → založený na Kirchhoffových předpokladech pro tenké desky Základní vztahy pro konstrukci periodické buňky (viz obr.) podepření ve třech bodech zatěžování jednotlivými křivostmi → odpovídajícími rotacemi v uzlových bodech Funkce jednotlivých pootočení: Periodické okrajové podmínky:

UKÁZKA VÝPOČTU PRO BUŇKU PWC 3-4 geometrie buňky, podepření a zatížení, periodické okrajové podmínky, použitá síť výsledný průhyb a rotace periodické buňky pro dané zatížení

UKÁZKA VÝPOČTU PRO BUŇKU PWS 6-27 geometrie buňky, podepření a zatížení, periodické okrajové podmínky, použitá síť výsledný průhyb a rotace periodické buňky pro dané zatížení

TABULKA – VYPOČTENÉ KRITICKÉ SÍLY – MODEL K OZNAČENÍ Fcrexp [N] lcr = 0,23 m lcr = 0,22 m lcr = 0,21 m lcr = 0,20 m Fcrhom chyba [%] PWC 3-3 107,7 121,8 13,1 133,1 23,6 146,1 35,7 161,1 49,6 PWC 3-4 154,4 144,3 6,5 157,8 2,2 173,1 12,1 190,9 PWC 3-12 147,4 144,8 1,8 158,2 7,3 173,6 17,8 191,4 29,9 PWC 4-3 146,3 251,4 71,8 274,8 87,8 301,5 106,1 332,5 127,2 PWC 4-12 169,3 196,0 15,8 214,2 26,5 235,1 38,9 259,2 53,1 PWC 5-3 118,8 267,7 125,4 292,6 321,2 170,3 354,1 198,0 PWC 5-4 186,0 279,7 50,4 305,7 64,3 335,5 80,4 369,9 98,9 PWC 5-12 249,7 323,3 29,5 353,3 41,5 387,8 55,3 427,5 71,2 PWC 6-12 271,6 433,2 59,5 473,5 74,3 519,7 91,3 572,9 110,9 PWC 6-24 178,4 309,9 73,7 338,7 89,8 371,7 108,4 409,8 129,7 PWC 6-240 294,6 422,8 43,5 462,1 56,8 507,1 72,1 559,1 PWS 5-26 282,3 309,3 9,6 338,0 19,7 371,0 31,4 409,0 44,9 PWS 6-27 396,4 420,8 6,2 459,9 16,0 504,8 27,3 556,5 40,4 PWT 6-20 293,6 369,1 25,7 403,4 37,4 442,8 50,8 488,1 66,3

GRAFICKÉ POROVNÁNÍ KRITICKÝCH SIL - MODEL K

MODEL M → založený na Mindlinových předpokladech pro tlusté desky – vliv smyku Základní vztahy pro konstrukci periodické buňky (viz obr. + model K) podepření ve třech bodech zatěžování jednotkovými křivostmi → odpovídajícími rotacemi a průhyby v uzlových bodech Periodické okrajové podmínky:

UKÁZKA VÝPOČTU PRO BUŇKU PWC 3-4 geometrie buňky, podepření a zatížení, periodické okrajové podmínky, použitá síť výsledný průhyb a rotace periodické buňky pro dané zatížení

UKÁZKA VÝPOČTU PRO BUŇKU PWS 6-27 geometrie buňky, podepření a zatížení, periodické okrajové podmínky, použitá síť výsledné rotace a průhyb periodické buňky pro dané zatížení

TABULKA – VYPOČTENÉ KRITICKÉ SÍLY – MODEL M OZNAČENÍ Fcrexp [N] lcr = 0,23 m lcr = 0,22 m lcr = 0,21 m lcr = 0,20 m Fcrhom [N] chyba [%] PWC 3-3 107,7 105,8 1,8 115,6 7,4 126,9 17,8 139,9 29,9 PWC 3-4 154,4 130,7 15,3 142,9 7,5 156,8 1,6 172,9 12,0 PWC 3-12 147,4 138,7 5,9 151,6 2,9 166,4 12,9 183,5 24,5 PWC 4-3 146,3 198,5 35,7 216,9 48,3 238,1 62,7 262,5 79,4 PWC 4-12 169,3 171,1 1,0 187,0 10,4 205,2 21,2 226,2 33,6 PWC 5-3 118,8 175,5 47,8 191,9 61,5 210,6 77,2 232,2 95,4 PWC 5-4 186,0 192,9 3,7 210,8 13,3 231,4 24,4 255,1 37,1 PWC 5-12 249,7 257,5 3,1 281,4 12,7 308,9 23,7 340,5 36,4 PWC 6-12 271,6 301,7 11,1 329,8 21,4 361,9 33,3 399,0 46,9 PWC 6-24 178,4 230,1 29,0 251,5 41,0 276,0 54,7 304,3 70,6 PWC 6-240 294,6 344,6 17,0 376,6 27,8 413,3 40,3 455,7 PWS 5-26 282,3 301,2 6,7 329,2 16,6 361,3 28,0 398,3 41,1 PWS 6-27 396,4 409,6 3,3 447,7 491,4 24,0 541,8 36,7

GRAFICKÉ POROVNÁNÍ KRITICKÝCH SIL – MODEL M

SHRNUTÍ DOSAVADNÍCH VÝSLEDKŮ model M založený na předpokladech Mindlinovy teorie pro desky dává ve většině případů lepší výsledky, v porovnání s experimentálními výsledky jsou však stále některé vypočtené hodnoty nedostatečně přesné → nutné vytvořit 3D model, přesnost výpočtu pomocí homogenizace je odvislá od typu vylehčení buňky, velikosti otvoru, počtu buněk v modelové stěně, poměru tloušťky buňky k výšce a šířce buňky.