Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Charakteristiky polohy VY_32_INOVACE_M4r0119 Mgr. Jakub Němec

Charakteristiky polohy Charakteristika polohy se určuje pouze u kvantitativních znaků. Úplnou informaci o statistickém souboru má, dává četnost, kterou jsme si představili v minulé lekci. Charakteristiky polohy nám slouží k rychlejší orientaci v celém souboru, avšak za cenu jistého zkreslení. Charakteristiky polohy nám určí jednou jedinou hodnotou místo na číselné ose (na níž lze nanést všechny hodnoty souboru), která přibližně odpovídá celému souboru. Charakteristik polohy je velké množství. Nyní si je představíme.

Aritmetický průměr 𝒙 = 𝟏 𝒏 𝟏 𝒏 𝒙 𝒏 = 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 +…+ 𝒙 𝒏 𝒏 . Nejčastěji užívanou a nejznámější charakteristikou polohy je aritmetický průměr, který značíme 𝒙 . Aritmetický průměr užíváme denně – průměrná cena potravin, průměrná výška, průměrný plat apod. Aritmetický průměr získáme tak, že sečteme hodnoty všech prvků statistického souboru a součet vydělíme počtem prvků. Vzorcem: 𝒙 = 𝟏 𝒏 𝟏 𝒏 𝒙 𝒏 = 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 +…+ 𝒙 𝒏 𝒏 . Pokud počítáme aritmetický průměr z již sestavené tabulky absolutní četnosti prvků, lze využít tuto četnost tak, že příslušným počtem četností vynásobíme odpovídající prvek. Poté jednotlivé výsledky sečteme a získaný součet vydělíme počtem prvků. Počet prvků odpovídá součtu všech četností, jak již víme z problematiky absolutní četnosti. 𝒙 = 𝒌 𝟏 ∙ 𝒙 𝟏 + 𝒌 𝟐 ∙ 𝒙 𝟐 +…+ 𝒌 𝒓 ∙ 𝒙 𝒓 𝒏 , kde 𝑘 1 + 𝑘 2 +…+ 𝑘 𝑟 =𝑛 a 𝑟∈ℕ odpovídá počtu různých prvků.

Vyžijme příkladu z úkolu minulé lekce: Petr hrál bowling a zapisoval si shozené kuželky za jednotlivá kola, kterých hrál celkem 20. Jeho výsledky vypadaly takto: 4, 5, 8, 10, 5, 9, 9, 8, 7, 3, 2, 0, 10, 9, 7, 7, 6, 8, 9 a 5. Sestavíme si tabulku absolutní četnosti. Na jejím základě můžeme vypočítat samotný aritmetický průměr. Máme dvě možnosti. Buď budeme hodnoty sčítat, nebo využijeme absolutní četnosti. Výsledek musí být stejný. 𝑥 = 0+2+3+4+5+5+5+6+7+7+7+8+8+8+9+9+9+9+10+10 20 𝑥 = 1∙0+1∙2+1∙3+1∙4+3∙5+1∙6+3∙7+3∙8+4∙9+2∙10 20 𝑥 = 131 20 =𝟔,𝟓𝟓

Vážený průměr Vážený průměr je odvozen od průměru aritmetického, kdy jednotlivé prvky mají různou důležitost, popř. „sílu“ v souboru. Značíme jej 𝒙 𝑽 . Vážený průměr se využívá při hledání konečné známky z předmětu, kde mají známky různý význam, při určování prospěchových stipendiích na vysokých školách nebo při průměrování průměrných hodnot. Při výpočtu váženého průměru vezmeme hodnoty, které určují váhu prvku (nebo mocnost, chcete–li), a vynásobíme jím příslušný prvek. Získané součiny sečteme a nakonec vydělíme součtem všech vah souboru. Vzorcem: 𝑥 𝑉 = 𝒌 𝟏 ∙ 𝒙 𝟏 + 𝒌 𝟐 ∙ 𝒙 𝟐 +…+ 𝒌 𝒓 ∙ 𝒙 𝒓 𝒌 𝟏 + 𝒌 𝟐 +…+ 𝒌 𝒓 , kde 𝑟∈ℕ odpovídá počtu různých vážených prvků Např. Mějme známku 1 s koeficientem 3 a známku 2 s koeficientem 5. Vážený průměr můžeme spočítat tak, že: a) sečteme tři známky 1 a pět známek 2 a vydělíme osmi (jako bychom dostali tři známky 1 a pět známek 2). b) vynásobíme mezi sebou známku a jeho váhu, sečteme součiny a vydělíme osmi, což je součet vah. Oba výsledky se rovnají číslu 1,625.

Hodnoty z tabulky dosadíme do vzorce. Určíme vážený průměr, který nám určí známku. Jaromír dostal za pololetí v matematice známky s koeficienty dle přiložené tabulky. Určete jeho konečnou známku na pololetí. 𝑥 𝑉 = 5∙2+7∙1,5+8∙3+6∙2+2∙1+1∙4+4∙3+9∙1+5∙2+8∙2,5+7∙2 5+7+8+6+2+1+4+9+5+8+7 𝑥 𝑉 = 127,5 62 =2,056≅𝟐

Harmonický průměr Harmonický průměr je také odvozen od aritmetického průměru. Jedná se o převrácenou hodnotu aritmetického průměru jeho převrácených hodnot. Značíme 𝒙 𝑯 . V praxi lze harmonický průměr využít v podstatě ve stejných situacích jako aritmetický průměr. Je pouze na praxi statistika, aby zhodnotil, který postup je pro něj v danou chvíli výhodnější. Harmonický průměr vypočteme pomocí vztahu: 𝑥 𝐻 = 1 1 𝑛 ∙ 1 𝑥 1 + 1 𝑥 2 +…+ 1 𝑥 𝑛 , kde 𝑛∈ℕ je počet prvků souboru.

Geometrický průměr 𝒙 𝑮 = 𝒏 𝒙 𝒏 𝒙 𝟎 , kde 𝑛∈ℕ odpovídá počtu období. Geometrický průměr je charakteristika, která pomáhá určovat průměrný růst prvků souboru. Při řešení geometrického průměru nejčastěji využíváme procenta. geometrický průměr zavádíme pouze pro kladná čísla. Značíme 𝒙 𝑮 . V praxi se užívá při zjišťování průměrného růstu dluhu, průměrný růst nákladů, průměrný úbytek váhy při dietě apod. Geometrický průměr spočteme tak, že si nejdříve v procentech vyjádříme hodnoty pro růst za jednotlivé období, tedy po prvním období 𝑧 1 = 𝑥 1 𝑥 0 , po druhém 𝑧 2 = 𝑥 2 𝑥 1 atd. až po poslední období 𝑧 𝑛 = 𝑥 𝑛 𝑥 𝑛−1 . získané hodnoty poté dosadíme do vztahu pro geometrický průměr: 𝒙 𝑮 = 𝒏 𝒛 𝟏 ∙ 𝒛 𝟐 ∙…∙ 𝒛 𝒏 , kde 𝑛∈ℕ odpovídá počtu období. Matematicky prokazatelnou skutečností je vztah pro průměrné tempo růstu, pro něhož nám stačí porovnat první a poslední stav hodnocené vlastnosti: 𝒙 𝑮 = 𝒏 𝒙 𝒏 𝒙 𝟎 , kde 𝑛∈ℕ odpovídá počtu období.

Ve firmě se vyrábí šest let krabí tyčinky Ve firmě se vyrábí šest let krabí tyčinky. První rok se jich vyrobilo 70000, druhý 73520, třetí 71342, čtvrtý 75691, pátý 78541 a šestý rok 78569. Jaký byl průměrný růst výroby? Nejprve musíme zjistit, jaké jsou poměry mezi danými obdobími. Získáme tak pět hodnot (první rok bereme jako výchozí hodnotu). Dosadíme do vzorce pro geometrický průměr. Můžeme využít i vzorce, do nějž se dosazují přímo zadané hodnoty. Výsledek musí vyjít stejně. 𝑧 1 = 𝑥 1 𝑥 0 = 73520 70000 ≅𝟏,𝟎𝟓𝟎𝟑 𝑧 2 = 𝑥 2 𝑥 1 = 71342 73520 ≅𝟎,𝟗𝟕𝟎𝟒 𝑧 3 = 𝑥 3 𝑥 2 = 75691 71342 ≅𝟏,𝟎𝟔𝟏 𝑧 4 = 𝑥 4 𝑥 3 = 78541 75691 ≅𝟏,𝟎𝟑𝟕𝟕 𝑧 5 = 𝑥 5 𝑥 4 = 78569 78541 ≅𝟏,𝟎𝟎𝟎𝟒 𝑥 𝐺 = 5 1,0503⋅0,9704⋅1,061⋅1,0377⋅1,0004 𝑥 𝐺 = 5 78569 70000 𝑥 𝐺 =𝟏,𝟎𝟐𝟑𝟒⟹𝟏𝟎𝟐,𝟑𝟒%

Modus a medián Mimo průměry existují ještě další dvě charakteristiky polohy, které hledí na statistický soubor z jiného úhlu. Modus je číslo, které se v souboru nejčastěji opakuje, tedy má největší četnost. Značíme 𝑴𝒐𝒅(𝒙). Medián je číslo, které získáme tak, že seřadíme prvky podle velikosti a vybereme ten prostřední (v případě sudého počtu prvků vytvoříme aritmetický průměr dvou prostředních hodnot). Značíme 𝑴𝒆𝒅 𝒙 . Obě hodnoty využíváme především v případech, kdy je soubor ovlivněn jednou extrémní hodnotou, což by nepříznivě ovlivnilo průměry.

Určete modus a medián statistického souboru. Využijme příkladu, v němž jsme počítali aritmetický průměr: Petr hrál bowling a zapisoval si shozené kuželky za jednotlivá kola, kterých hrál celkem 20. Jeho výsledky vypadaly takto: 4, 5, 8, 10, 5, 9, 9, 8, 7, 3, 2, 0, 10, 9, 7, 7, 6, 8, 9 a 5. Určete modus a medián statistického souboru. Sestavíme si tabulku absolutní četnosti. Modus je znak s největší četností. Medián vypočteme tak, že seřadíme prvky podle velikosti (lze vyčíst z dobře sestavené tabulky absolutní četnosti) a zprůměrujeme desátý a jedenáctý prvek (jsou prostřední). 𝑀𝑜𝑑 𝑥 =𝟗 𝑀𝑒𝑑 𝑥 = 𝑥 10 + 𝑥 11 2 = 7+7 2 =𝟕

Úkol závěrem 1) Oldřich střílel na terč. Zaznamenával si hodnoty svých hodů: 5, 15, 25, 10, 15, 5, 5, 0, 15, 20, 25, 25, 15, 20, 15, 10, 10, 15, 20, 5, 0, 15, 20, 25 a 15. Určete tabulku absolutní a relativní četnosti a zobrazte ji pomocí vhodného grafu. Zjistěte průměrnou hodnotu jednoho výstřelu. Určete modus a medián souboru. 2) Petra chce zjistit, jako známku z matematiky dostane. Určete její známku dle zadané tabulky.

Zdroje Literatura: Calda, Emil; DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Dotisk 4. vydání. Praha: Prometheus, 2003, 170 s. ISBN 987-80-7196-362-2.