Vzdálenost rovnoběžných přímek Stereometrie Vzdálenost rovnoběžných přímek VY_32_INOVACE_M3r0119 Mgr. Jakub Němec

Vzdálenost rovnoběžných přímek Na začátku si zopakujme, proč se nebavíme o vzdálenosti různoběžných a totožných přímek – vzdálenost mezi dvěma útvary měříme vždy na kolmici, což u různoběžek není možné (velikost určená různými kolmicemi má různé hodnoty) a totožné přímky mají vždy vzdálenost nulovou. Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek odpovídá vzdálenosti libovolného bodu jedné přímky od přímky druhé. Vzdálenost dvou rovnoběžných přímek odpovídá vzdálenosti bodů, které jsou průsečíky libovolné kolmice s danými přímkami.

V krychli ABCDEFGH o hraně a = 6 cm určete vzdálenost přímek AH a BG.

Přímky AH a BG jsou zřejmě rovnoběžné a tvoří řez ABGH.

Vzdálenost určujeme vždy na kolmici. Mezi rovnoběžnými přímkami je takovýchto kolmic nekonečně mnoho.

Zde vykreslen řez určený přímkami AH a BG. V tomto rovinném útvaru pro nás již není problém určit vzdálenost těchto přímek.

Z vlastností krychle vyplývá, že vzdálenost mezi přímkami odpovídá hraně krychle, tedy v = 6 cm.

V krychli ABCDEFGH o hraně a = 8 cm určete vzdálenost přímek AC a KL, kde body K a L jsou po řadě středy hran EH a GH.

Rovnoběžné přímky AC a KL určují rovinu, v níž můžeme hledat jejich vzdálenost.

Zde vykreslen řez rovinou ACL, který je zřejmě rovnoramenným lichoběžníkem (vyplývá z vlastností krychle). Dopočtení vzdálenosti, tedy výšky rovnoramenného trojúhelníku, je úlohou, kterou jsme řešili v planimetrii (určíme velikosti x, u a y a pomocí Pythagorovy věty dopočteme výšku). Toto řešení, jak sami zjistíte, není nejšťastnější.

𝑢=𝑎× 2 =8× 2 𝑐𝑚 𝐶𝐿 2 = 𝐶𝐺 2 + 𝐺𝐿 2 V horní části jsou přípravné výpočty pro doplnění do Pythagorovy věty, díky které vypočítáme hledanou výšku. 𝑥= 𝑢 2 = 𝑎× 2 2 =4× 2 𝑐𝑚 𝑦 2 = 𝑎 2 + 𝑎 2 2 𝑦= 𝑎× 5 2 =4× 5 𝑐𝑚 𝑢−𝑥 2 = 𝑎× 2 − 𝑎× 2 2 2 = 𝑎× 2 4 =2× 2 𝑐𝑚 𝑦 2 = 𝑢−𝑥 2 2 + 𝑣 2 𝑣 2 = 5×𝑎 2 4 − 2× 𝑎 2 16 = 18× 𝑎 2 16 𝑣= 𝟑𝒂× 𝟐 𝟒 =𝟔× 𝟐 𝒄𝒎

Můžeme také najít k rovině ACL kolmou rovinu. Část průsečnice, která je vymezena rovnoběžnými přímkami, je naše hledaná vzdálenost.

Na základě vlastností krychle můžeme přesně určit body R, S a T, které leží v rovině BFH, která je kolmá k rovině ACL.

V rovině BFH bude mnohem jednodušší dopočítat velikost úsečky 𝑅𝑇 =𝑣 pomocí Pythagorovy věty. Z vlastností krychle plyne, že velikost úsečky 𝑆𝑇 = 𝑢 4 .

𝑅𝑆 =𝑎=8 𝑐𝑚 Zde uveden výpočet. 𝑆𝑇 = 𝑢 4 = 𝑎× 2 4 =2× 2 𝑐𝑚 𝑅𝑇 =𝑣 𝑣 2 = 𝑎 2 + 𝑢 4 2 𝑣 2 = 𝑎 2 + 2× 𝑎 2 16 = 18× 𝑎 2 16 𝑣= 𝟑𝒂× 𝟐 𝟒 =𝟔× 𝟐 𝒄𝒎

Úkol závěrem 1) V krychli ABCDEFGH o hraně 7 cm urči vzdálenost přímek BG a KL, kde body K a L jsou po řadě středy hran AE a EH. 2) V krychli ABCDEFGH o hraně 4 cm urči vzdálenost přímek KL a MN, kde body K, L, M a N jsou po řadě středy hran AB, BC, EH a GH.

Zdroje Literatura: POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia - Stereometrie. 1. vydání. Praha: Prometheus, 1995, 223 s. ISBN 80-7196-004-7. Obrázky byly vytvořeny v programu Malování.