Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Šablona:III/2č. materiálu:VY_32_INOVACE_61 Jméno autora:Mgr. Iva Vrbová Třída/ročník:3.E/ třetí ročník Datum vytvoření:

Vzdělávací oblast:Člověk a logické myšlení Tematická oblast:Komplexní čísla Předmět:Matematika Název učebního materiálu:Zavedení oboru komplexních čísel Výstižný popis způsobu využití, případně metodické pokyny: Prezentace s animacemi zopakuje známé číselné obory. Vysvětlí nutnost zavedení nového číselného oboru na konkrétním příkladu. Seznámí se základními druhy komplexních čísel, způsoby zápisu a znázorněním. Klíčová slova:Číselné obory; Potřeba komplexních čísel; Imaginární jednotka; Zápis, znázornění a druhy komplexních čísel Druh učebního materiálu:prezentace

R Q Z N...přirozená číslaN = {1; 2; 3;... } Z...celá číslaZ = {... – 2; – 1; 0; 1; 2... } Q...racionální čísla (zlomky) Q = { p  Z; q  N: p/q } I...iracionální čísla(konstanty, odmocniny) R...reálná číslaR = (– ∞; +∞ ) NZNZ N Vývoj a přehled číselných oborů I NZQNZQNZQRNZQR I  R Q  I = R

Řešte rovnici: Jedná se o úplnou kvadratickou rovnici (učivo 1. ročníku), kterou můžeme řešit: rozkladem na součin pomocí Vietových vzorců, vzorcem pro kořeny s diskriminantem. Příklad:

Vietovy vzorce V normované kvadratické rovnici platí vztah mezi kořeny (x 1, x 2 ) a koeficienty (p, q): součin kořenů rovnice dává hodnotu absolutního členu: součet kořenů rovnice dává opačnou hodnotu lineárního koeficientu:

Vzorec pro kořeny s diskriminantem V obecné kvadratické rovnici vypočteme hodnotu výrazu, který řídí počet kořenů rovnice (diskriminant): 1)diskriminant je kladný,D > 0 rovnice má 2 různé reálné kořeny 2)diskriminant je nulový,D = 0 rovnice má 1 reálný kořen 3)diskriminant je záporný,D < 0 rovnice nemá reálný kořen

vrátíme se k řešení zadané kvadratické rovnice: D = (– 10) 2 – = 100 – 116 = – 16 < 0  rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení  Hledáme jiný početní postup a nový číselný obor, ve kterém bychom řešení nalezli: 1.vyjdeme z nejjednodušší rovnice tohoto typu (rovnice nemá v R řešení): 2.předpokládáme, že jejím kořenem je jisté číslo, které nazveme imaginární jednotkou: 3.uplatníme předpoklad a dosadíme: 4.upravíme rovnici x 2 – 10x + 29 = 0 do tvaru, který odpovídá tvaru x = 0

řešení ryze kvadratických rovnic v C

Závěr: Řešením kvadratických rovnic, jejichž diskriminant je záporný, budou obdobné výrazy, které se nazývají komplexní čísla.

Zápis komplexní čísla KČ zapisujeme dvěma způsoby a tudíž používáme tvar algebraický, tvar goniometrický.

Znázornění komplexní čísla KČ znázorňujeme jako body Gaussovy roviny, vektory Gaussovy roviny. Gaussova rovina, 0(x,y) ortogonální soustava souřadných os x, y.

Druhy komplexních čísel KČ imaginární KČ ryze imaginární KČ reálná ( R  C )

Použitá literatura: PETRÁNEK, O.; CALDA, E.; HEBÁK, P. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 4. část. 5. vyd. Praha : Prometheus, ISBN Kapitola 1, s. 9–47 JIRÁSEK, F.; BRANIŠ, K.; HORÁK, S.; VACEK, M. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd. Praha : Prometheus, ISBN Kapitola 1, s. 11–46