FFZS-03 Mechanika – dynamika soustav hmotných bodů a tuhých těles FFZS-03 Mechanika – dynamika soustav hmotných bodů a tuhých těles. Úvod do gravitace http://webak.upce.cz/~stein/lectcz/ffzs_03.html 25.10.2010

Hlavní body Blíže k realitě : soustava (systém) hmotných bodů a dokonale tuhé těleso První impulsová věta Moment hybnosti – základní zákony zachování Dynamika rotačních pohybů Druhá impulsová věta Hmotný střed, moment setrvačnosti a Steinerova věta Rozklad silového působení na translační a rotační u dokonale tuhého tělesa Úvod do gravitace 25.10.2010

Soustava hmotných bodů I Dosud jsme se zabývali mechanikou hmotného bodu. Tato abstrakce se hodila pro pohodlnou definici základních veličin mechaniky, ale při splnění příslušných předpokladů ji lze použít i k řešení skutečných problémů. Obecný sytém lze chápat jako soustavu hmotných bodů, které spolu jistým způsobem interagují. 25.10.2010

První věta impulsová I Na i-tý hmotný bod působí výslednice sil, kterou můžeme rozdělit na výslednici vnitřních sil, pocházejících z iterakce s hmotnými body, které jsou součástí systému a výslednici sil vnějších. Podle 2. Nz.: 25.10.2010

První věta impulsová II Celková hybnost systému je vektorový součet všech hybností: Potom platí: 25.10.2010

První věta impulsová III Časová změna celkové hybnosti je rovna výslednici vnějších sil. Jinými slovy celkovou hybnost mohou ovlivnit pouze vnější síly. Je to významný důsledek platnosti zákona akce a reakce. Součet všech vnitřních sil přes celý systém je totiž roven nule : 25.10.2010

Moment hybnosti – základní zákony zachování Z dynamiky hmotného bodu je zřejmé, že je-li výslednice působících sil nulová, zachovává hmotný bod svoji hybnost a kinetickou energii. Přímočarý pohyb je možné chápat jako okamžitou rotaci kolem počátku a definovat rotační pohybový stav hmotného bodu – moment hybnosti: I tato veličina se zachovává. K zachování může dojít dokonce i při působení nenulové síly, pokud má speciální směr; je tzv. centrální. 25.10.2010

Dynamika rotačních pohybů I Síla uvádí tělesa do translačních i rotačních pohybů, ale u rotačních je důležité jakým způsobem působí. Na pevné nehmotné vodorovné tyčce je hmotný bod m ve vzdálenosti r od vodorovného pantu, kolem kterého se tyčka může volně otáčet. Ve vzdálenosti  od tohoto pantu se snažíme působit silou F, abychom vykompenzovali gravitační působení a tyčka byla v rovnováze. 25.10.2010

Dynamika rotačních pohybů II Naše síla vyrovnává svislou tíhu, tedy k rovnováze přispěje pouze její svislá složka, kolmá k (vodorovné) tyčce : Fk = Fsin(). Experimentálně lze ověřit, že: Tíha hmotného bodu je podepřena současně naší silou a silou v pantu : G = F0 + Fk . Rozložení tíhy je nepřímo úměrné vzdálenosti podpůrných sil : F0 r = Fk ( - r) . Tedy : G r = Fk  25.10.2010

Dynamika rotačních pohybů III Je patrné, že pro otáčivý účinek síly je kromě její velikosti rozhodující i její vzdálenost od osy otáčení a její směr vzhledem ke směru působiště – osa. Souhrnně je otáčivý účinek popsán momentem síly : počátek je v průsečíku osy a roviny otáčení. 25.10.2010

Dynamika rotačních pohybů IV Předpokládejme konstantní moment síly. Potom s použitím druhého Newtonova zákona můžeme psát : Moment síly je tedy roven časové změně momentu hybnosti. Toto je nejobecnější formulace druhého Newtonova zákona pro rotaci. 25.10.2010

Dynamika rotačních pohybů V V případě, že těleso má konstantní hmotnost a geometrii, je výhodné zavést moment setrvačnosti vzhledem k příslušné ose otáčení : J =  mi r2i a psát : Význam tohoto vztahu ilustrujme na příkladu podobnému příkladu předchozímu : 25.10.2010

Dynamika rotačních pohybů VI Hmotný bod m, leží na pevné nehmotné tyčce ve vzdálenosti r od osy otáčení, nyní svislé : Síla F působí ve vzdálenosti  od této osy a leží ve vodorovné rovině a opět svírá s tyčkou úhel  : S využitím předchozího : Fk  = F sin()  = r m a = r2 m  . Jsou-li na tyčce dva hmotné body, můžeme ukázat aditivnost momentu setrvačnosti : F sin()  = r1 m1 a1 + r2 m2 a2 = (r21m1 + r22m2) . 25.10.2010

Druhá věta impulsová I Obdobně můžeme uvažovat o otáčivém účinku síly na i-tý hmotný bod vzhledem k libovolnému pevnému bodu O: 25.10.2010

Druhá věta impulsová II Celkový moment hybnost systému je vektorový součet všech momentů hybností uvažovaných k témuž pevnému bodu O: Při sčítání přes celý systém opět využíváme důsledku zákona akce a reakce. 25.10.2010

Druhá věta impulsová III Časová změna celkového momentu hybnosti je rovna výslednici momentů vnějších sil, vzhledem k pevnému bodu O: 25.10.2010

Důsledky impulsových vět Je-li výslednice vnějších sil, působících na systém nulová, zachovává se celková hybnost systému. Je-li výslednice momentů vnějších sil, působících na systém nulová, zachovává se celkový moment hybnosti systému. Vnější síly mají obecně translační i rotační účinek. Je důležité, jak působí vzhledem k hmotnému středu. 25.10.2010

Příklad – ráz těles I Centrální ráz – hmotné body jsou kuličky, na které nepůsobí žádné vnější síly. Před srážkou se (proti sobě) pohybují dvě kuličky mi, rychlostmi vi. Po srážce mají rychlosti ui. Podle I.VI se vždy zachovává celková hybnost: Ráz se odehrává mezi dvěma mantinely – dokonale nepružný u1 = u2 = u , kdy se tělesa po rázu pohybují společně, část mechanické energie se mění na jinou formu: Dokonale pružný – zachovává se i celková kinetická energie. Přibude podmínka : 25.10.2010

*Ráz těles II po vydělení rovnic dojdeme k řešení 25.10.2010

Hmotný střed I Celou soustavu lze reprezentovat těžištěm, přesněji hmotným středem , ve kterém je soustředěna celá hmotnost soustavy Získáme ho integrací rovnice : Definice těžiště platí i ve složkách : , , 25.10.2010

Hmotný střed II Hmotný střed: Nezávisí na volbě souřadné soustavy. Ale její vhodná volba může značně usnadnit výpočet. Je v průsečíku prvků symetrie. S ohledem na to volíme souřadnou soustavu. U těles s rotační symetrií lze využít Pappova teorému : dráha těžiště x plocha = objem. 25.10.2010

Hmotný střed III Uvažujme nový počátek v těžišti Potom : Této rovnosti lze využít k důkazu důležitých vlastností těžiště : rotace systému kolem libovolné osy, procházející těžištěm a pohyb posuvný neboli translační tohoto těžiště v prostoru jsou pohyby na sobě nezávislé. 25.10.2010

Hmotný střed IV Druhá věta impulsová tedy platí nejen vztáhneme-li ji k libovolnému pevnému bodu, ale také k těžišti systému, které se může dokonce obecně pohybovat. Je to ale jediný pohyblivý bod vzhledem k němuž tato věta platí. 25.10.2010

Dokonale tuhé těleso I Rozložení vnějšího účinku na translační a rotační závisí na dodatečných podmínkách. Některé systémy lze považovat za dokonale tuhé. Znamená to, že žádným působením se nemohou měnit vzdálenosti mezi hmotnými body. Takový systém tedy není možné deformovat. V praxi to znamená, že deformace, které jsou u reálných materiálů přítomny vždy, lze z hlediska řešení daného problému zanedbat. 25.10.2010

Dokonale tuhé těleso II Ani translační ani rotační silové působení na dokonale tuhé těleso se nezmění když: do libovolného bodu umístíme dvě síly stejně velké, ale opačně orientované. libovolnou sílu posuneme kamkoli po přímce jejího působení.  na libovolnou přímku umístíme dvě síly stejně velké, ale opačně orientované. 25.10.2010

Dokonale tuhé těleso III Účinek síly, která působí v přímce procházející těžištěm, je čistě translační Účinek dvojice stejných, opačně orientovaných sil, působících v libovolných paralelních přímkách, je čistě rotační. 25.10.2010

Dokonale tuhé těleso IV Steinerova věta I U tuhých těles je výhodné popsat rozložení hmotnosti pomocí momentu setrvačnosti : J =  mi r2i Z vlastnosti těžiště plyne Steinerova věta : kde Ja je moment setrvačnosti vůči ose, vzdálené a od těžiště a Jt je m.s. vůči ose procházející těžištěm, která je s ní paralelní 25.10.2010

*Dokonale tuhé těleso V Steinerova věta II Polohový vektor i-tého bodu lze vyjádřit pomocí jeho polohového vektoru v těžišťové soustavě : Tedy : Prostřední člen je z vlastnosti těžiště roven nule. 25.10.2010

Dokonale tuhé těleso VI Steinerova věta III Je patrné, že ze všech paralelních os je moment setrvačnosti nejmenší vůči ose procházející těžištěm. Je-li výslednice všech momentů sil, které působí na DTT nulová, rotuje těleso rovnoměrně (s konstantní ) kolem osy, procházející těžištěm nebo je v klidu. 25.10.2010

Dokonale tuhé těleso VII Statika Je-li výslednice všech sil, působících na DTT nulová, pohybuje se těleso rovnoměrně nebo je v klidu. Hledáním podmínek, za kterých zůstávají tělesa v klidu se zabývá statika. Obecně musí být vykompenzovány všechny síly a všechny momenty sil, a to každá jejich složka. 25.10.2010

Dokonale tuhé těleso VIII Kinetická energie Lze ukázat, že celková kinetická energie dokonale tuhého tělesa se obecně skládá z translační a rotační složky: 25.10.2010

Dokonale tuhé těleso IX hmotnost ~ moment setrvačnosti Ve vztazích pro rotační pohyb vystupuje moment setrvačnosti na místech, kde v analogických vztazích pro pohyb translační vystupuje hmotnost: 25.10.2010

Úvod do gravitace Setkáváme se s první dalekodosahovou silou, se silou gravitační. Jejím prostřednictvím na sebe hmotné body působí, aniž by byly v přímém vzájemném kontaktu. Na základě gravitačního působení funguje nebeská mechanika. Gravitační zákon je zobecněním dlouhodobých astronomických pozorování. 25.10.2010

Keplerovy zákovy Tisíciletá astronomická pozorování a hlavně velmi přesná měření Tychona Braheho (1546-1601) byla shrnuta Johannesem Keplerem (1571-1630) do tří zákonů: Planety se pohybují kolem Slunce po elipsách, blízkých kružnicím. Slunce je v jejich společném ohnisku. Při pohybu určité planety je její plošná rychlost konstantní. Při srovnání drah dvou různých planet platí pro jejich doby oběhu a dlouhé periody: 25.10.2010

Newtonův gravitační zákon I Keplerovy zákony byly později geniálně shrnuty do všeobecného gravitačního zákona Issacem Newtonem : Každé dva hmotné body na sebe působí přitažlivou silou, která působí ve směru jejich spojnice. Je přímo úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti. 25.10.2010

Newtonův gravitační zákon II Pro jednoduchost umístíme m1 do počátku a poloha m2 bude určena polohovým vektorem . Potom síla působící na bod m2 v důsledku existence bodu m1 , resp. její velikost jsou : 25.10.2010

Newtonův gravitační zákon II Gravitačně na sebe působí libovolné hmotnosti.  = 6.67 10-11 Nm2kg-2 … je univerzální gravitační konstanta “-” znamená, že se vždy jedná o sílu přitažlivou Při vzájemném působení více hmotných bodů platí princip superpozice  silové působení mezi dvěma hmotnými body nezávisí na rozložení jiných hmotností v jejich okolí, dokonce ani na hmotnosti ležící mezi nimi. 25.10.2010

* Od Keplera k Newtonovi I 2. K. z.  gravitační síla je centrální Plošná rychlost je definována: Zjevně úzce souvisí s momentem hybnosti Zachování plošné rychlosti je tedy ekvivalentní zachování momentu hybnosti. To podle druhé impulsové věty znamená, že moment gravitační síly je nulový. Tato nenulová síla tedy musí být buď paralelní nebo antiparalelní vzhledem k průvodiči. Protože je přitažlivá je antiparalelní. 25.10.2010

* Od Keplera k Newtonovi II 2. K. z.  gravitační síla je centrální Pro zjednodušený případ, kružnici, znamená konstantní plošná rychlost i konstantní úhlovou rychlost a tedy nulové úhlové zrychlení, což opět svědčí o nulové výslednici momentu sil a tedy i o tom, že gravitační síla je centrální. Pohyb po eliptické dráze je podobný jako pohyb na ‘horské dráze’ – těleso může zrychlovat i zpomalovat, ale zachovává se celková mechanická energie, tedy součet kinetické a potenciální energie a moment hybnosti. 25.10.2010

* Od Keplera k Newtonovi III 3. K. z.  gravitační síla ubývá se čtvercem vzdálenosti. Důkaz s použitím současného matematického aparátu je relativně snadný, ale z Newtonových zápisků není dodnes jasné, jak na něj přišel s prostředky, které byly známé v jeho době. 25.10.2010

* Od Keplera k Newtonovi IV Pro kružnici, jednoduše předpokládejme že platí: po úpravě: Podle 3. K.z. Musí být pravá strana konstantní a nesmí tedy záviset na r. To je splněno jen když je  = 0. 25.10.2010

Gravitační pole I Gravitační pole si představujeme jako informaci, kterou o sobě šíří hmotné body do svého okolí nese údaje o jejich hmotnosti a poloze šíří se rychlostí světla na tuto informaci reagují jiné zdroje stejného typu pole = hmotnosti tím, že na ně působí síla 25.10.2010

Gravitační pole II Gravitační pole je pole vektorové. Mohli bychom ho plně charakterizovat, v každém bodě třemi složkami síly , která působí na nějakou testovací hmotnost m. Výhodnější je tuto sílu vydělit testovací hmotností, čímž získáme intenzitu , která na ní již nezávisí a je tedy jednoznačnou vlastností pole. 25.10.2010

Gravitační pole III Intenzitu lze také chápat jako sílu, která by v daném bodě působila na jednotkovou hmotnost. Intenzita ale nemá rozměr síly, nýbrž síly dělené hmotností a tedy i jinou jednotku [N/kg]. 25.10.2010

Příklad dvě závaží na kladce I Mějme na válcové kladce m3, r dvě závaží, např. vlevo je m1 > m2. Pro tahy t1, t2, které vyvolávají jednotlivá závaží můžeme psát: t1 = m1g - m1a t2 = m2g + m2a (t1 - t2)r = J Můžeme-li zanedbat kladku J ≈ 0  t1 = t2 

Příklad dvě závaží na kladce II Kladku zanedbat nemůžeme, potom dosadíme a po jednoduché úpravě dostáváme :

Příklad dvě závaží na kladce III Stejný výsledek dostaneme ze zachování energie, když závaží m1 poklesne za Δt o Δh : derivujeme podle času, zkrátíme v a upravíme : ^

Příklad - potenciál I Spočítejme práci, kterou musíme (jako vnější činitel) dodat pro přemístění hmotnosti m z rA do rB v centrálním poli jisté hmotnosti M. Závisí jen na vzdálenostech od tělesa a práci musíme dodávat jen při zvětšování r, protože působíme proti přitažlivé síle. 25.10.2010