Geometrická posloupnost (2.část) VY_32_INOVACE_ 22-17 Geometrická posloupnost (2.část)

Opakování základních poznatků o geometrické posloupnosti Kdy je daná posloupnost geometrická? Lze obecně říci o geometrické posloupnosti, že je to funkce exponenciální? Kdy toto tvrzení platí? Co je potom jejím grafem? Jak dokazujeme, že daná posloupnost je geometrická?

Kontrola výsledků domácího úkolu Posloupnost je aritmetická, protože rozdíl je konstantní : Rekurentní určení této posloupnosti:

Posloupnost je geometrická, protože podíl je konstantní : Rekurentní určení této posloupnosti:

Vztahy mezi členy geometrické posloupnosti Pro všechna přirozená čísla n platí: Vztah mezi sousedními členy Vztah mezi prvním a n-tým členem Vztah mezi libovolnými dvěma členy , kde Poznámka: Každý člen ( s výjimkou prvního) je geometrickým průměrem svých sousedů, tedy .

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti Pro všechna přirozená čísla n platí: Poznámka: Jestliže q = 1, jedná se o konstantní posloupnost. Součet jejích prvních n členů je potom sn= n·a1 .

Úloha 1 Je dána posloupnost , v níž . Určeme tuto posloupnost, jestliže se jedná o posloupnost aritmetickou, geometrickou. Zapišme n-tý člen těchto posloupností a odvoďme vzorec pro součet prvních n členů každé z obou posloupností.

Řešení úlohy 1 Aritmetická posloupnost, v níž : Nezapomeňme, že každá aritmetická posloupnost je jednoznačně určena svým prvním členem a1 a diferencí d. Vzorec pro n-tý člen: Součet prvních n členů:

b) Geometrická posloupnost, v níž : Využijeme vztahu , kde : O každé geometrické posloupnosti platí, že je jednoznačně určena svým prvním členem a1 a kvocientem q. Vzorec pro n-tý člen: Součet prvních n členů:

Úloha 2 Určeme geometrické posloupnosti, ve které platí:

Řešení úlohy 2 Všechny členy v uvedených rovnicích převedeme pomocí vztahu na a řešíme vzniklou soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: rovnice vydělíme Závěr: Geometrická posloupnost má .

Úloha 3 V geometrické posloupnosti platí, že Vypočtěme .

Řešení úlohy 3 Dosazením do vztahu získáme exponenciální rovnici: Součet osmi členů: Závěr: V geometrické posloupnosti je a .

Domácí úkol q a1 a4 a6 s5 1.úloha 2 2.úloha 3.úloha 1 27 4.úloha 9 81 V tabulce jsou uvedeny údaje o geometrických posloupnostech. Doplňte volná pole tabulky. q a1 a4 a6 s5 1.úloha 2 2.úloha 3.úloha 1 27 4.úloha 9 81 5.úloha

Autor DUM: RNDr. Ivana Janů Autor příkladů: RNDr. Ivana Janů Děkuji za pozornost. Autor DUM: RNDr. Ivana Janů Autor příkladů: RNDr. Ivana Janů