Dynamika mechanismů dynamika mechanismů - metoda uvolňování, Dynamika I, 10. přednáška Obsah přednášky : dynamika mechanismů - metoda uvolňování, dynamika mechanismů - metoda redukce Doba studia : asi 1,5 hodiny Cíl přednášky : seznámit studenty se dvěma základními metodami řešení dynamiky mechanismů

metoda uvolňování metoda redukce Dynamika mechanismů Dynamika I, 10. přednáška Dynamika mechanismů pojednává o vztahu mezi silami, působícími na soustavu těles - mechanismus, a pohybem mechanismu, těmito silami způsobeném. Seznámíme se se dvěma základními metodami řešení dynamiky mechanismů. metoda uvolňování metoda redukce Obě metody představíme na příkladech. G1 G2

metoda uvolňování I a m2 a = ? m1 f a G1 G2 Dynamika I, 10. přednáška Metoda uvolňování spočívá v kombinaci již známých postupů ze statiky, kinematiky, dynamiky a matematiky. I a m2 a = ? m1 f a G1 G2 Dvě tělesa o hmotnostech m1 a m2 jsou spojena tuhým, ohebným lanem, převedeným přes kladku o momentu setrvačnosti I. Na obě tělesa působí tíhové síly G1 a G2. Těleso m1 leží na nakloněné rovině, skloněné pod úhlem a, s koeficientem tření f, těleso m2 volně visí. Určete s jakým zrychlením a se budou obě tělesa pohybovat.

metoda uvolňování e r I S1 S1 S2 a m1 S2 a m2 G1 T N a G2 Dynamika I, 10. přednáška metoda uvolňování Prvním krokem je příspěvek ze statiky - uvolnění soustavy těles. (Připomeňme na tomto místě že uvolňování je jeden z nejdůležitějších postupů v mechanice.) Uvolnit těleso znamená pomyslně odstranit vazby a nahradit je příslušnými vazbovými účinky (silami a momenty), které vazba přenáší. e r I S1 S1 S2 a S2 V tomto případě uvolníme lano mezi tělesem m1 a kladkou - přenáší sílu S1, a lano mezi kladkou a tělesem m2 - přenáší sílu S2. m1 a m2 G1 T N a G2

metoda uvolňování e r I S1 S1 S2 a m1 S2 a m2 G1 T N a G2 Dynamika I, 10. přednáška metoda uvolňování Druhým krokem je příspěvek z dynamiky - sestavení pohybových rovnic jednotlivých těles - členů mechanismu. V pohybových rovnicích jsou kromě vnějších sil i vnitřní - vazbové síly (nebo momenty). e r I S1 S1 S2 Těleso m1 : a Z rovnice rovnováhy pro směr kolmo ke směru pohybu vyplývá : m1 S2 a m2 G1 A třecí síla tedy je : T N Pohybová rovnice tělesa m1 : a G2

metoda uvolňování e r I S1 S1 S2 a m1 S2 a m2 G1 T N a G2 Dynamika I, 10. přednáška metoda uvolňování Druhým krokem je příspěvek z dynamiky - sestavení pohybových rovnic jednotlivých těles - členů mechanismu. V pohybových rovnicích jsou kromě vnějších sil i vnitřní - vazbové síly (nebo momenty). e r I S1 S1 S2 Těleso m1 : a Kladka : m1 S2 a m2 G1 Poznámka : V pohybové rovnici by mohl figurovat ještě moment čepového tření. V tomto příkladu je čepové tření zanedbáno. T N a G2

metoda uvolňování e r I S1 S1 S2 a m1 S2 a m2 G1 T N a G2 Dynamika I, 10. přednáška metoda uvolňování Druhým krokem je příspěvek z dynamiky - sestavení pohybových rovnic jednotlivých těles - členů mechanismu. V pohybových rovnicích jsou kromě vnějších sil i vnitřní - vazbové síly (nebo momenty). e r I S1 S1 S2 Těleso m1 : a Kladka : m1 S2 a m2 Těleso m2 : G1 T N a G2

metoda uvolňování e r I S1 S1 S2 a m1 S2 a m2 G1 T N a G2 Dynamika I, 10. přednáška metoda uvolňování Druhým krokem je příspěvek z dynamiky - sestavení pohybových rovnic jednotlivých těles - členů mechanismu. V pohybových rovnicích jsou kromě vnějších sil i vnitřní - vazbové síly (nebo momenty). e r I S1 S1 S2 Těleso m1 : a Kladka : m1 S2 a m2 Těleso m2 : G1 T N V soustavě tří pohybových rovnic se zdají být čtyři neznámé : a - zrychlení těles m1 a m2, e - úhlové zrychlení kladky, S1 - síla v laně mezi tělesem m1 a kladkou, S2 - síla v laně mezi kladkou a tělesem m2. Nadchází však třetí krok. a G2

metoda uvolňování e r I S1 S1 S2 a m1 S2 a m2 G1 T N a G2 Dynamika I, 10. přednáška metoda uvolňování Třetím krokem je příspěvek z kinematiky - vztahy mezi zrychlením nebo úhlovým zrychlením jednotlivých těles. Tento krok může být velmi jednoduchý, může však představovat (zejména u mechanismů s proměnným převodem) nejsložitější část řešení. e r I S1 S1 S2 V naší úloze je příspěvek z kinematiky velmi jednoduchý. Je to vztah : a m1 S2 a V upravené soustavě tří pohybových rovnic : m2 G1 T N a G2 jsou pak právě tři neznámé : a - zrychlení těles m1 a m2, S1 - síla v laně mezi tělesem m1 a kladkou, S2 - síla v laně mezi kladkou a tělesem m2.

metoda uvolňování e r I S1 S1 S2 a m1 S2 a m2 G1 T N a G2 Dynamika I, 10. přednáška metoda uvolňování Konečně čtvrtým krokem je příspěvek z matematiky - řešení soustavy rovnic. Standardním postupem pak je vyloučení vazbových sil. Tím získáme tzv. „vlastní pohybovou rovnici“. e r I S1 S1 S2 Např. : Z první a třetí pohybové rovnice vyjádříme síly v lanech S1 a S2 a dosadíme do druhé pohybové rovnice. a m1 S2 a m2 G1 T N a G2 Vlastní pohybová rovnice pak má tvar :

metoda uvolňování Postup sestavení vlastní pohybové rovnice mechanismu Dynamika I, 10. přednáška metoda uvolňování Postup sestavení vlastní pohybové rovnice mechanismu můžeme rozdělit do čtyř kroků : 1) Statika. Uvolnění jednotlivých těles - členů mechanismu, zavedení vazbových silových účinků (sil a/nebo momentů). 2) Dynamika. Sestavení pohybových rovnic jednotlivých těles. (V pohybových rovnicích figurují vazbové síly.) 3) Kinematika. Vyjádření zrychlení (resp. úhlového zrychlení) jednotlivých těles jako násobku zrychlení jednoho zvoleného členu mechanismu. 4) Matematika. Vyloučení vazbových sil z pohybových rovnic. Výsledkem je vlastní pohybová rovnice mechanismu. Poznámka k počtu stupňů volnosti mechanismu : Popsaný postup se týká mechanismu s jedním stupněm volnosti. Pohyb mechanismu s n stupni volnosti je popsán n nezávislými vlastními pohybovými rovnicemi. Mechanismus s n stupni volnosti je též poháněn n nezávislými hnacími členy s n nezávislými kinematickými parametry (rychlostí a zrychlením). Zrychlení (resp. úhlové zrychlení) každého jednotlivého tělesa (viz bod 3) je pak vyjádřeno z n nezávislých zrychlení n nezávislých hnacích členů.

metoda uvolňování Postup sestavení vlastní pohybové rovnice mechanismu Dynamika I, 10. přednáška metoda uvolňování Postup sestavení vlastní pohybové rovnice mechanismu můžeme rozdělit do čtyř kroků : 1) Statika. Uvolnění jednotlivých těles - členů mechanismu, zavedení vazbových silových účinků (sil a/nebo momentů). 2) Dynamika. Sestavení pohybových rovnic jednotlivých těles. (V pohybových rovnicích figurují vazbové síly.) 3) Kinematika. Vyjádření zrychlení (resp. úhlového zrychlení) jednotlivých těles jako násobku zrychlení jednoho zvoleného členu mechanismu. 4) Matematika. Vyloučení vazbových sil z pohybových rovnic. Výsledkem je vlastní pohybová rovnice mechanismu. Poznámka k charakteru převodu mechanismu : U mechanismu s konstantním převodem lze zrychlení (resp. úhlové zrychlení) kteréhokoliv členu mechanismu vyjádřit jako prostý násobek zrychlení (resp. úhlového zrychlení) hnacího členu (viz bod 3). ahnaný = p·ahnací U mechanismu s proměnným převodem lze zrychlení (resp. úhlové zrychlení) kteréhokoliv členu mechanismu vyjádřit jako součet násobku zrychlení a násobku kvadrátu rychlosti hnacího členu. ahnaný = p·ahnací + q·vhnací2

metoda uvolňování F v,a f e w,e M Dynamika I, 10. přednáška Postup demonstrujeme ještě jednou na příkladu vačkového mechanismu. Hnacím členem je vačka o poloměru r, uložená s excentricitou e (vzdálenost středu vačky od středu rotace), rotující s úhlovou rychlostí w a s úhlovým zrychlením e. Hnaným členem je zvedátko, konající posuvný, přímočarý, vratný pohyb rychlostí v se zrychlením a. F w,e v,a M f e·sinf y = r+e·sinf e r Začít můžeme kinematickým rozborem. Vačkový mechanismus je mechanismem s jedním stupněm volnosti, jeho poloha je dána jednou nezávislou souřadnicí (tzv. souřadnice mechanismu). Za souřadnici mechanismu si zvolíme úhel f, určující polohu vačky. Naopak souřadnice zvedátka y je souřadnicí závislou. Zdvihová závislost je : Derivací zdvihové závislosti získáme řešení rychlosti : Další derivací pak získáme řešení zrychlení :

metoda uvolňování F w,e v,a M R F a R f f e e M M Dynamika I, 10. přednáška metoda uvolňování Dalším krokem je uvolnění obou těles. Mezi vačkou a zvedátkem je obecná vazba. Ta přenáší (zanedbáme-li tření) pouze sílu R, kolmou ke společné dotykové rovině obou povrchů. F w,e v,a M R F a e·cosf R f f e e M M

metoda uvolňování F w,e v,a M R F a R f f e e M M Dynamika I, 10. přednáška metoda uvolňování Sestavíme pohybové rovnice obou těles. Vačka koná rotační pohyb, zvedátko posuvný pohyb. F w,e v,a M R F a e·cosf R f f e e M M

metoda uvolňování F v,a f e w,e M Dynamika I, 10. přednáška Z obou pohybových rovnic vyloučíme vazbovou sílu R. F w,e v,a M Konečně vezmeme v úvahu dříve odvozený vztah : Pohybová rovnice nabude konečné podoby : f e Další řešení se již značně liší podle toho jakého druhu je řešená úloha. Připomeňme : Úloha 1. druhu - kinetostatická. Pohyb je definován, řeší se neznámé silové účinky. Úloha 2. druhu - dynamická. Síly jsou dány, řeší se pohyb.

metoda uvolňování F v,a f e w,e M Dynamika I, 10. přednáška Pohybová rovnice : Úloha 1. druhu - kinetostatická. Dáno : f, w, e, F. Vypočtěte : M. Z pohybové rovnice snadno odvodíme : F w,e v,a M Jedná se o algebraický výraz, jenž lze vyčíslit, ev. převést do grafické podoby např. v tabulkovém editoru. Např. pro w=konst, e=0 a F=konst vychází následující průběh. f e

metoda uvolňování F v,a f e w,e M t f w e v a R Dynamika I, 10. přednáška metoda uvolňování Pohybová rovnice : Úloha 2. druhu - dynamická. Dáno : F, M. Vypočtěte : pohyb, tedy f=f(t), w=w(t), e=e(t). Pohybovou rovnici upravíme na diferenciální rovnici : F w,e v,a M Plnohodnotné řešení je tzv. řešení v uzavřeném tvaru : ???????????????????? f Toto řešení se nám však nepodaří nalézt (diferenciální rovnice je II. řádu, nelineární a, jednoduše řečeno, značně složitá). Můžeme nalézt numerické řešení. To v době stolní výpočetní techniky není žádný zvláštní problém. Výsledek ale nemá podobu funkčního předpisu ale podobu tabulky hodnot. e t f w e v a R Tabulku lze samozřejmě převést do grafické podoby.

metoda uvolňování F v,a f e w,e M Dynamika I, 10. přednáška Pohybová rovnice : Úloha 2. druhu - dynamická. Dáno : F, M. Vypočtěte : pohyb, tedy f=f(t), w=w(t), e=e(t). Alternativní řešení spočívá v tom, že místo výrazů : F w,e v,a M a použijeme výraz : Pohybová rovnice bude mít podobu diferenciální rovnice I. rádu : f e Otázka jejího řešení ať už v uzavřeném tvaru (zde w=w(f)) nebo řešení numerického (tabulka hodnot) však zůstává otevřená. V každém případě je výsledkem závislost na poloze, nikoliv na čase.

metoda redukce skutečnost náhrada Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada Zatímco metoda uvolňování nepřináší žádnou novou myšlenku, je založena pouze na vhodném kombinování poznatků ze statiky, kinematiky, dynamiky a matematiky, metoda redukce představuje novou myšlenkovou kvalitu. Podstatou metody redukce je náhrada. Původní, skutečnou úlohu, úlohu dynamiky soustavy těles (mechanismu), nahradíme jinou úlohou, úlohou dynamiky jednoho tělesa. Dokonce tělesa, konajícího jeden ze dvou nejjednodušších pohybů - posuvný nebo rotační. Náhrada ovšem musí být navržena tak, aby řešení náhradní úlohy bylo totožné s řešením skutečné, původní úlohy. Mezi skutečností a náhradou tedy musí být „styčné body“. Jak uvidíme, tyto styčné body jsou tři.

metoda redukce skutečnost náhrada w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na posuvný pohyb w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a x,v,a w1 m Náhrada : Na fiktivní, ve skutečnosti neexistující těleso o tzv. „redukované hmotnosti“ mred, pohybující se rychlostí v se zrychlením a, působí tzv. „redukovaná síla“ Fred. M G Postup jako obvykle vysvětlíme na příkladu. Skutečnost : Soustava těles je tvořena poháněcí kladkou o momentu setrvačnosti I1, o poloměru r1, rotující úhlovou rychlostí w1. Dále dvojitou převáděcí kladkou o momentu setrvačnosti I2, o poloměrech r2 a r3, rotující úhlovou rychlostí w2, převáděcí kladičkou zanedbatelné hmotnosti a konečně břemenem o hmotnosti m, zvedaným rychlostí v a se zrychlením a. Na poháněcí kladku působí moment M, překonávající tíhu břemene G.

metoda redukce skutečnost náhrada w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na posuvný pohyb w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a x,v,a w1 m Pohybová rovnice náhradní úlohy jakož i její řešení ... M G ... bude zároveň pohybovou rovnicí a řešením skutečné úlohy. (Musí však existovat ony již zmíněné tři „styčné body“.)

metoda redukce skutečnost náhrada w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na posuvný pohyb w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a x,v,a w1 m M G Prvním styčným bodem je kinematika : Dráha x, rychlost v a zrychlení a náhradního, fiktivního tělesa jsou stejné, jako dráha x, rychlost v a zrychlení a zvoleného skutečného tělesa na skutečné soustavě. Skutečnému tělesu na skutečné soustavě, s jehož kinematickými parametry (dráhou, rychlostí a zrychlením) ztotožníme kinematické parametry náhradního, fiktivního tělesa, říkáme „člen redukce“. Podle toho, zda člen redukce koná posuvný nebo rotační pohyb, mluvíme o redukci na posuvný pohyb nebo o redukci na rotační pohyb.

metoda redukce skutečnost náhrada w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na posuvný pohyb w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a x,v,a w1 m M G Druhým styčným bodem je kinetická energie : Kinetická energie EK náhradního, fiktivního tělesa musí být stejná, jako kinetická energie EK skutečné soustavy těles. Po doplnění kinematických poměrů se rychlost v vykrátí a zbude vztah pro redukovanou hmotnost mred. skutečnost náhrada

metoda redukce skutečnost náhrada w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na posuvný pohyb w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a x,v,a w1 m M G Druhým styčným bodem je kinetická energie : Kinetická energie EK náhradního, fiktivního tělesa musí být stejná, jako kinetická energie EK skutečné soustavy těles. Po doplnění kinematických poměrů se rychlost v vykrátí a zbude vztah pro redukovanou hmotnost mred.

metoda redukce skutečnost náhrada w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na posuvný pohyb w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a x,v,a w1 m M G Třetím styčným bodem je výkon : Výkon P redukované síly Fred musí být stejný, jako výkon P skutečných sil a momentů na skutečné soustavě těles. Po doplnění kinematických poměrů se rychlost v vykrátí a zbude vztah pro redukovanou sílu Fred. skutečnost náhrada

metoda redukce skutečnost náhrada w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na posuvný pohyb w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a x,v,a w1 m M G Třetím styčným bodem je výkon : Výkon P redukované síly Fred musí být stejný, jako výkon P skutečných sil a momentů na skutečné soustavě těles. Po doplnění kinematických poměrů se rychlost v vykrátí a zbude vztah pro redukovanou sílu Fred.

metoda redukce skutečnost náhrada w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na posuvný pohyb w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a x,v,a w1 m M G Pohybová rovnice náhradní úlohy, a tedy i pohybová rovnice skutečné úlohy, pak má tvar : První člen na levé straně, jakož i pravá strana, odpovídají pohybové rovnici hmotného bodu. Druhý člen na levé straně můžeme chápat jako jistou „daň“ za podstatné zjednodušení úlohy. Je-li však redukovaná hmotnost konstantní mred=konst, je její derivace podle dráhy x nulová a celý druhý člen odpadá. Tato situace nastává u mechanismů s konstantním převodem.

metoda redukce skutečnost náhrada w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na posuvný pohyb w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a x,v,a w1 m M G Pohybová rovnice mechanismu s proměnným převodem : Pohybová rovnice mechanismu s konstantním převodem (mred=konst) :

metoda redukce skutečnost náhrada w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na posuvný pohyb w2 I2, r2 Fred mred r3 I1, r1 x,v,a x,v,a w1 m M G Pohybová rovnice mechanismu s konstantním převodem (mred=konst) :

metoda redukce skutečnost náhrada redukce na posuvný pohyb Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na posuvný pohyb Odvození pohybové rovnice mechanismu metodou redukce. Základem je věta o změně kinetické energie, která je rovna práci. změna kinetické energie práce po vydělení časem výkon nebo v diferenciálním vyjádření Zaměříme se nejprve na levou, pak na pravou stranu rovnice. Kinetickou energii vyjádříme : Zde mred je virtuální ekvivalent skutečných hmot, vykazující stejnou kinetickou energii, jako skutečná soustava, v pak je rychlost členu redukce. Derivaci kinetické energie Ek podle času je třeba vyjádřit jako derivaci součinu (není žádný důvod se domnívat že výraz mred je konstantní - nejde o skutečnou hmotnost).

metoda redukce skutečnost náhrada redukce na posuvný pohyb Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na posuvný pohyb Odvození pohybové rovnice mechanismu metodou redukce. Základem je věta o změně kinetické energie, která je rovna práci. změna kinetické energie práce po vydělení časem výkon nebo v diferenciálním vyjádření Pravou stranu rovnice, výkon, můžeme vyjádřit jako : Zde Fred je virtuální ekvivalent skutečných sil (a momentů) na skutečné soustavě. Levou a pravou stranu pak lze vyjádřit jako : nebo po vykrácení rychlosti v : Toto je pohybová rovnice mechanismu s jedním stupněm volnosti pro řešení metodou redukce.

Ired metoda redukce skutečnost náhrada w2 I2, r2 r3 Mred I1, r1 x,v,a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na rotační pohyb w2 I2, r2 Ired r3 Mred I1, r1 x,v,a w1 w,e m M G Jak již bylo zmíněno, prvním styčným bodem je volba členu redukce. Kinematické parametry náhradní úlohy (rychlost a zrychlení) jsou shodné s kinematickými parametry jednoho zvoleného skutečného tělesa, členu skutečného mechanismu. Jestliže tento zvolený člen redukce koná rotační pohyb, hovoříme o redukci na rotační pohyb. Náhradní úlohou je pak pomyslný, fiktivní disk o tzv. „redukovaném momentu setrvačnosti“ Ired, rotující úhlovou rychlostí w s úhlovým zrychlením e, na nějž působí tzv. „redukovaný moment“ Mred.

Ired metoda redukce skutečnost náhrada w2 I2, r2 r3 Mred I1, r1 x,v,a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na rotační pohyb w2 I2, r2 Ired r3 Mred I1, r1 x,v,a w1 w,e m M G V tomto případě se naskýtají dvě možnosti - redukce na rotační pohyb poháněcí kladky nebo redukce na rotační pohyb převáděcí kladky. Častější volba je redukce na hnací člen. Náhradní úlohou je pak pomyslný, fiktivní disk o tzv. „redukovaném momentu setrvačnosti“ Ired, rotující úhlovou rychlostí poháněcí kladky w=w1 s úhlovým zrychlením poháněcí kladky e=e1, na nějž působí tzv. „redukovaný moment“ Mred.

Ired metoda redukce skutečnost náhrada w2 I2, r2 r3 Mred I1, r1 x,v,a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na rotační pohyb w2 I2, r2 Ired r3 Mred I1, r1 x,v,a w1 w,e m M G Druhým styčným bodem je kinetická energie : Kinetická energie EK náhradního, fiktivního tělesa musí být stejná, jako kinetická energie EK skutečné soustavy těles. Po doplnění kinematických poměrů se úhlová rychlost w=w1 vykrátí, zbude vztah pro Ired. skutečnost náhrada

Ired metoda redukce skutečnost náhrada w2 I2, r2 r3 Mred I1, r1 x,v,a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na rotační pohyb w2 I2, r2 Ired r3 Mred I1, r1 x,v,a w1 w,e m M G Druhým styčným bodem je kinetická energie : Kinetická energie EK náhradního, fiktivního tělesa musí být stejná, jako kinetická energie EK skutečné soustavy těles. Po doplnění kinematických poměrů se úhlová rychlost w=w1 vykrátí, zbude vztah pro Ired.

Ired metoda redukce skutečnost náhrada w2 I2, r2 r3 Mred I1, r1 x,v,a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na rotační pohyb w2 I2, r2 Ired r3 Mred I1, r1 x,v,a w1 w,e m M G Třetím styčným bodem je výkon : Výkon P redukovaného momentu Mred musí být stejný, jako výkon P skutečných sil a momentů na skutečné soustavě těles. Po doplnění kinematických poměrů se úhlová rychlost w=w1 vykrátí, zbude vztah pro Mred. skutečnost náhrada

Ired metoda redukce skutečnost náhrada w2 I2, r2 r3 Mred I1, r1 x,v,a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na rotační pohyb w2 I2, r2 Ired r3 Mred I1, r1 x,v,a w1 w,e m M G Třetím styčným bodem je výkon : Výkon P redukovaného momentu Mred musí být stejný, jako výkon P skutečných sil a momentů na skutečné soustavě těles. Po doplnění kinematických poměrů se úhlová rychlost w=w1 vykrátí, zbude vztah pro Mred.

Ired metoda redukce skutečnost náhrada w2 I2, r2 r3 Mred I1, r1 x,v,a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na rotační pohyb w2 I2, r2 Ired r3 Mred I1, r1 x,v,a w1 w,e m M G Pohybová rovnice náhradní úlohy, a tedy i pohybová rovnice skutečné úlohy, pak má tvar : Resp. pro mechanismus s konstantním převodem (Ired=konst) :

Ired metoda redukce skutečnost náhrada w2 I2, r2 r3 Mred I1, r1 x,v,a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na rotační pohyb w2 I2, r2 Ired r3 Mred I1, r1 x,v,a w1 w,e m M G Resp. pro mechanismus s konstantním převodem (Ired=konst) :

metoda redukce skutečnost r f M F I m w, e v, a x Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost r f M I F m w, e v, a x Poslední příklad - dynamika mechanismu s proměnným převodem, řešená metodou redukce. Hnacím členem kulisového mechanismu je klika délky r, o momentu setrvačnosti I, rotující úhlovou rychlostí w s úhlovým zrychlením e, jehož okamžitá poloha je dána úhlem f. Hnaným členem je kulisa o hmotnosti m, posouvající se rychlostí v se zrychlením a, jejíž okamžitá poloha je dána souřadnicí x. Na kliku působí hnací moment M, na kulisu působí síla F. Je-li : Pak :

metoda redukce skutečnost Dynamika I, 10. přednáška Poslední příklad - dynamika mechanismu s proměnným převodem, řešená metodou redukce. Hnacím členem kulisového mechanismu je klika délky r, o momentu setrvačnosti I, rotující úhlovou rychlostí w s úhlovým zrychlením e, jehož okamžitá poloha je dána úhlem f. Hnaným členem je kulisa o hmotnosti m, posouvající se rychlostí v se zrychlením a, jejíž okamžitá poloha je dána souřadnicí x. Na kliku působí hnací moment M, na kulisu působí síla F. Je-li : Pak :

Ired metoda redukce skutečnost náhrada r f M I F Mred m w,e w, e v, a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na rotační pohyb r f M Ired I F Mred m w,e w, e v, a x Zvolíme redukci na rotační pohyb kliky. Náhradní úlohou je pomyslný, fiktivní disk o redukovaném momentu setrvačnosti Ired, rotující úhlovou rychlostí kliky w a s úhlovým zrychlením kliky e, na nějž působí redukovaný moment Mred. Kinetická energie skutečného mechanismu, a tedy i kinetická energie fiktivního disku, je : Redukovaný moment setrvačnosti není konstantní, je funkcí polohy. Je-li : Pak :

Ired metoda redukce skutečnost náhrada r f M I F Mred m w,e w, e v, a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na rotační pohyb r f M Ired I F Mred m w,e w, e v, a x Výkon hnacího momentu M a síly F, jakož i výkon redukovaného momentu Mred, je : Je-li : Pak :

Ired metoda redukce skutečnost náhrada r f M I F Mred m w,e w, e v, a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na rotační pohyb r f M Ired I F Mred m w,e w, e v, a x Pohybová rovnice (jak již bylo uvedeno dříve) je : Druhý člen v pohybové rovnici však již není nulový, naopak :

Ired metoda redukce skutečnost náhrada r f M I F Mred m w,e w, e v, a Dynamika I, 10. přednáška metoda redukce skutečnost náhrada redukce na rotační pohyb r f M Ired I F Mred m w,e w, e v, a x Pohybová rovnice v konečném tvaru pak je : neboli :

metoda redukce Dynamika I, 10. přednáška K dalšímu řešení můžeme uvést následující : Řešení úlohy I. druhu (kinetostatická úloha, je dán pohyb a síla F, určete hnací moment M) je poměrně snadné :

metoda redukce Dynamika I, 10. přednáška K dalšímu řešení můžeme uvést následující : Řešení úlohy II. druhu (dynamická úloha, jsou dány silové účinky F a M, vyřešte pohyb) je značně komplikované. Pohybová rovnice pro řešení v čase má podobu nelineární diferenciální rovnice II. řádu : Její řešení v uzavřeném tvaru f = f(t) nedokážeme nalézt. Můžeme provést numerické řešení. Výsledkem je tabulka hodnot, kterou lze převést do grafické podoby. t f w e Alternativním řešením je řešení v poloze, tedy závislost úhlové rychlosti w na úhlu f. Dosadíme-li : Pak pohybová rovnice bude nelineární diferenciální rovnicí I. řádu : Řešením (ať už v uzavřeném tvaru nebo numerickým) je závislost úhlové rychlosti w na úhlu f.

metoda uvolňování metoda redukce Dynamika I, 10. přednáška Závěrem shrňme výhody a nevýhody obou metod. metoda uvolňování - je pracnější, zdlouhavější - řeší i vazbové síly (momenty) - umožňuje zahrnout i tření ve vazbách - aplikace na mechanismy s konstantním převodem a na mechanismy s proměnným převodem je shodná metoda redukce - je kratší, snadnější, zejména u mechanismů s konstantním převodem - neřeší vazbové síly (momenty) - neumožňuje zahrnout tření ve vazbách - aplikace na mechanismy s konstantním převodem a na mechanismy s proměnným převodem se liší

dynamika mechanismů - metoda uvolňování, Dynamika I, 10. přednáška Obsah přednášky : dynamika mechanismů - metoda uvolňování, dynamika mechanismů - metoda redukce