Části kruhu – jejich obvody a obsahy MATEMATIKA Části kruhu – jejich obvody a obsahy

Název projektu: Nové ICT rozvíjí matematické a odborné kompetence Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0228 Název školy: Střední odborná škola Litovel, Komenského 677 Číslo materiálu: III-2-05-18_Planimetrie Autor: Mgr. Jitka Vyhlídalová Tematický okruh: Matematika Ročník: I. Datum tvorby: 02. 2014 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Jitka Vyhlídalová

Kruhový oblouk Silnice zatáčí tak, že její úsek mezi body A, B je oblouk kružnice, jehož středový úhel je 76°. Určete délku této zatáčky, je-li poloměr kružnice 82 m. Př.: 𝐴 Tuto část kružnice nazýváme kruhový oblouk. Řešení: 𝑙 82 𝑚 𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑜𝑏𝑙𝑜𝑢𝑘𝑢 𝑠𝑒 𝑠𝑡ř𝑒𝑑𝑜𝑣ý𝑚 úℎ𝑙𝑒𝑚 360°…...2𝜋𝑟 76° 𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑜𝑏𝑙𝑜𝑢𝑘𝑢 𝑠𝑒 𝑠𝑡ř𝑒𝑑𝑜𝑣ý𝑚 úℎ𝑙𝑒𝑚 1°…... 2𝜋𝑟 360 𝐵 82 𝑚 𝑑é𝑙𝑘𝑎 𝑜𝑏𝑙𝑜𝑢𝑘𝑢 𝑠𝑒 𝑠𝑡ř𝑒𝑑𝑜𝑣ý𝑚 úℎ𝑙𝑒𝑚 𝛼…... 2𝜋𝑟 360 ∙𝛼 𝑙= 2𝜋∙82 360 ∙76≐109 𝑚 Zatáčka je dlouhá 109 metrů.

Kruhový oblouk Valená klenba průjezdu domu je určena obloukem kružnice o délce 3,35 m. Průměr této kružnice je 6,4 m. Vypočtěte velikost příslušného středového úhlu. Př.: Řešení: 3,35 𝑚 𝑑=6,4 𝑚 𝑟=3,2 𝑚 l= 2𝜋𝑟 360 ∙𝛼 𝑧 𝑟𝑜𝑣𝑛𝑖𝑐𝑒 𝑣𝑦𝑗á𝑑ří𝑚𝑒 𝛼 𝛼= 𝑙∙360 2𝜋𝑟 3,2 𝑚 𝛼= 3,35∙360 2𝜋∙3,2 =60° 𝛼 Středový úhel má velikost 60°. 𝑆

Kruhová výseč Určete výměru záhonu, který má tvar kruhové výseče o poloměru 5,5 m a středovém úhlu 150°. Př.: Řešení: Tuto část kruhu nazýváme kruhová výseč. 𝑜𝑏𝑠𝑎ℎ 𝑣ý𝑠𝑒č𝑒 𝑠𝑒 𝑠𝑡ř𝑒𝑑𝑜𝑣ý𝑚 úℎ𝑙𝑒𝑚 360°…...𝜋 𝑟 2 𝑜𝑏𝑠𝑎ℎ 𝑣ý𝑠𝑒č𝑒 𝑠𝑒 𝑠𝑡ř𝑒𝑑𝑜𝑣ý𝑚 úℎ𝑙𝑒𝑚 1°…... 𝜋 𝑟 2 360 5,5 m 150° 5,5 m 𝑜𝑏𝑠𝑎ℎ 𝑣ý𝑠𝑒č𝑒 𝑠𝑒 𝑠𝑡ř𝑒𝑑𝑜𝑣ý𝑚 úℎ𝑙𝑒𝑚 𝛼…... 𝜋 𝑟 2 360 ∙𝛼 S= 𝜋 ∙5,5 2 360 ∙150≐39,6 𝑚 2 Výměra záhonu je 39,6 𝑚 2 .

Kruhová výseč Plech má tvar kruhové výseče. Pásmem byl změřen její poloměr r = 1,2 m a délka oblouku l = 0,5 m. Určete velikost středového úhlu a obsah výseče. Př.: Řešení: Úhel 𝛼 vypočítáme ze vztahu pro délku kruhového oblouku: 1,2 m 0,5 m 𝑙= 2𝜋𝑟 360 ∙𝛼 𝛼= 𝑙∙360 2𝜋𝑟 𝛼 𝛼= 0,5∙360 2𝜋∙1,2 =24° 1,2 m Výpočet obsahu kruhové výseče: S= 𝜋 ∙𝑟 2 360 ∙𝛼= 𝜋 ∙1,2 2 360 ∙24=0,3 𝑚 2 Středový úhel má velikost 24°a obsah výseče je 0,3 𝑚 2 .

Kruhová úseč Odvoďte vzorec pro výpočet obsahu kruhové úseče – na obrázku vyšrafovaná plocha. Př.: Řešení: 𝐵 Od obsahu kruhové výseče odečteme obsah ∆ 𝐴𝐵S. 𝑆 ú = 𝑆 𝑣 − 𝑆 ∆ r 𝑆 𝑣 = 𝜋 𝑟 2 360 ∙φ 𝜑 𝑎∙𝑣 2 = 2𝑟𝑠𝑖𝑛𝛼∙𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼 2 = 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠𝛼∙𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑆 𝑆 ∆ = r 𝑺 ú = 𝝅 𝒓 𝟐 𝟑𝟔𝟎 ∙𝝋− 𝒓 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜶∙𝒔𝒊𝒏𝜶 𝐴 𝑐𝑜𝑠𝛼= 𝑣 𝑟 𝑣=𝑟𝑐𝑜𝑠𝛼 𝛼 𝑟 𝑟 𝑣 𝑠𝑖𝑛𝛼= 𝑎 2 𝑟 𝛼= 𝜑 2 𝑎=2𝑟𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑎

Kruhová úseč Určete obsah kruhové úseče, jejíž tětivou je strana pravidelného šestiúhelníku vepsaného do kružnice o poloměru 25 cm. Př.: Řešení: 𝑆𝑡ř𝑒𝑑𝑜𝑣ý úℎ𝑒𝑙 −360°:6=60° 𝑆 ú = 𝑆 𝑣 − 𝑆 ∆ 25 cm 𝜋 𝑟 2 360 ∙𝛼 25 cm 25 cm = 𝜋∙ 25 2 360 ∙60=327,25 𝑐𝑚 2 60° 𝑆 𝑣 = 𝑆 𝑆 ∆ = 𝑎 2 3 4 ∆ 𝑗𝑒 𝑟𝑜𝑣𝑛𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑛𝑛ý 𝑆 ∆ = 25 2 ∙ 3 4 =270,63 𝑐𝑚 2 𝑆 ú =327,25−270,63=𝟓𝟔,𝟔𝟐 𝒄𝒎 𝟐

Anotace: Tato prezentace slouží k procvičení a upevnění dovednosti určovat obsahy a obvody částí kruhu. Žák určí délku kruhového oblouku, obsah kruhové úseče a obsah kruhové výseče. Použité zdroje: doc. RNDr. Emil Calda, CSc.: Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU, 1. díl, 1. vydání 2002, Prometheus, ISBN 80-7196-253-8 RNDr. Milada Hudcová, Libuše Kubičíková: Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ, 1. vydání 1994, Prometheus, ISBN 80-85849-40-2 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Jitka Vyhlídalová