Lineární rovnice s absolutní hodnotou II. Rovnice a nerovnice Lineární rovnice s absolutní hodnotou II. VY_32_INOVACE_M1r0107 Mgr. Jakub Němec

Lineární rovnice s absolutní hodnotou V této lekci rozšíříme naše znalosti o počítání lineárních rovnic, v nichž se vyskytne více než jedna absolutní hodnota lineárního výrazu. U rovnic s jednou absolutní hodnotou jsme si navykli, že stačí rozdělit množinu možných řešení na dvě části. S rostoucím počtem absolutních hodnot se bude rozdělovat množina možných řešení na více intervalů (tím také získáme více možných kombinací, které vzniknou po aplikaci podmínky na řešenou rovnici), což činí řešení obtížnější, ale pozorný řešitel nemůže být zaskočen.

2∙ 𝑥−3 =𝑥+3∙(𝑥−1) 2∙ 𝑥−3 =4𝑥−3 𝑥−3≥0 𝑥−3<0 𝑥≥3 𝑥<3 2∙ 𝑥−3 =4𝑥−3 Začneme rovnicí s jednou absolutní hodnotou, abychom si postup zopakovali. Určete kořeny rovnice a ověřte je zkouškou. Nejdřív rovnici upravíme, jak nejvíc lze. Poté určíme podmínky pro kladný a záporný výraz v absolutní hodnotě. Na základě podmínek a definice absolutní hodnoty odstraníme absolutní hodnotu z rovnice a získáme tak lineární tvar. Vyřešíme rovnice. Porovnáme výsledky s podmínkami. Sestavíme množinu kořenů rovnice. Zkouška je ponechána jako cvičení pro řešitele. 2∙ 𝑥−3 =4𝑥−3 𝑥−3≥0 𝑥−3<0 𝑥≥3 𝑥<3 2∙ 𝑥−3 =4𝑥−3 2∙ − 𝑥−3 =4𝑥−3 2𝑥−6=4𝑥−3 −2∙ 𝑥−3 =4𝑥−3 −2𝑥=3/:(−2) −2𝑥+6=4𝑥−3 𝑥=− 3 2 −6𝑥=−9/:(−6) 𝑥= 9 6 = 3 2 − 3 2 ≱3 3 2 <3 𝐾= ∅ 𝐾= 3 2 𝑲= ∅ ∪ 𝟑 𝟐 = 𝟑 𝟐

𝑥−4 + 𝑥+3 =5𝑥−1 (−∞;−3) −3;4 (4;∞) 𝑥∈(−∞;−3) − 𝑥−4 − 𝑥+3 =5𝑥−1 Nyní se pustíme do příkladů se dvěma absolutními hodnotami. Určete kořeny rovnice a ověřte je zkouškou. Na začátek je nutné určit si nulové body absolutních hodnot (kolem nich se „převrací“ jejich kladnost a zápornost). V tomto příkladu je množina možných výsledků rozdělena na tři části (nesmí být vynecháno žádné číslo, po sjednocení intervalů podmínek musíme získat všechna reálná čísla). Tyto intervaly představují nové podmínky, které upraví naši rovnici podle definice absolutní hodnoty vždy na jiný tvar. Postup je složitější, proto je rozdělen do více snímků. Nejdříve vypočteme rovnici podle první podmínky. Odstraníme absolutní hodnotu na základě podmínky a určíme řešení. Provedeme diskuzi výsledku nad podmínkami. (−∞;−3) −3;4 (4;∞) 𝑥∈(−∞;−3) − 𝑥−4 − 𝑥+3 =5𝑥−1 −𝑥+4−𝑥−3=5𝑥−1 −2𝑥+1=5𝑥−1 −7𝑥=−2/:(−7) 𝑥= 2 7 2 7 ∉(−∞;−3) 𝐾= ∅

𝑥−4 + 𝑥+3 =5𝑥−1 (−∞;3) −3;4 (4;∞) 𝑥∈ −3;4 − 𝑥−4 + 𝑥+3 =5𝑥−1 Nyní vyřešíme rovnici na základě druhé podmínky. Odstraníme absolutní hodnotu na základě definice absolutní hodnoty. Vypočteme rovnici. Porovnáme výsledek s podmínkou. (−∞;3) −3;4 (4;∞) 𝑥∈ −3;4 − 𝑥−4 + 𝑥+3 =5𝑥−1 −𝑥+4+𝑥+3=5𝑥−1 7=5𝑥−1 5𝑥=8/:5 𝑥= 8 5 8 5 ∈ −3;4 𝐾= 8 5

𝑥−4 + 𝑥+3 =5𝑥−1 (−∞;3) −3;4 (4;∞) 𝑥∈(4;∞) 𝑥−4 + 𝑥+3 =5𝑥−1 𝑥−4+𝑥+3=5𝑥−1 Nyní vyřešíme rovnici na základě třetí podmínky. Odstraníme absolutní hodnotu na základě definice absolutní hodnoty. Vypočteme rovnici. Porovnáme výsledek s podmínkou. Když jsme prověřili řešení pro všechny podmínky, které jsme na začátku stanovili, můžeme sjednotit existující kořeny do množiny kořenů rovnice. (−∞;3) −3;4 (4;∞) 𝑥∈(4;∞) 𝑥−4 + 𝑥+3 =5𝑥−1 𝑥−4+𝑥+3=5𝑥−1 2𝑥−1=5𝑥−1 −3𝑥=0/:(−3) 𝑥=0 0∉(4;∞) 𝐾= ∅ 𝑲= ∅ ∪ 𝟖 𝟓 ∪ ∅ = 𝟖 𝟓

𝑥−3 − 2𝑥+5 =−𝑥−8 −∞;−2,5 −2,5;3 (3;∞) 𝑥∈(−∞;−2,5) − 𝑥−3 − − 2𝑥+5 =−𝑥−8 Řešte rovnici a její kořeny ověřte zkouškou. Určíme si nulové body absolutních hodnot a rozdělíme množinu možných řešení na tři podmínkové intervaly. Nejdříve vyřešíme rovnici podle první podmínky. Na základě definice odstraníme absolutní hodnotu. Vypočteme rovnici. Porovnáme výsledek s podmínkou. Řešení pro další podmínky je na dalších snímcích. −∞;−2,5 −2,5;3 (3;∞) 𝑥∈(−∞;−2,5) − 𝑥−3 − − 2𝑥+5 =−𝑥−8 − 𝑥−3 + 2𝑥+5 =−𝑥−8 −𝑥+3+2𝑥+5=−𝑥−8 𝑥+8=−𝑥−8 2𝑥=−16/:2 𝑥=−8 −8∈(−∞;−2,5) 𝐾= −8

𝑥−3 − 2𝑥+5 =−𝑥−8 −∞;−2,5 −2,5;3 (3;∞) 𝑥∈ −2,5;3 − 𝑥−3 − 2𝑥+5 =−𝑥−8 Nyní vyřešíme rovnici na základě druhé podmínky. Odstraníme absolutní hodnotu na základě definice absolutní hodnoty. Vypočteme rovnici. Porovnáme výsledek s podmínkou. −∞;−2,5 −2,5;3 (3;∞) 𝑥∈ −2,5;3 − 𝑥−3 − 2𝑥+5 =−𝑥−8 −𝑥+3−2𝑥−5=−𝑥−8 −3𝑥−2=−𝑥−8 −2𝑥=−6/:(−2) 𝑥=3 3∈ −2,5;3 𝐾= 3

𝑥−3 − 2𝑥+5 =−𝑥−8 −∞;−2,5 −2,5;3 (3;∞) 𝑥∈(3;∞) 𝑥−3 − 2𝑥+5 =−𝑥−8 Nyní vyřešíme rovnici na základě třetí podmínky. Odstraníme absolutní hodnotu na základě definice absolutní hodnoty. Vypočteme rovnici. Porovnáme výsledek s podmínkou. Když jsme prověřili řešení pro všechny podmínky, které jsme na začátku stanovili, můžeme sjednotit existující kořeny do množiny kořenů rovnice. −∞;−2,5 −2,5;3 (3;∞) 𝑥∈(3;∞) 𝑥−3 − 2𝑥+5 =−𝑥−8 𝑥−3−2𝑥−5=−𝑥−8 −𝑥−8=−𝑥−8 0𝑥=0 𝐾=(3;∞) 𝑲= −𝟖 ∪ 𝟑 ∪ 𝟑;∞ = −𝟖 ∪<𝟑;∞)

𝑥−5 𝑥+6 =1 (−∞;−6) (−6;5> (5;∞) 𝑥∈(−∞;−6) −(𝑥−5) −(𝑥+6) =1 𝑥−5 𝑥+6 =1 Řešte rovnici a její kořeny ověřte zkouškou. Určíme si nulové body absolutních hodnot a rozdělíme množinu možných řešení na tři podmínkové intervaly. Pozor na nulový bod absolutní hodnoty ve jmenovateli, ten do možné množiny řešení nebude patřit (vyřešili jsme tak i podmínku pro řešení lomeného výrazu). Nejdříve vyřešíme rovnici podle první podmínky. Na základě definice odstraníme absolutní hodnotu. Vypočteme rovnici. Tato část řešení nemá reálná kořen. Řešení pro další podmínky je na dalších snímcích. (−∞;−6) (−6;5> (5;∞) 𝑥∈(−∞;−6) −(𝑥−5) −(𝑥+6) =1 𝑥−5 𝑥+6 =1/(𝑥+6) 𝑥−5=𝑥+6 0=11 𝐾= ∅

𝑥−5 𝑥+6 =1 (−∞;−6) (−6;5> (5;∞) 𝑥∈(−6;5> −(𝑥−5) 𝑥+6 =1/(𝑥+6) 𝑥−5 𝑥+6 =1 Nyní vyřešíme rovnici na základě druhé podmínky. Odstraníme absolutní hodnotu na základě definice absolutní hodnoty. Vypočteme rovnici. Porovnáme výsledek s podmínkou. (−∞;−6) (−6;5> (5;∞) 𝑥∈(−6;5> −(𝑥−5) 𝑥+6 =1/(𝑥+6) −𝑥+5=𝑥+6 −2𝑥=1/:(−2) 𝑥=− 1 2 − 1 2 ∈(−6;5> 𝐾= − 1 2

𝑥−5 𝑥+6 =1 (−∞;−6) (−6;5> (5;∞) 𝑥∈(5;∞) 𝑥−5 𝑥+6 =1/(𝑥+6) 𝑥−5=𝑥+6 𝑥−5 𝑥+6 =1 Nyní vyřešíme rovnici na základě třetí podmínky. Odstraníme absolutní hodnotu na základě definice absolutní hodnoty. Vypočteme rovnici. Tato část řešení nemá reálná kořen. Když jsme prověřili řešení pro všechny podmínky, které jsme na začátku stanovili, můžeme sjednotit existující kořeny do množiny kořenů rovnice. (−∞;−6) (−6;5> (5;∞) 𝑥∈(5;∞) 𝑥−5 𝑥+6 =1/(𝑥+6) 𝑥−5=𝑥+6 0=11 𝐾= ∅ 𝑲= ∅ ∪ − 𝟏 𝟐 ∪ ∅ = − 𝟏 𝟐

𝑥−4 𝑥+3 − 𝑥 +3 =3 (−∞;−3) −3;0 (0;4) <4;∞) 𝑥∈(−∞;−3) 𝑥−4 𝑥+3 − 𝑥 +3 =3 Řešte rovnici a její kořeny ověřte zkouškou. Určíme si nulové body absolutních hodnot a rozdělíme množinu možných řešení na čtyři podmínkové intervaly. Nejdříve vyřešíme rovnici podle první podmínky. Na základě definice odstraníme absolutní hodnotu. Vypočteme rovnici. Nulou nelze dělit, rovnice tedy nemá reálný kořen. Řešení pro další podmínky je na dalších snímcích. (−∞;−3) −3;0 (0;4) <4;∞) 𝑥∈(−∞;−3) −(𝑥−4) − 𝑥+3 −(−𝑥)+3 =3 −𝑥+4 −𝑥−3+𝑥+3 =3 −𝑥+4 0 =3 𝑲= ∅

𝑥−4 𝑥+3 − 𝑥 +3 =3 (−∞;−3) −3;0 (0;4) <4;∞) 𝑥∈ −3;0 𝑥−4 𝑥+3 − 𝑥 +3 =3 Nyní vyřešíme rovnici na základě druhé podmínky. Odstraníme absolutní hodnotu na základě definice absolutní hodnoty. Vypočteme rovnici. Porovnáme výsledek s podmínkou. (−∞;−3) −3;0 (0;4) <4;∞) 𝑥∈ −3;0 −(𝑥−4) 𝑥+3 − −𝑥 +3 =3 −𝑥+4 𝑥+3+𝑥+3 =3 −𝑥+4 2𝑥+6 =3/(2𝑥+6) −𝑥+4=6𝑥+18 −7𝑥=14/:(−7) 𝑥=−2 −2∈ −3;0 𝐾= −2

𝑥−4 𝑥+3 − 𝑥 +3 =3 (−∞;−3) −3;0 (0;4) <4;∞) 𝑥∈(0;4) 𝑥−4 𝑥+3 − 𝑥 +3 =3 Nyní vyřešíme rovnici na základě třetí podmínky. Odstraníme absolutní hodnotu na základě definice absolutní hodnoty. Vypočteme rovnici. Tato část řešení nemá reálná kořen vzhledem k podmínce. (−∞;−3) −3;0 (0;4) <4;∞) 𝑥∈(0;4) −(𝑥−4) 𝑥+3 −𝑥+3 =3 −𝑥+4 6 =3/∙6 −𝑥+4=18 −𝑥=14/∙(−1) 𝑥=−14 −14∈(0;4) 𝐾= ∅

𝑥−4 𝑥+3 − 𝑥 +3 =3 (−∞;−3) −3;0 (0;4) <4;∞) 𝑥∈<4;∞) 𝑥−4 𝑥+3 − 𝑥 +3 =3 Nyní vyřešíme rovnici na základě čtvrté podmínky. Odstraníme absolutní hodnotu na základě definice absolutní hodnoty. Vypočteme rovnici. Porovnáme řešení s podmínkou. Když jsme prověřili řešení pro všechny podmínky, které jsme na začátku stanovili, můžeme sjednotit existující kořeny do množiny kořenů rovnice. (−∞;−3) −3;0 (0;4) <4;∞) 𝑥∈<4;∞) 𝑥−4 𝑥+3−𝑥+3 =3 𝑥−4 6 =3/∙6 𝑥−4=18 𝑥=22 22∈<4;∞) 𝐾= 22 𝑲= ∅ ∪ −𝟐 ∪ ∅ ∪ 𝟐𝟐 = −𝟐;𝟐𝟐

Úkol závěrem Řešte rovnice a proveďte zkoušku: a) 3𝑥−7 =5−x b) 3−𝑥 − 2𝑥+5 =−2 c) 𝑥−13 +2∙ 5−3𝑥 =3 d) 7−𝑥 + 𝑥+4 𝑥−10 =4𝑥+5

Zdroje Literatura: CHARVÁT, Jura; ZHOUF, Jaroslav; BOČEK, Leo. Matematika pro gymnázia: Rovnice a nerovnice. 4. vydání. Praha: Prometheus, 2010, 223 s. ISBN 987-80-7196-362-2.