Geometrická posloupnost (1.část) VY_32_INOVACE_ 22-15 Geometrická posloupnost (1.část)

Úloha 1 Sestrojme grafy následujících posloupností zadaných výčtem jejich prvků: b) Jak se liší u těchto posloupností člen následující od členu předchozího? Zapišme tyto posloupnosti rekurentně. Sestavme vzorec pro n–tý člen daných posloupností. Jedná se v těchto případech o funkci? O jakou?

Řešení úlohy 1 Posloupnost (I.) an+1 = 2an ; a1 = 1, an = 2n – 1. 3 an 2 8 4 16 1 5 Každý následující člen je dvojnásobkem členu předchozího, tzn. , že rekurentní určení posloupnosti je an+1 = 2an ; a1 = 1, vzorec pro n-tý člen je an = 2n – 1. Tato posloupnost je zvláštním případem funkce exponenciální y = 2x – 1.

Posloupnost (II.) Každý následující člen se rovná polovině členu předchozího, tzn., že rekurentní určení posloupnosti je vzorec pro n-tý člen je Tato posloupnost je zvláštním případem funkce exponenciální n 3 an 0,75 1,5 6 2 4 1 5

Posloupnost (III.) Každý následující člen se rovná polovině členu předchozího se současnou změnou znaménka, tzn., že rekurentní určení posloupnosti je vzorec pro n-tý člen je Tato posloupnost není zvláštním případem funkce exponenciální . (Proč?) 2 4 1 5 n 3 an -0,75 -3 1,5 6 0,375

Definice geometrické posloupnosti Posloupnost se nazývá geometrická, právě když existuje takové reálné číslo q, že Reálné číslo q je tzv. kvocient geometrické posloupnosti. Poznámka: Ve všech úlohách budeme předpokládat, že a10 a zároveň q0.

Vlastnosti geometrické posloupnosti: V geometrické posloupnosti je vždy podíl dvou libovolných sousedních členů konstantní, protože . Jestliže kvocient , jedná se o zvláštní případ exponenciální funkce, grafem jsou body ležící na exponenciále. Omezení posloupnosti a její monotónnost záleží na hodnotách a .

Odpovězte na zadané otázky v následujícím testu. Návod: Využijte grafů posloupností. (Časový rozsah celého testu jsou 3 minuty.) (Test ve formátu *.ppt nebo *.pdf )

Úloha 2 Která z následujících posloupností je geometrická? Dokažme toto tvrzení na základě definice geometrické posloupnosti:

Řešení úlohy 2 Má-li být posloupnost geometrická, musí platit, že podíl jejich sousedních členů je konstantní a rovná se kvocientu q. Závěr: O geometrickou posloupnost se jedná pouze v a), c).

Domácí úkol Která z následujících posloupností je aritmetická a která geometrická? Dokažte tato tvrzení na základě definice aritmetické a geometrické posloupnosti. Obě posloupnosti zapište rekurentně.

Autor DUM: RNDr. Ivana Janů Autor příkladů a grafů: RNDr. Ivana Janů Děkuji za pozornost. Autor DUM: RNDr. Ivana Janů Autor příkladů a grafů: RNDr. Ivana Janů