KUŽELOSEČKY Tečna elipsy

Tečna elipsy určená bodem dotyku kuželosečky Geometrická konstrukce: Tečna k elipse s ohnisky E, F v jejím libovolném bodě T je osa úhlu přímek ET, FT 𝑬: 𝒙−𝒎 𝟐 𝒂 𝟐 + 𝒚−𝒏 𝟐 𝒃 𝟐 =𝟏 Tečna elipsy v jejím bodě 𝑻= 𝒙 𝟎 ; 𝒚 𝟎 𝒕: 𝒙 𝟎 −𝒎 𝒙−𝒎 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟎 −𝒏 𝒚−𝒏 𝒃 𝟐 =𝟏 má rovnici

Tečna elipsy určená bodem dotyku kuželosečky Příklad 1 Urči rovnice tečen elipsy v jejích bodech 𝑻= 𝟔;𝒚 . 𝑬: 𝒙−𝟑 𝟐 𝟐𝟓 + 𝟒 𝒚+𝟒 𝟐 𝟐𝟓 =𝟏 body dotyku: 𝟔−𝟑 𝟐 𝟐𝟓 + 𝟒 𝒚+𝟒 𝟐 𝟐𝟓 =𝟏 /.𝟐𝟓 𝟗+𝟒 𝒚 𝟐 +𝟖𝒚+𝟏𝟔 =𝟐𝟓 /:𝟒 𝒚 𝟐 +𝟖𝒚+𝟏𝟐=𝟎 𝒚 𝟏 =−𝟐⟹ 𝑻 𝟏 = 𝟔;−𝟐 𝒚+𝟐 𝒚+𝟔 =𝟎 𝒚 𝟐 =−𝟔⟹ 𝑻 𝟐 = 𝟔;−𝟔

Tečna elipsy určená bodem dotyku kuželosečky tečny 𝒕: 𝒙 𝟎 −𝒎 𝒙−𝒎 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟎 −𝒏 𝒚−𝒏 𝒃 𝟐 =𝟏 𝒎=𝟑;𝒏=−𝟒; 𝒂 𝟐 =𝟐𝟓; 𝒃 𝟐 = 𝟐𝟓 𝟒 𝑻 𝟏 = 𝟔;−𝟐 𝑻 𝟐 = 𝟔;−𝟔 𝟔−𝟑 𝒙−𝟑 𝟐𝟓 + −𝟐+𝟒 𝒚+𝟒 𝟐𝟓 𝟒 =𝟏 /.𝟐𝟓 𝟑 𝒙−𝟑 +𝟖 𝒚+𝟒 =𝟐𝟓 𝟔−𝟑 𝒙−𝟑 𝟐𝟓 + −𝟔+𝟒 𝒚+𝟒 𝟐𝟓 𝟒 =𝟏 /.𝟐𝟓 𝟑 𝒙−𝟑 −𝟖 𝒚+𝟒 =𝟐𝟓 𝒕 𝟏 : 𝟑𝒙+𝟖𝒚−𝟐=𝟎 𝒕 𝟐 : 𝟑𝒙−𝟖𝒚−𝟔𝟔=𝟎

Tečna elipsy určená bodem dotyku kuželosečky Znázornění příkladu 1 v programu GeoGebra

Tečna elipsy určená vnějším bodem kuželosečky 𝒑: 𝒙 ´ −𝒎 𝒙−𝒎 𝒂 𝟐 + 𝒚 ´ −𝒏 𝒚−𝒏 𝒃 𝟐 =𝟏 řešení užitím poláry

Tečna elipsy určená vnějším bodem kuželosečky Příklad 2 Urči rovnice tečen elipsy v bodě 𝐏= 𝟕;𝟒 . 𝑬: 𝒙−𝟏 𝟐 𝟏𝟖 + 𝒚−𝟏 𝟐 𝟗 =𝟏 polára 𝒑: 𝒙 ´ −𝒎 𝒙−𝒎 𝒂 𝟐 + 𝒚 ´ −𝒏 𝒚−𝒏 𝒃 𝟐 =𝟏 𝟕−𝟏 𝒙−𝟏 𝟏𝟖 + 𝟒−𝟏 𝒚−𝟏 𝟗 =𝟏 /.𝟏𝟖 𝟔 𝒙−𝟏 +𝟔 𝒚−𝟏 −𝟏𝟖=𝟎 𝟔𝒙−𝟔+𝟔𝒚−𝟔−𝟏𝟖=𝟎 𝒑: 𝒙+𝒚−𝟓=𝟎

Tečna elipsy určená vnějším bodem kuželosečky body dotyku 𝒑∩𝑬= 𝑻 𝟏 ; 𝑻 𝟐 𝒑: 𝒙+𝒚−𝟓=𝟎⟹𝒚=𝟓−𝒙 𝑬: 𝒙−𝟏 𝟐 𝟏𝟖 + 𝟓−𝒙−𝟏 𝟐 𝟗 =𝟏 𝒙−𝟏 𝟐 +𝟐 𝟒−𝒙 𝟐 −𝟏𝟖=𝟎 𝒙 𝟐 −𝟐𝒙+𝟏+𝟑𝟐−𝟏𝟔𝒙+𝟐 𝒙 𝟐 −𝟏𝟖=𝟎 𝟑 𝒙 𝟐 −𝟏𝟖𝒙+𝟏𝟓=𝟎 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙+𝟓=𝟎 𝒙 𝟏 =𝟏⟹ 𝒚 𝟏 =𝟒⟹ 𝑻 𝟏 = 𝟏;𝟒 𝒙−𝟏 𝒙−𝟓 =𝟎 𝒙 𝟐 =𝟓⟹ 𝒚 𝟐 =𝟎⟹ 𝑻 𝟐 = 𝟓;𝟎

Tečna elipsy určená vnějším bodem kuželosečky tečny 𝒕: 𝒙 𝟎 −𝒎 𝒙−𝒎 𝒂 𝟐 + 𝒚 𝟎 −𝒏 𝒚−𝒏 𝒃 𝟐 =𝟏; 𝒎=𝟏; 𝒏=𝟏 𝑻 𝟏 = 𝟏;𝟒 𝑻 𝟐 = 𝟓;𝟎 𝟏−𝟏 𝒙−𝟏 𝟏𝟖 + 𝟒−𝟏 𝒚−𝟏 𝟗 =𝟏 /.𝟏𝟖 𝟔 𝒚−𝟏 =𝟏𝟖 𝟔𝒚=𝟐𝟒 𝟓−𝟏 𝒙−𝟏 𝟏𝟖 + 𝟎−𝟏 𝒚−𝟏 𝟗 =𝟏 /.𝟏𝟖 𝟒 𝒙−𝟏 −𝟐 𝒚−𝟏 =𝟏𝟖 𝟒𝒙−𝟒−𝟐𝒚+𝟐−𝟏𝟖=𝟎 𝒕 𝟏 : 𝒚=𝟒 𝒕 𝟐 : 𝟐𝒙−𝒚−𝟏𝟎=𝟎

Tečna elipsy určená vnějším bodem kuželosečky Znázornění příkladu 2 v programu GeoGebra

Tečna elipsy určená směrem kuželosečky Příklad 3 Urči rovnice tečen elipsy 𝑬: 𝒙−𝟐 𝟐 𝟏𝟎 + 𝒚−𝟑 𝟐 𝟒𝟎 =𝟏 rovnoběžných s přímkou 𝒑:𝟐𝒙+𝟑𝒚+𝟏𝟎=𝟎. Stanov body dotyku. tečna má s elipsou právě jeden společný bod 𝒕: 𝟐𝒙+𝟑𝒚+𝒒=𝟎⟹𝒙= −𝟑𝒚−𝒒 𝟐 𝑬: −𝟑𝒚−𝒒 𝟐 −𝟐 𝟏𝟎 𝟐 + 𝒚−𝟑 𝟐 𝟒𝟎 =𝟏 /⋅𝟒𝟎 𝟒 − 𝟑𝒚+𝒒+𝟒 𝟐 𝟐 + 𝒚 𝟐 −𝟔𝒚+𝟗−𝟒𝟎=𝟎 𝟗 𝒚 𝟐 + 𝒒 𝟐 +𝟏𝟔+𝟔𝒒𝒚+𝟖𝒒+𝟐𝟒𝒚+ 𝒚 𝟐 −𝟔𝒚−𝟑𝟏=𝟎 𝟏𝟎 𝒂 𝒚 𝟐 + 𝟔𝒒+𝟏𝟖 𝒃 𝒚+ 𝒒 𝟐 +𝟖𝒒−𝟏𝟓 𝒄 =𝟎 𝑫= 𝟔𝒒+𝟏𝟖 𝟐 −𝟒⋅𝟏𝟎 𝒒 𝟐 +𝟖𝒒−𝟏𝟓 =−𝟒 𝒒 𝟐 −𝟏𝟎𝟒𝒒+𝟗𝟐𝟒=𝟎 𝒒 𝟐 +𝟐𝟔𝒒−𝟐𝟑𝟏=𝟎

Tečna elipsy určená směrem 𝑻 𝟏 = 𝒕 𝟏 ∩𝑬 kuželosečky existují dvě tečny elipsy daného směru 𝒒 𝟐 +𝟐𝟔𝒒−𝟐𝟑𝟏=𝟎 𝒒 𝟏,𝟐 = −𝟐𝟔± 𝟐𝟔 𝟐 −𝟒⋅𝟏⋅ −𝟐𝟑𝟏 𝟐 = −𝟑𝟑;𝟕 𝒕 𝟏 : 𝟐𝒙+𝟑𝒚+𝟕=𝟎 𝒕 𝟐 : 𝟐𝒙+𝟑𝒚−𝟑𝟑=𝟎 body dotyku 𝑻 𝟏 = 𝒕 𝟏 ∩𝑬 𝒕 𝟏 : 𝟐𝒙+𝟑𝒚+𝟕=𝟎⟹𝒙= −𝟑𝒚−𝟕 𝟐 𝑬: −𝟑𝒚−𝟕 𝟐 −𝟐 𝟏𝟎 𝟐 + 𝒚−𝟑 𝟐 𝟒𝟎 =𝟏 ∕⋅𝟒𝟎 𝟒 − 𝟑𝒚+𝟏𝟏 𝟐 𝟐 + 𝒚 𝟐 −𝟔𝒚+𝟗−𝟒𝟎=𝟎⟹𝟗 𝒚 𝟐 +𝟔𝟔𝒚+𝟏𝟐𝟏+ 𝒚 𝟐 −𝟔𝒚−𝟑𝟏=𝟎 𝒚 𝟐 +𝟔𝒚+𝟗=𝟎⟹𝒚=−𝟑⟹𝒙= −𝟑⋅ −𝟑 −𝟕 𝟐 =𝟏⟹ 𝑻 𝟏 = 𝟏;−𝟑

Tečna elipsy určená směrem 𝑻 𝟐 = 𝒕 𝟐 ∩𝑬 kuželosečky 𝒕 𝟐 : 𝟐𝒙+𝟑𝒚−𝟑𝟑=𝟎⟹𝒙= −𝟑𝒚+𝟑𝟑 𝟐 𝑬: −𝟑𝒚+𝟑𝟑 𝟐 −𝟐 𝟏𝟎 𝟐 + 𝒚−𝟑 𝟐 𝟒𝟎 =𝟏 /∙𝟒𝟎 𝟒 − 𝟑𝒚−𝟐𝟗 𝟐 𝟐 + 𝒚 𝟐 −𝟔𝒚+𝟗−𝟒𝟎=𝟎⟹𝟗 𝒚 𝟐 −𝟏𝟕𝟒𝒚+𝟖𝟒𝟏+ 𝒚 𝟐 −𝟔𝒚−𝟑𝟏=𝟎 𝟏𝟎𝒚 𝟐 −𝟏𝟖𝟎𝒚+𝟖𝟏𝟎=𝟎 𝒚 𝟐 −𝟏𝟖𝒚+𝟖𝟏=𝟎⟹𝒚=𝟗⟹𝒙= −𝟑⋅𝟗+𝟑𝟑 𝟐 =𝟑⟹ 𝑻 𝟐 = 𝟑;𝟗

Tečna elipsy určená směrem kuželosečky Znázornění příkladu 3 v programu GeoGebra eeeeEEEEEEE ___?????