Metodické pokyny Materiál je určen pro 4. ročník 6letého a 2. ročník 4letého studia. Výklad slouží k odvození vět, které platí pro pravoúhlý trojúhelník. Inovace spočívá ve využití interaktivního prostředí. Výklad využívá podobnosti trojúhelníků. Před výkladem je třeba zopakovat věty o podobnosti trojúhelníků. Žák musí mít psací a rýsovací potřeby, barevné tužky.

Klíčová slova: odvěsny, přepona úseky na přeponě podobnost trojúhelníků obsah pravoúhelníků

Řešení pravoúhlého trojúhelníka Eukleidovy a Pythagorova věta

Názvy stran: AB … přepona trojúhelníka AC, BC …odvěsny trojúhelníka Velikosti stran: ǀABǀ = c ǀACǀ = b ǀBCǀ = a

CP … výška na přeponu AP … úsek na přeponě přilehlý k odvěsně b BP … úsek na přeponě přilehlý k odvěsně a v = ǀPVǀ C a = ǀBPǀ C b = ǀAPǀ

APC CPB (uu) = =

Eukleidova věta o výšce: v 2 = c a. C b V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina výšky k přeponě rovna součinu délek obou úseků na přeponě. Jinak: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků na přeponě.

v 2 = c a. C b

ACB CPB ACB APC = = = =

Eukleidova věta o odvěsně: a 2 = c. C a b 2 = c. C b V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky odvěsny rovna součinu délek přepony a přilehlého úseku na přeponě. Jinak: Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a přilehlého úseku na přeponě.

a 2 = c. c a

b 2 = c. C b

Sečteme oba vztahy: a 2 = c. c a b 2 = c. C b a 2 + b 2 = c. c a + c. C b = c.(c a + C b ) = c 2 a 2 + b 2 = c 2

Pythagorova věta: a 2 + b 2 = c 2 V každém pravoúhlém trojúhelníku je druhá mocnina délky přepony rovna součtu druhých mocnina délek obou odvěsen. Jinak: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami.

a 2 + b 2 = c 2

Věta obrácená k větě Pythagorově: Platí-li pro délky stran trojúhelníku ABC vztah a 2 + b 2 = c 2, pak je tento trojúhelník pravoúhlý a c je délka přepony.

Z historie:

Eukleidés též Euklides (asi 325 př. n. l. – 260 př. n. l.) byl řecký matematik a geometr. Eukleides - Wikipedie. [Online] [Citace: ]

O Eukleidově životě víme velmi málo. Narodil se v Řecku, většinu života strávil v Egyptě. Vedle základů geometrie se věnoval i teorii čísel, perspektivě, kuželosečkám. Hlavním jeho dílem jsou Základy, kde ve třinácti knihách, jež začínají stanovením deseti základních axiomů. Základy shrnují práci mnoha dřívějších matematiků a filosofů a jsou nejúspěšnější matematickou knihou všech dob, která se užívala víc než 2000 let!

Pythagoras ze Samu (6. století př. n. l.) byl řecký matematik a filosof. Pythagoras - Wikipedie. [Online] [Citace: ]

Starší kultury věděly, že trojúhelník, jehož strany jsou v poměru 3:4:5 je pravoúhlý a Číňané to dovedli i geometricky dokázat. Z díla Pythagora se nic nezachovalo. Věta pojmenována něho, byla známa i v jiných starověkých civilizacích dávno předtím (v Číně, částečně např. v Egyptě).

Citace zdroje: POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia: Planimetrie. 1. vyd. Praha: Jednota českých matematiků a fyziků, 1993, 206 s. ISBN