Pythagorova věta a její odvození

Prezentace na téma: "Pythagorova věta a její odvození"— Transkript prezentace:

1 Pythagorova věta a její odvození
VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.03 Pythagorova věta a její odvození Anotace: Žáci si zopakují základní vlastnosti pravoúhlého trojúhelníku a postupně odvozují Pythagorovu větu. Na základě cvičení v prezentaci sami žáci rýsují, počítají a tak si osvojují platnost Pythagorovy věty. Vzdělávací oblast: Matematika Autor: Mgr. Robert Kecskés Jazyk: Český Očekávaný výstup: Provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel, užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu. Druh učebního materiálu: Prezentace Cílová skupina: Žák Stupeň a typ vzdělávání: Druhý stupeň, základní škola Datum (období), ve kterém byl vzdělávací materiál vytvořen: Školní rok Ročník, pro který je vzdělávací materiál určen: Osmý ročník základní školy

2 PYTHAGOROVA VĚTA Věta popisuje vztah, který platí mezi délkami stran pravoúhlých trojúhelníků v rovině i v prostoru.

3 Pravoúhlý trojúhelník - pojmy
pravý úhel C odvěsna odvěsna a b c A B přepona

4 Pythagorova věta pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník
máme shodné čtverce úhlopříčky čtverců nám dají rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky 1 2 3 4 čtverec nad odvěsnou 2 čtverec nad odvěsnou 1 3 čtverec nad přeponou 4 Očíslujeme shodné trojúhelníky. Vidíme, že čtverce nad oběma odvěsnami jsou složeny ze shodných trojúhelníků 1, 2, 3, 4. Čtverec nad přeponou je složen ze shodných trojúhelníků , 2, 3, 4. Co z toho plyne?

5 Pythagorova věta pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník
Je zřejmé, že čtverec nad přeponou je složen ze čtyř trojúhelníků. Ze stejných čtyř trojúhelníků je složen čtverec nad přeponou. 1 2 3 4 2 Z toho plyne, že velký čtverec nad přeponou je složen z obou menších čtverců nad oběma odvěsnami. 1 3 4 Co z toho dále plyne?

6 Pythagorova věta pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník
Obsah čtverce nad přeponou je roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami. 1 2 3 4 2 1 3 4 V pravoúhlém trojúhelníku je obsah čtverce nad přeponou roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami. = Pythagorova věta

7 Pythagorova věta pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník
Ukázali jsme si, že Pythagorova věta platí pro rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník. 1 2 3 4 2 Ukážeme si, zda platí Pythagorova věta i pro jakýkoliv pravoúhlý trojúhelník. 1 3 4

8 Pythagorova věta obecný pravoúhlý trojúhelník
D b b a Druhý čtverec je rozdělen na: 4 shodné pravoúhlé trojúhelníky s odvěsnami a, b dva čtverce s obsahy a2 a b2 První čtverec je rozdělen na: 4 shodné pravoúhlé trojúhelníky ABC s odvěsnami délek a, b čtyřúhelník ADEB se stranou délky c 3 2 úhel EBA je pravý, protože platí |EBA| = 180°- (a+b) = 90° totéž platí pro jeho zbývající úhly  čtyřúhelník ADEB je čtverec s obsahem c2 2 a b a2 c a c 4 a A b c2 a E 3 a c c b2 b b b a 1 4 1 b b a C a b B b Shodně očíslované pravoúhlé trojúhelníky na obou obrázcích mají sobě rovné obsahy. Po jejich odstranění zbudou jen žluté čtverce, pro jejichž obsahy platí: c2 = a2 + b2 Oba čtverce jsou shodné – délky stran jsou a+b, čtverce mají stejný obsah.

9 Pythagorova věta V pravoúhlém trojúhelníku je obsah čtverce nad přeponou roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami. c2 = a2 + b2

10 Pythagorova věta c2 = 25 cm2 a2= 9 cm2 b2 = 16 cm2
Narýsuj pravoúhlý trojúhelník ABC: a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm Narýsuj nad odvěsnami i přeponou čtverec. Spočítáme obsahy jednotlivých čtverců. c = 5 cm C B A a = 3 cm b = 4 cm • c2 = 25 cm2 Čeho jste si všimli? V pravoúhlém trojúhelníku je obsah čtverce nad přeponou roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami. a2= 9 cm2 c2 = a2 + b2 25 = 25 = 25 b2 = 16 cm2