Mgr. Martin Krajíc 13.6.2013 matematika 1.ročník rovnice a nerovnice Název projektu: Moderní škola Kubická rovnice Mgr. Martin Krajíc   13.6.2013 matematika 1.ročník rovnice a nerovnice Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Kubická rovnice Kubická rovnice je každá rovnice, kterou po ekvivalentních úpravách získáme ve tvaru: ax3 + bx2 + cx + d = 0 kubický člen kvadratický člen lineární člen absolutní člen x - neznámá, a, b, c, d – koeficienty, a ≠ 0 koeficient kvadratického členu koeficient kubického členu koeficient lineárního členu

Předvedeme si pouze speciální typy řešení kubické rovnice. Každá kubická rovnice s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen. Stejně jako u kvadratické rovnice existují i vzorce pro výpočet kořenů kubické rovnice, jejich výpočet je ale poměrně složitý Cardanovy vzorce – vzorce pro výpočet kořenů kubické rovnice. Jejich odvození ale není jednoduché, vyžaduje znalosti z teorie komplexních čísel. Předvedeme si pouze speciální typy řešení kubické rovnice.

Kubická rovnice bez absolutního členu Jedná se o rovnici ve tvaru: ax3 + bx2 + cx = 0 V tomto případě z výrazu na levé straně vytkneme neznámou x, celou rovnici pak převedeme na součin lineárního a kvadratického výrazu: x.(ax2 + bx + c) = 0 Součin dvou výrazů je roven nule, jestliže je alespoň jeden z výrazů roven nule: x = 0 ax2 + bx + c = 0

Kubická rovnice Př: Řešte rovnici v R: x3 + 5x2 + 6x = 0 vytkneme neznámou x: x.(x2 + 5x + 6) = 0 rozdělíme na dva případy: x = 0 x2 + 5x + 6 = 0 D = 5² - 4.1.6 = 25 – 24 = 1 x1= -2 x1,2 = = x2 = -3 výsledkem jsou tři kořeny: x = {-3, -2, 0} Nula je prvním kořenem rovnice. Řešíme kvadratickou rovnici.

Př: Řešte rovnici v R: D = 1² - 4.1.2 = 1 – 8 = -7 Kubická rovnice x3 + x2 + 2x = 0 vytkneme neznámou x: x.(x2 + x + 2) = 0 rozdělíme na dva případy: x = 0 x2 + x + 2 = 0 D = 1² - 4.1.2 = 1 – 8 = -7 výsledkem je pouze jeden kořen: x = {0} Nula je prvním kořenem rovnice. Řešíme kvadratickou rovnici. Diskriminant je záporný, rovnice nemá řešení

Kubická rovnice s celočíselným kořenem Jestliže bychom věděli, že kubická rovnice má celočíselný kořen, mohli bychom ho zkusit uhádnout. Pokud bychom tento kořen znali, mohli bychom z kubického čtyřčlenu vytknout výraz x − t, kde t by byla hodnota známého kořenu. Tím bychom si kubický čtyřčlen převedli na součin lineárního a kvadratického výrazu, což už umíme vyřešit. Nalézt hodnotu tohoto kořenu ale není vždy úplně jednoduché, nemůžeme postupně dosazovat všechna celá čísla.

!!Platí: kořen t dělí bezezbytku koeficient r!! Kubická rovnice Převedeme si kubickou rovnici na normovaný tvar: Postup: ax3 + bx2 + cx + d = 0 vytkneme koeficient u kubického členu a(x3 + x2 + x + ) = 0 vydělíme rovnici číslem a: (x3 + x2 + x + ) = 0 přepíšeme do tvaru x3 + px2 + qx + r = 0…x je neznámá, p, q, r ɛ Z !!Platí: kořen t dělí bezezbytku koeficient r!!

Př: Řešte rovnici v R: Kubická rovnice 5x3 + 10x2 - 15x – 20 = 0 vytkneme číslo 5: 5.(x3 + 2x2 - 3x – 4) = 0 vydělíme číslem 5: x3 + 2x2 - 3x – 4 = 0 rovnice má celočíselný kořen, který dělí číslo −4. Dělitelé čísla −4 jsou: ±4, ±2, ±1, takže kořen bude jedno z těchto čísel. postupně dosadíme do rovnice za neznámou jednotlivé dělitele: 43 + 2.4² – 3.4 – 4 ≠ 0 (-4)3 + 2(-4)² – 3(-4) – 4 ≠ 0 23 + 2.2² – 3.2 – 4 ≠ 0 (-2)3 + 2(-2)² – 3(-2) – 4 ≠ 0 13 + 2.1² – 3.1 – 4 ≠ 0 (-1)3 + 2(-1)² – 3(-1) – 4 = 0 Máme normovaný tvar rovnice, to znamená, že rovnice má celočíselný kořen.

Kubická rovnice vyhovuje kořen -1 jestliže známe kořen, vydělíme kubický čtyřčlen výrazem (x – t), kde t je nalezený kořen. (x3 + 2x2 - 3x – 4) : (x + 1) = x2 + x – 4 takže kubický čtyrčlen můžeme rozdělit na součin dvou mnohočlenů: x3 + 2x2 - 3x – 4 = (x + 1).(x2 + x – 4) x + 1 = 0 x2 + x – 4 = 0 x = -1 x = výsledek: x = {-1, }

Kubická rovnice Př: Řešte rovnice a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): Brahmagupta: „Jako slunce zastiňuje hvězdy svým jasem, tak i vzdělaný člověk může zastínit slávu druhých lidí, bude-li předkládat matematické úlohy, a dosáhne ještě ……., bude-li je řešit“. 1) x3 + 2x2 - x – 2 = 0 a) V = {-2, -1, 1}, b) T = {-1, 1, 2} 2) 2x3 - 7x2 + 7x – 2 = 0 a) Í = {½, 1, 2}, b) A = {-1, 0, 1} 3) x3 - 2x2 - 31x – 28 = 0 a) K = {-5, -1, 1}, b) C = {-4, -1, 7}

Kubická rovnice Brahmagupta: „Jako slunce zastiňuje hvězdy svým jasem, tak i vzdělaný člověk může zastínit slávu druhých lidí, bude-li předkládat matematické úlohy, a dosáhne ještě ……., bude-li je řešit“. VÍC

Použité zdroje: Kubická rovnice Matematické citáty. [online]. [cit. 2013-06-13]. Dostupné z: elmartin.txt.cz/clanky/50290/matematicke-citaty/