Parametrické vyjádření přímky v prostoru Název projektu: Moderní škola Parametrické vyjádření přímky v prostoru Mgr. Martin Krajíc   10.5.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Parametrické vyjádření přímky V prostoru řešíme pouze jeden tvar rovnice přímky: parametrické vyjádření !!! Obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje !!!

Parametrické vyjádření přímky Směrový vektor: přímka je určena dvěma různými body v rovině přímka má nekonečně mnoho bodů přímku označujeme: p = AB pro libovolné dva různé body A,B přímky p = AB platí: vektor u = AB = B – A se nazývá směrový vektor přímky A B D C E u v w p Poznámka: směrový vektor přímky leží na přímce nebo je s danou přímkou rovnoběžný vektory u, v, w jsou směrové vektory přímky p

Parametrické vyjádření přímky A B X u v p dána přímka p = AB a bod X ɛ p vektory u = AB, v = AX jsou směrové vektory přímky p pro vektory u, v platí: v = t.u AX = t. u X – A = t. u X = A + t. u Rovnice X = A + t. u se nazývá parametrické vyjádření (rovnice) přímky p určené bodem A a směrovým vektorem u. Proměnná t je parametr a píšeme t ɛ R.

Parametrické vyjádření přímky vyjádříme body A, X a směrový vektor u v souřadnicích: A[a1, a2, a3], X[x, y, z], u = (u1, u2, u3) parametrické vyjádření v souřadnicích: x = a1 + tu1 y = a2 + tu2 z = a3 + tu3 t ɛ R Poznámka: t ɛ R … přímka AB t ɛ ˂0, 1˃ … úsečka AB t ɛ ˂0, ∞) … polopřímka AB t ɛ (-∞, 0˃ … polopřímka opačná k polopřímce AB

Parametrické vyjádření přímky Př: Napište parametrické vyjádření přímky p = AB, jestliže A[2, -5, 6], B[1, 3, -2]. vypočítáme souřadnice směrového vektoru: u = AB = B – A = (-1, 8, -8) zapíšeme do parametrického vyjádření v souřadnicích: x = 2 + (-1)t y = -5 + 8t z = 6 - 8t t ɛ R upravíme: x = 2 – t y = -5 + 8t z = 6 – 8t t ɛ R

Parametrické vyjádření přímky Př: Zjistěte, zda bod M[5, 0, -7] leží na přímce CD, jestliže C[1, 2, 1], D[-1, 3, 5]. směrový vektor u = CD = D – C = (-2, 1, 4) sestavíme parametrické vyjádření: x = 1 – 2t y = 2 + t z = 1 + 4t t ɛ R do parametrického vyjádření dosadíme za x, y souřadnice M a zjišťujeme, zda existuje t ɛ R takové, aby soustava byla platná 5 = 1 – 2t t = -2 0 = 2 + t t = -2 -7 = 1 + 4t t = -2 z obou rovnic máme stejné řešení, bod M leží na přímce CD

Parametrické vyjádření přímky Př: Zjistěte, zda bod N[1, 2, 7] leží na přímce CD, jestliže C[2, 3, 5], D[1, 5, 3]. směrový vektor u = CD = D – C = (-1, 2, -2) sestavíme parametrické vyjádření: x = 2 – t y = 3 + 2t z = 5 – 2t t ɛ R do parametrického vyjádření dosadíme za x, y souřadnice N a zjišťujeme, zda existuje t ɛ R takové, aby soustava byla platná 1 = 2 – t t = 1 2 = 3 + 2t t = -0,5 7 = 5 – 2t t = -1 z obou rovnic máme různé řešení, bod M neleží na přímce CD

Parametrické vyjádření přímky Př: Jou dány body K[-1, 0, 2], L[3, -2, 1], M[1, 5, 3]. Určete souřadnice těžiště T trojúhelníku KLM. těžiště leží na těžnici (úsečka z vrcholu do středu protější strany) a to ve dvou třetinách její vzdálenosti od vrcholu platí: KT = KSK, LT = LSL, MT = MSM střed SK úsečky LM vypočteme: SK = M SL SK T K SM L

Parametrické vyjádření přímky vypočteme souřadnice těžiště T ze vztahu: KT = KSK T – K = (SK – K) T = K + (SK – K) = K + ( - K) = K + T = K + T = vypočteme souřadnice těžiště T: t1 = = 1 t2 = = 1 t3 = = 2 T[1, 1, 2]

Parametrické vyjádření přímky – samostatná práce Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení). Seneca: „…. se pro život, ne pro školu.“ Napište parametrické vyjádření přímky p = MN, M[1, 0, 3], N[0, 3, -5]: a) U…x = 1 - t, y = 3t, z = 3 – 8t b) Ž…x = -2 + 9t, y = 5 + 2t, z = 1 + 7t Zjistěte, zda bod Z[2, -3, 11] leží na přímce p z prvního cvičení: a) I…ANO b) Č…NE Zjistěte, zda bod E[70, -11, 1] leží na přímce p z prvního cvičení: a) I…ANO b) J…NE Určete souřadnice těžiště T trojúhelníku KLM, K[-12, 13, 1], L[5, -7, 1], M[-2, -6, 1]: a) T… [-3, 0, 1] b) E… [3, 1, 1]

Operace s vektory – správné řešení Seneca: „………. se pro život, ne pro školu.“ UČIT

Operace s vektory – použitá literatura KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009 SVOBODA, Martin. Http://citaty.net [online]. [cit. 2014-05-10].