FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA doc. RNDr. Petr Budinský, CSc.
FINANČNÍ MATEMATIKA Budoucí hodnota při různých typech úročení VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Příklad: Uvažujme FV = 100.000 Kč a úrokovou sazbu r = 12 %. Jak se zhodnotí uvedená investice během 3 let. … … VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Současná hodnota vypočtená z budoucí hodnoty VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Příklad: Uvažujme peněžní toky dané následující tabulkou a úrokovou mírou r = 6 %, přičemž úroky jsou připisovány: a) jedenkrát ročně VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Příklad: Uvažujme peněžní toky dané následující tabulkou a úrokovou mírou r = 6 %, přičemž úroky jsou připisovány: b) spojitě VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Výnosové procento (výnos) při pevných peněžních tocích VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Rovnosti a nerovnosti mezi výnosy VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Příklad: Investujeme částku P = 10.000 Kč na dobu 5 let, přičemž po 5 letech inkasujeme částku FV = 21.000 Kč. VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Příklad: Uvažujme půjčku 1.000.000. Kč na 10 let. Tato půjčka je splácena v pravidelných ročních splátkách (ve stejné výši) tak, aby poskytovala výnos y(1) = 8 % p. a. 1.000.000 = C (1/(1+ y) + 1/(1+ y)2 + ... +1/(1+ y)10) 1.000.000 = C[1-1/(1 + y)10]/y C = 1.000.000 ⋅ 0,08/[1 −1/1,0810 ] = 149.029,49 Kč Z této splátky bude 80.000 činit splátka úroků a o zbylou částku 69.029,49 Kč se sníží splácená částka - zbytková část bude tedy činit 930.970,51 Kč. VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Tabulka splátek VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Dluhopisy VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Součtový vzorec pro cenu dluhopisu VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Pravidla pro dluhopisy Pravidlo 1: Je-li výnos y roven kupónové sazbě c, potom je cena dluhopisu P rovna jeho nominální hodnotě FV; je-li výnos y větší, resp. menší než kupónová sazba c, potom cena dluhopisu P je menší, resp. větší než nominální hodnota FV. Pravidlo 2: Jestliže cena dluhopisu vzroste, resp. klesne, má to za následek snížení, resp. zvýšení výnosu dluhopisu. Obráceně: pokles, resp. vzestup úrokových sazeb (výnosů) má za následek vzestup, resp. pokles cen dluhopisů VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Pravidla pro dluhopisy Pravidlo 3: Prodává-li se dluhopis s diskontem, resp. s prémií, potom v případě, že se výnos dluhopisu nezmění, snižuje se výše diskontu, resp. prémie se zkracováním doby do splatnosti dluhopisu. Pravidlo 4: Prodává-li se dluhopis s diskontem, resp. s prémií, potom v případě, že se výnos dluhopisu nemění, diskont, resp. prémie se snižuje se zvyšující se rychlostí s tím, jak se doba do splatnosti dluhopisu zkracuje. VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Pravidla pro dluhopisy Pravidlo 5: Pokles ve výnosu dluhopisu vede ke zvýšení ceny dluhopisu o částku vyšší než je částka (v absolutní hodnotě) odpovídající snížení ceny dluhopisu stejně velkém vzestupu ve výnosu dluhopisu. Příklad: Uvažujme 5letý dluhopis s nominální hodnotou FV = 1.000 Kč, kupónovou sazbou c = 10 % a výnosem y = 14 %. Výnos 12 % 13 % 14 % 15 % 16 % Cena 927,90 894,48 862,68 832,39 803,54 Přírůstek 65,22 31,80 -30,29 -59,14 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Pravidla pro dluhopisy Pokračování příkladu: VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Závislost ceny dluhopisu na zbytkové době do splatnosti VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Oceňování dluhopisu - obecně VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA A + B = 360 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Příklad: Uvažujme 5letý dluhopis s nominální hodnotou FV = 10.000 Kč vydaný 6. 2. 1998 se splatností 6. 2. 2003 a s kupónovou sazbou C = 14,85 %. Výnos toho to dluhopisu byl y = 7 % ke dni 9. 11. 1999. VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Citlivost cen dluhopisů na změny ve výnosech Modifikovaná durace dluhopisu Dmod je kladné číslo, které vyjadřuje, o kolik procent se zvýší, resp. sníží cena dluhopisu, jestliže se výnosy sníží, resp. zvýší o 1 %. VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Macaulayova durace VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Macaulayova durace VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Příklad: Parametry dluhopisu jsou následující: FV = 1.000 Kč, n = 5, c = 10 %, y = 14 %. VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Závislost durace na C, Y a n 1. 2. VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Závislost durace na době do splatnosti VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Odhad změny ceny dluhopisu Příklad: a) b) VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Konvexita dluhopisu Konvexita je někdy nazývána „zakřivením“ dluhopisu. VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Výpočet konvexity CX = 2/y2 VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA INVESTIČNÍ MATEMATIKA Rizika při investicích do dluhopisových portfolií VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Příklad: Uvažujme pětiletý bezkupónový dluhopis, který má nominální hodnotu FV = 1.000 Kč a poskytuje výnos y = 4 %. Do tohoto dluhopisu investujeme a) na 3 roky VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Příklad b) na 7 let VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Investiční horizont X Durace Investujeme-li do konkrétního dluhopisu a je-li náš investiční horizont příliš: krátký - utrpíme ztrátu při vzestupu výnosů („kapitálová ztráta“ > „vnos z reinvestic“) dlouhý - utrpíme ztrátu při poklesu výnosů („ztráta z reinvestice“ > „kapitálový výnos“) Je-li investiční horizont roven (Macaulayově) duraci dluhopisu, potom je „kapitálová ztráta“, resp. „ztráta z reinvestic“ pokryta „výnosem z reinvestic“, resp. „kapitálovým výnosem“, a to při vzestupu i při poklesu výnosů. VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Příklad: Uvažujme 8letý dluhopis, který má nominální hodnotu FV = 1.000 Kč s kupónovou sazbou c = 9,2 % a výnosem y = 9,2 %. Pomocí tohoto dluhopisu budeme postupně investovat na 1 rok, 2 roky, 3 roky, …, 8 let. Budeme tedy postupně předpokládat 8 nákupu uvedeného dluhopisu. Tyto scénáře předpokládají postupně výnosy ve výši 8,4 %, 8,8 %, 9,2 % (nezměněný výnos), 9,6 % a 10 %. Kombinací zvolené investiční strategie s konkrétním scénářem vývoje výnosů dostaneme 40 různých možností. Pro každou z těchto možností vypočteme výnos k příslušnému investičnímu horizontu. Všechny výsledky jsou shrnuty v tabulce s tím, že každá možnost je popsána blokem, který nazveme hnízdem. Cena dluhopisu P = 1.000 Kč. VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Durace dluhopisového portfolia VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Příklad: VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Změna hodnoty V0 při změně výnosového procenta VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Konvexita dluhopisového portfolia VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Vliv konvexity na chování dluhopisových portfolií VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Změna hodnoty V4 při změně výnosového procenta VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Příklad: Chceme investovat částku 2 800 000 Kč na dobu 5 let, přičemž k dispozici máme dva bezkupónové dluhopisy A, B: Sestavíme portfolio zajištěné proti úrokovému riziku a vypočteme jeho výnos k investičnímu horizontu za předpokladu, že se výnosy den po nástupu portfolia zvýšily, resp. snížily o 1%. VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Derivátové kontrakty VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Forwardový kontrakt VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Opční kontrakt VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Grafy zisku a ztrát z opcí VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Portfolia složená z opcí VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Býčí strategie (Bullish Spread) VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Medvědí strategie (Bearish Spread) VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Motýlí strategie (Butterfly Spread) VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Strategie kondora (Condor Spread) VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Dolní V - kombinace opcí put a call (Bottom Straddle) VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Dolní U - kombinace opcí put a call (Bottom Strangle) VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
Zajištění akcie proti poklesu (Hedging) VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Příklad: VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Parita put-call VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Příklad: Uvažujme 6měsíční call opci s uplatňovací cenou X = 100 Kč na akcii, jejíž cena St = 100 Kč. Cena této opce ct = 10 Kč, úroková míra r = 8 % p.a. (spojité úročení). Vypočteme „spravedlivou“ cenu put opce se stejnou uplatňovací cenou. Cena put opce je p = 5 Kč místo ceny vypočtené na základě parity put a call opcí (6,08 Kč). Put opce je tedy nadhodnocena (nebo call opce podhodnocena), což umožňuje realizovat čistý zisk ve výši VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA
FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA Dlouhá pozice Krátká pozice VŠFS FINANČNÍ A INVESTIČNÍ MATEMATIKA