Odvození matice tuhosti izoparametrického trojúhelníkového prvku Přednáška 4 Odvození matice tuhosti izoparametrického trojúhelníkového prvku

Tříuzlový trojúhelníkový prvek, aproximační funkce je lineární polynom Trojúhelníkový prvek v globálních souřadnicích Značení uzlů proti hodinovým ručičkám pro zajištění kladné plochy v soustavě

Zatížení prvku způsobí jeho posun vyjádřený vektorem f Složky posunu u,v (jsou funkcí souřadnic) aproximujeme lineárním polynomem Pro určení neznámých konstant ai předpokládáme znalost vodorovných a svislých složek posunů

Aproximace posunů uzlů Posun prvku – znázorněny posuny uzlů prvku

Maticové vyjádření posunů u,v Obecný zápis Vyjádření neznámých konstant a

Vzhledem k vlastnostem diagonálních matic platí Determinant submatice A1 je roven dvojnásobku plochy S konečného prvku Aproximace lineárním polynomem je ekvivalentní afinitě mezi nedeformovaným a deformovaným prvkem – přímky jsou po deformaci opět přímky – tj. Úsečka po deformaci spojuje opět stejné uzly.

Známe-li posuny, můžeme určit složky deformace (ty nezávisejí na souřadnicích uzlu, takže přetvoření a napětí je pro prvek konstantní) a v maticovém tvaru A dosadíme vyjádřené neznámé posuny a

Vztah mezi napětím a přetvořením udává konstitutivní vztah – my použijeme lineárně pružný materiál dle Hooka Matice D vyjadřuje deformační vlastnosti materiálu a obecně může být pro každý prvek jiná (nehomogenní materiál)

Vyčíslíme maticový součin kde S je plocha prvku Tento součin je závislý pouze na souřadnicích konečného prvku.

Vztah mezi silami v uzlech prvku a napětím Složky napětí jsou konstatntní po celé ploše Účinek napětí nahradíme ekvivalentními vodorovnými a svislými silami v uzlech prvku (kladné působení je ve smyslu rovnoběžné osy)

Nahrazení působení napětí sx staticky ekvivalentními silami První dolní index označuje uzel prvku,druhý dolní směr působení síly a horní uvažované případy 1 = sx

Nahrazení působení napětí sy staticky ekvivalentními silami

Nahrazení působení napětí txy staticky ekvivalentními silami

Ekvivalentní síly umožní sestavit matici M – podle horního indexu náhradní síly F Porovnáním matice M a součinu BA-1 zjistíme, že platí:

Vztah mezi silami v uzlech prvku a posuny těchto uzlů lze zapsat: Tato rovnice musí obsahovat matici tuhosti k prvku Tento postup odvození je vhodný jen pro tento typ prvku, u složitějších aproximovanýc polynomy vyššího stupně je odbození možné provést pomocí Lagrangeova principu minima potenciální energie.