Gravitace Newtonův univerzální zákon: Každá částice ve vesmíru přitahuje každou jinou částici silou, která je úměrná součinu jejich hmotností a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti. „jako v nebi tak i na Zemi“ Vzorcem: označíme jejich hmotnosti m1 a m2 jejich vzdálenost r G=6,67310-11Nm2kg-2 m1 m2 Fg Splňují zákon akce a reakce

K tomu: síly od různých částic se sčítají (vektorově)…princip superpozice +vliv síly na pohyb dá Newtonův základní zákon dynamiky: ● Vše, co potřebujeme znát pro určení pohybu těles vlivem gravitace. ● Matematický popis místo mechanického stroje. ● Vše ostatní jsou důsledky.

Hned tady na Zemi Uvidíme odkud se bere zrychlení g: Z minula: MZ=5.97361024kg rZ=6378km Nyní: Porovnáním: Odtud: Hrubý odhad: Navíc…skoro konstantní při změně r menší než poloměr Země

Keplerovy zákony pohybu planet Logicky…důsledky Newtonova zákona Historicky…Newton naopak z nich přišel na svůj zákon 1. Všechny planety se pohybují po elipsách se Sluncem v jednom ohnisku. 2. Průvodič od Slunce k planetě pokryje stejné plochy za stejné časové intervaly. 3. Druhá mocnina doby oběhu planety je úměrná třetí mocnině hlavní poloosy elipsy.

1.zákon a je hlavní poloosa b je vedlejší poloosa Pro vzdálenost ohniska c platí c2=a2-b2 Excentricita e = c/a ● 1. zákon je přímý důsledek závislosti síly na vzdálenosti jako 1/r2 (což nedokážeme). ● Trajektorie planet jsou skoro kružnice (nejvíc excentrický je Merkur…0,4%). ● Naopak trajektorie komet jsou velmi excentrické.

2. zákon Za dobu dt urazí planeta dráhu vdt Vektorový součin má velikost plochy rovnoběžníka z obou vektorů. Trojúhelník má poloviční plochu. Tímto jsme zavedli moment hybnosti L (více o něm za chvíli). 2. Zákon říká, že se L nemění…uvidíme brzy proč.

3. zákon Ukážeme pro kruhovou dráhu, kdy hlavní poloosa je rovná poloměru r. Doba oběhu T dá oběhovou rychlost v = 2r / T Dostředivé zrychlení (z minula) 2. Newtonův zákon Hmotnost planety se zkrátila mezi oběma stranami rovnice.

Gravitační pole Gravitační síla působí mezi libovolnými dvěma objekty na libovolné vzdálenosti. Možná interpretace: jeden „zdrojový“ objekt vytváří gravitační pole, které působí na druhý „testovací“ objekt. Pole působí ve stejném místě. (místo kritizovaného působení na dálku od zdrojového objektu) Působící síla je úměrná hmotnosti testovacího objektu. Síla vydělená hmotností testovacího objektu = intenzita g. Charakterizuje pole samotné. Tedy intenzita = gravitační zrychlení (už jsme viděli blízko povrchu Země) Pro pole od bodové částice: směřuje k zdrojové částici

Gravitační pole je konzervativní…už jsme se dozvěděli minule a ukázali blízko povrchu Země, kde je gravitační zrychlení konstantní. Teď ukážeme pro libovolnou vzdálenost: Síla je radiální (ve směru průvodiče) Takže práce závisí jen na počáteční a koncové vzdálenosti od zdroje, a tudíž nezávisí na dráze. Můžeme proto zavést potenciální energii vůči zvolenému referenčnímu bodu r0:

Blízko povrchu Země Ve výšce h je r = rZ + h Poslední úprava… …rozvoj do řady v malém parametru h / rZ přičemž jsme nechali jen první člen. Takže: První člen = potenciální energie místa na povrchu Země Druhý člen = potenciální energie vůči povrchu Země = mgh jako minule.

Vzorec pro Epot se zjednoduší, když jako referenční bod r0 zvolíme nekonečno. Pro jednoduchost označení ho pak nebudeme psát: Pak potenciální energie je vždycky záporná. Celková energie…přidáme kinetickou, která je kladná Pro kruhovou dráhu studovanou výše: Takže celková energie je záporná. Volba referenčního bodu pro potenciální energii v nekonečnu pak znamená, že objekt vázaný v gravitačním poli má celkovou energii zápornou. Volný objekt má energii kladnou.

Energie rovná nule…na rozhraní mezi volným a vázaným …objekt akorát tak unikne do nekonečna Musí mít únikovou rychlost Hrubý odhad pro Zemi: Únikové rychlosti pro různé planety Důsledky pro atmosféru na planetě (pro nás): ● planety lehčí než Země…neudrží žádnou atmosféru. ● planety těžší než Země…v atmosféře převládá H2, He. ● u nás tak akorát…při pokojové teplotě převládá N2, O2.

Doposud jsme uvažovali jen bodové zdroje gravitačního pole i tam, kde to nebyla pravda: Gravitační zrychlení na povrchu Země jsme dostali, jako kdyby veškerá hmota Země byla soustředěná v jejím středu. Důvodem jsou slupkové teorémy o gravitačním poli tenké sférické slupky: Gravitační pole vně slupky je stejné, jako kdyby veškerá její hmota byla soustředěna v jejím středu. (2) Gravitační pole uvnitř slupky je nulové (gravitační Faradayova klec). Kulatý zdroj (Slunce, Země) gravitačního pole si můžeme představit jako složený ze sférických slupek. Proto gravitační pole vně kulatého zdroje pole je stejné, jako kdyby celá jeho hmotnost byla ve středu. To věděl už Newton…teorém 30 a 31 v Principiích

Důkaz slupkových teorémů: Slupkové teorémy plynou z obecnější vlastnosti gravitačního pole …z Gaussova zákona: tok intenzity gravitačního pole ven z uzavřené plochy je roven -4G hmotnost uvnitř plochy. Znaménko mínus kvůli tomu, že gravitační intenzita směřuje ke zdroji Nejprve proto dokážeme Gaussův zákon: Začneme gravitačním polem od jednoho hmotného bodu hmotnosti M. Toto pole klesá se vzdáleností od zdroje jako 1 / r2 (jako pokles intenzity záření od bodového zdroje). Nejlépe je Gaussův zákon vidět pro sférickou plochu, kde tok je roven součinu plochy a intenzity: 2větší poloměr…4větší plocha sféry …ale též 4nižší intenzita, takže součin plochy a intenzity se nezmění. Tok =

Obecnou plochu rozdělíme na kousky Tok gravitační intenzity kouskem plochy…je potřeba vzít kolmý průmět plochy dA k intenzitě g: dA dA r d g(r) M Pak: kde d je malý prostorový úhel Proto: r2 se zkrátí a integrál po celé ploše dá celkový prostorový úhel 4 Kvůli superpozici tohle platí, když hmotu M libovolně rozložíme v prostoru (to rozložení si můžeme představit jako složené z hmotných bodů …též v druhé půlce přednášky) Tím jsme dokázali Gaussův zákon. (potkáme jej taky v elektrostatice)

Důkaz slupkových teorémů z Gaussova zákona: Pro sférickou slupku hmotnosti M zvolíme jako uzavřenou plochu sféru se středem ve středu slupky. Tato sféra může být větší nebo menší než slupka. Ze symetrie má intenzita všude na sféře stejnou velikost a směr do středu M r g ● Sféra větší než slupka obsahuje uvnitř celkovou hmotnost slupky M, takže takže Jako pro pole od bodové částice ● Sféra menší než slupka nemá uvnitř žádnou hmotu, takže intenzita je nulová. Tím jsme dokázali oba slupkové teorémy z Gaussova zákona.

Soustava hmotných bodů nebo těleso, když nemůžeme zanedbat jeho rozměry (pak nekonečně mnoho bodů) Uvidíme, že: ● Pohyb těžiště je stejný jako pohyb hmotného bodu. ● Rotační pohyb vůči těžišti se řídí podobnými zákony.

Nejprve zavedeme těžiště Bod, ve kterém je v průměru veškerá hmota objektu. Proto je těžiště přímo pod jakýmkoliv bodem zavěšení: Matematicky: ● M je celková hmotnost soustavy ● Vážený průměr; váha každého bodu je jeho hmotnost. ● Pro nekonečně mnoho bodů v tělese přejde součet na integrál.

Druhou interpretaci těžiště dostaneme derivováním podle času: Slovy: Rychlost těžiště  celková hmotnost je celková hybnost. Tedy těžiště je bod, do kterého můžeme soustředit celkovou hmotnost a celkový pohyb tělesa. Sečteme všechny vnější síly. Podle Newtonova základního zákona dynamiky dají celkovou změnu hybnosti. Dosazením do rovnice nahoře: 1. věta impulsová

Těžiště se pohybuje po parabole, jako hmotný bod, v němž je soustředěna veškerá hmotnost. Co vnitřní síly mezi různými body soustavy? Uvážíme nejprve jednu dvojici bodů. Podle 3. Newtonova zákona síly mezi nimi tvoří pár akce a reakce. Proto změna hybnosti jednoho z obou bodů je stejně velká a opačného směru vůči změně hybnosti druhého z bodů (viz kladivo a hřebík minule). Příspěvek ke změně celkové hybnosti je proto nula. Toto platí pro všechny dvojice bodů, takže vnitřní síly nemají vliv na pohyb těžiště.

Vnitřní síly nemají vliv na pohyb těžiště, ale mohou mít vliv na pohyb částí. Nejlépe vidět ve srážkách (rozpadech) a reaktivním pohybu raket. Srážka: Těžiště si srážky ani nevšimne, ale každá z koulí ano. Hybnost se zachová při srážce vždy. Pokud se zachová i mechanická energie, srážka je pružná. Jinak je nepružná.

Příklad: balistické kyvadlo ● Zařízení na měření rychlosti střely ● Nejprve srážka, pak vychýlení kyvadla ● Z výšky h můžeme určit počáteční rychlost.

Srážka: ze zákona zachování hybnosti dostaneme rychlost po srážce Energie: Mechanická energie se nezachovává při srážce…srážka je nepružná. Energie se zachová při následném pohybu dřeva se střelou Číselně: pro m1=5g, m2=1kg, h = 5cm je

Reaktivní pohyb rakety Raketa se odstrkuje vypouštěním spálených plynů jako puštěný balonek. M+m M v v+ v ve m ● Rychlost výtoku paliva vůči lodi ve ● Změna hybnosti paliva o hmotnosti m je m ve proti směru pohybu rakety. ● Změna hybnosti rakety o hmotnosti M je stejně velká ve směru pohybu rakety. ● Změna hybnosti rakety je dána změnou rychlosti rakety v jako M v. ● Vytékající palivo zmenšuje hmotnost rakety: m = - M. ● V limitě, kdy změny jdou k nule má zákon zachování hybnosti tvar: Toto je diferenciální rovnice pro rychlost v rakety jako funkci její hmotnosti M.

Rovnici řešíme separací proměnných a integrací: Potřebujeme co největší rychlost vypouštěných plynů a co největší část hmotnosti lodě ve formě paliva.

Rotační pohyb vůči těžišti Krasobruslař dá ruce k sobě a zvýší obrátky. Množství rotačního pohybu dává moment hybnosti: ● Pro jeden hmotný bod: ● Pro soustavu hm. bodů: ● Pro  bodů v tělese: součet přejde na integrál. Vlastnosti L: ● Zvětší se při zvětšení hybnosti nebo vzdálenosti. ● Díky vlastnostem vektorového součinu se sčítá orientace hybnosti vůči těžišti, ne hybnost. Součet hybností vůči těžišti by dal nulu!

Časová změna pro jeden bod: ● První člen v derivaci součinu je nula, protože vektory jsou rovnoběžné. ● Pro druhý člen jsme použili Newtonova základního zákona. ● Poslední rovnost definuje moment síly . Moment radiální síly je nulový…moment hybnosti se nemění…2.Keplerův zákon. Planeta se chová jako ruce krasobruslaře.

Pro soustavu bodů postupujeme podobně jako u translačního pohybu: ● Sečteme všechny vnější momenty síly a momenty hybnosti. ● Páry akce-reakce vnitřních sil nepřispívají ke změně celkového momentu hybnosti. 2. věta impulsová

Tuhé těleso: vzájemné vzdálenosti bodů se nemění ● Poloha každého bodu vůči těžišti daná úhlem otáčení kolem osy ● Časová derivace úhlu dá úhlovou rychlost ● Jako vektory…ve směru osy rotace podle pravidla pravé ruky (tady směrem k nám) ● Ještě jedna derivace podle času…úhlové zrychlení ● Rychlost daného místa v tělese daná úhlovou rychlostí pomocí vektorového součinu

Celkový moment hybnosti soustavy hmotných bodů: Pokud osa rotace je osou symetrie, dá se  vytknout a platí Veličina J se nazývá moment setrvačnosti. Časová derivace: takže 2. Impulsová věta dostane tvar: Kinetická energie: Moment setrvačnosti se chová jako hmotnost pro posuvný pohyb.

Příklad: moment setrvačnosti válce Poloměr R, délka L, hustota  Odtud hmotnost Rozdělíme na slupky sestávající z bodů stejné vzdálenosti r od osy a sečteme jejich momenty setrvačnosti:

Podobnosti translačního a rotačního pohybu

Příklad: válec na podložce …translační a rotační pohyb současně Válec o hmotnosti m = 1kg a poloměru r = 10cm je roztočen kolem své podélné osy úhlovou rychlostí 0 = 120 s-1 a položen na drsnou vodorovnou podložku. Účinkem smykového tření, jehož koeficient má hodnotu  = 0,2, se válec uvede do zrychleného posuvného pohybu a současně začne být brzděn ve svém pohybu otáčivém. Za jakou dobu válec přejde do čistého valivého pohybu bez prokluzování? T  r m 0 v(t) (t)>0 F=mg Čas = 0 Čas = t

Rovnice pro posuvný pohyb těžiště: Odtud zrychlení: Integrace dá: Integrační konstantu C1 určíme z počáteční podmínky v(t = 0)=0 Takže rychlost těžiště jako funkce času je:

Rovnice pro otáčivý pohyb kolem těžiště: Odtud úhlové zrychlení: Integrace dá: Integrační konstantu C2 určíme z počáteční podmínky (t = 0)=  0 Takže úhlová rychlost jako funkce času je:

Podmínka pro valivý pohyb bez prokluzování: Dosazení za v(t) a (t) dá: Odtud doba: Číselně:

I minule (volný pád) i nyní jsme vyřešili diferenciální rovnici z Newtonova zákona pro konstantní sílu nebo konstantní moment síly. Příště…oscilace…síla závislá na poloze Navíc oscilace jsou všude, kde je stabilní rovnováha (viz minule). Když se oscilace mohou šířit v prostoru, vzniká vlnění.