Použití metody konečných prvků v úlohách elasticity s malou stlačitelností Jana Cibulková Obor Matematické modelování v technice Školitel: Ing. Jiří Plešek, CSc. Konzultant: RNDr. Marta Čertíková

Uzamknutí (locking) a jeho odstranění Úvodem formulace problému aproximace pomocí MKP Uzamknutí (locking) a jeho odstranění metody vedoucí k odstranění uzamykání metoda podintegrování numerické experimenty Shrnutí

Klasická formulace smíšené úlohy pružnosti Na oblasti s jednou spojitě diferencovatelnou hranicí Γ hledáme složky kde splňující Lamého rovnice pro homogenní a izotropní materiál v Ω, i=1,2: Okrajové podmínky: λ, μ Lamého konstanty τij tenzor napětí: vektor vnějších sil eij tenzor malé deformace zadaný vektor napětí na Γt νi vektor jednotkové vnější normály zadané posunutí na Γu

Slabá formulace a její aproximace MKP Hledáme složky splňující Prostor testovacích funkcí Nechť Vh je konečně rozměrný podprostor V s bází . Řešení hledáme ve tvaru Výsledkem je systém rovnic pro neznámý vektor posunutí U v uzlech Zde B je matice derivací testovacích funkcí a E je matice elastických konstant.

Uzamknutí (locking) a jeho odstranění Locking je označení situace, kdy tvarové funkce prvku nepřenesou žádaný deformační mod. Hlavní typy uzamknutí smykové uzamknutí (shear locking) objemové uzamknutí (volumetric locking) Projevy uzamknutí výskyt fiktivních napětí zvýšení tuhosti výrazné změny hodnot napětí na elementu Metody odstranění uzamknutí smíšené a hybridně – smíšené metody podintegrování a stabilizace

Podintegrování Under-integration je použití integračního pravidla s nižším než plným řádem. Výhody redukce výpočtového času změkčující vliv (odstranění objemového uzamknutí) Nevýhody výskyt hourglass modů (spourious mody, mody nulové energie, singulární mody, nestabilita nebo mechanismus)

Numerické experimenty známé analytické řešení pole napětí nezávisí na Poissonově čísle Q4 – bilineární isoparametrický element se 4 uzly obdélníková a čtyřúhelníková síť

Q4 element Výhody Nevýhody jednoduchá formulace konvergence numerického řešení k anlytickému se zjemněním sítě snadný výpočet matice tuhosti Nevýhody nevhodný pro hrubé sítě volumteric locking pro materiál s nestlačitelým chováním při rovinné deformaci

Konvergence numerického řešení k anlytickému se zjemněním sítě pro Q4 a): 16 elementů b): 64 elementů c): 256 elementů d): 1024 elementů Obr. 1: Regulární zahušťení sítě Obr. 2: Konvergence numerického řešení

Obr. 3: Nezávislé mody posunutí elementu Q4 Q4 a podintegrace Plná Gaussova integrace: 2x2 Gaussovy body Redukovaná integrace : 1 Gaussův bod ve středu elementu Mod 1 - 3: pohyb tuhého tělesa Mod 4 - 6: konstatní deformace Mod 7 - 8: ohyb Obr. 3: Nezávislé mody posunutí elementu Q4

Referenční příklady 1. příklad – pevná deska Jednoosá napjatost Okrajové podmínky Analytické řešení Očekáváme mody nulové energie

Obr. 4: Vývoj napětí na desce 1. referenční příklad 2x2 integrace Poissonovo číslo ν = 0.3 ν = 0.4998 1x1 integrace Obr. 4: Vývoj napětí na desce

Chyba numerických výsledků Obr. 4a): Vývoj chyby v posunutí v uzlu 13 pro hodnoty Poissonova čísla ν = 0.3 - 0.4998

Referenční příklady 2. příklad – pevná deska s dírou Okrajové podmínky Analytické řešení (s pomocí Airyho funkce napětí) podél osy x Maximální hodnota napětí Očekáváme objemové uzamknutí pro rostoucí Poissonovo číslo

2. referenční příklad - 2x2 integrace Obr. 5: Vývoj napětí na desce pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3 a ν=0.4998

2. referenční příklad - 2x2 integrace Obr. 6: Vývoj napětí podél osy x pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3, ν=0.4998

2. referenční příklad - 2x2 integrace Obr. 6a): Vývoj napětí podél osy x pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3

2. referenční příklad - 2x2 integrace Obr. 6b): Detail vývoje napětí podél osy x pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3

2. referenční příklad - 2x2 integrace Obr. 6c): Vývoj napětí podél osy x pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.49 a ν=0.4998

2. referenční příklad - Podintegrace Obr. 7: Vývoj napětí na desce pro hodnoty Poissonova čísla ν=0.3 a ν=0.4998

2. referenční příklad - Podintegrace Obr. 8: Vývoj napětí podél osy x pro hodnotu Poissonova čísla ν=0.3, ν=0.4998

Chyba numerických výsledků Obr. 9: Vývoj chyby pro maximum napětí σy a hodnoty Poissonova čísla ν = 0.3 - 0.4998

Závěr Hlavní výsledky práce Získané poznatky vývoj vlastního MKP programu pro testování uzamykání a metod pro jeho odstranění, implementace metody podintegrace testovací úlohy pro objemové uzamknutí porovnaní analytického řešení a podintegrace na desce s dírou Získané poznatky demonstrace projevů objemového uzamknutí podintegrace postačuje k zabránění uzamknutí na složitější síti pointegrovaní nestačí pro pravidelnou obdélníkovou síť a vyžaduje stabilizaci v posunutí Práce byla součástí grantového projektu 101/06/0914.

Literatura [1] M. Bischoff: Advanced Finite Element Methods, lecture notes for Program on Computational Mechanics, Technical University Munich, summer 2005 [2] R. D. Cook, D. S. Malkus, M. E. Plesha, R. J. Witt: Concepts and Applications of Finite Element Analysis, John Wiley & sons, 4th edition, 2002 [3] U. Hueck, P. Wriggers: A Formulation for the 4-node Quadrilateral Element, International Journal for Numerical Methods In Engineering, vol. 38, 3007-3037, 1995 [4] U. Hueck, H. L. Schreyer, P. Wriggers: On the Incompressible Constraint of the 4-node Quadrilateral Element, International Journal for Numerical Methods In Engineering, vol. 38, 3039-3053, 1995 [5] M. Čertíková: Finite Element Method, lecture notes for Program on Applied Mathematics, Czech Technical University, summer 2005 [6] D. Gabriel: Applied Strength Of Materials, lecture notes for Program on Applied Mathematics, Czech Technical University, winter 2004 [7] K. J. Bathe: Finite Element Procedures, Upper Saddle River : Prentice Hall, 1996 [8] Wikipedia, the free encyclopedia, www.wikipedia.org