Téma 5 ODM, deformační zatížení rovinných rámů Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Nerovnoměrná změna teploty Příklad řešení rovinného rámu zatíženého změnou teploty Dané nepružné přemístění podpor Příklad řešení rovinného rámu zatíženého popuštěním podpor Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Zatížení prutu a konstrukce vyvolané nerovnoměrnou změnou teploty Pojem nerovnoměrné změny teploty: předpokládá se lineární změna teploty po výšce průřezu a neměnná po šířce průřezu a délce prutu.

Zatížení prutu a konstrukce vyvolané nerovnoměrnou změnou teploty Změna teploty vyvolá primární koncové síly prutu a-b. Rovnoměrné oteplení Dt0 způsobí změnu délky uvolněného prutu d0, lineární změna teploty pootočení konců uvolněného prutu jab a jba. Pro prut s neměnným průřezem lze s využitím Maxwell-Mohrových vzorců odvodit:

Primární koncové síly, nerovnoměrná změna teploty, oboustranně monolitický připojený prut

Primární koncové síly, nerovnoměrná změna teploty, oboustranně monolitický připojený prut (pokračování)

Primární koncové síly, nerovnoměrná změna teploty, pravostranně kloubově připojený prut

Primární koncové síly, nerovnoměrná změna teploty, levostranně kloubově připojený prut

Primární vektory koncových sil prutu neměnného průřezu od změny teploty [1]

Příklad 4 – kosoúhlý rám – zadání (deformační zatížení, změna teploty)

Příklad 4 – kosoúhlý rám Výpočtový model

Příklad 4, zatížení změnou teploty, analýza prutu 1 (1 – 2) Lokální primární vektor koncových sil oboustranně monoliticky připojeného prutu.

Příklad 4, zatížení změnou teploty, analýza prutu 1 (1 – 2)

Příklad 4, zatížení změnou teploty, analýza prutu 1(1-2) 1 2 3

Příklad 4, zatížení změnou teploty, analýza prutu 1 (1 - 2) Lokální matice tuhosti

Příklad 4, zatížení změnou teploty, analýza prutu 1 (1 -2) 0 0 0 1 2 3 1 2 3

Příklad 4, zatížení změnou teploty, analýza prutu 2 (2 - 3) Lokální primární vektor oboustranně monoliticky připojeného prutu:

Příklad 4, zatížení změnou teploty, analýza prutu 2 (2 – 3)

Příklad 4, zatížení změnou teploty, analýza prutu 2 (2 -3) 1 2 3 4

Příklad 4, zatížení změnou teploty, analýza prutu 2 (2 - 3) Lokální matice tuhosti

Příklad 4, zatížení změnou teploty, analýza prutu 2 (2 – 3) 1 2 3 0 0 4 1 2 3 4

Příklad 4, zatěžovací vektor 1234

Příklad 4, tvorba matice tuhosti konstrukce Matice tuhosti konstrukce se tvoří z částí matic tuhostí prutů konstrukce, v daném případě prutů 1 a 2: 1 2 3 4 1 2 3 4 1234 1 2 3 4 1234

Příklad 4, sestavení matice tuhosti konstrukce a řešení soustavy lineárních rovnic 1 2 3 4 1 2 3 4

Příklad 4, zatížení změnou teploty, výpočet koncových sil prutu 1 (1 -2) v GSS a LSS

Příklad 4, zatížení změnou teploty, výpočet koncových sil prutu 2 (2 - 3) v GSS a v LSS

Příklad 4, zatížení změnou teploty, výpočet reakcí ve styčníku 1

Příklad 4, zatížení změnou teploty, kontrola rovnováhy ve styčníku 2

Příklad 4, zatížení změnou teploty, výpočet reakcí ve styčníku 3

Příklad 4, zatížení změnou teploty, kontrola řešení

Příklad 4, zatížení změnou teploty, průběhy složek vnitřních sil – N 2 2 1 2 3 - 1 -10,18 - 3 -5,76

Příklad 4, zatížení změnou teploty, průběhy složek vnitřních sil – V 2 2 1 2 3 - 1 -2,40 - 3 8,73

Příklad 4, zatížení změnou teploty, průběhy složek vnitřních sil – M 2 2 1 -43,66 - 2 -43,66 3 -31,14 - 1 3

ODM, dané nepružné přemístění podpor Dané nepružné přemístění podpor může být vyvoláno: poddolováním, ražbou kolektorů a jiných podzemních děl v malé hloubce pod povrchem, snížením hladiny podzemní vody pohyby podloží (sesuvy) objemovými změnami (termické procesy apod.) Tyto pohyby jsou zpravidla nezávislé na zatížení vyvolané stavebním objektem, lze je vyšetřovat odděleně od silového zatížení konstrukce.

ODM, dané nepružné přemístění podpor Pružné přemístění podpor je závislé na velikosti akcí, kterými konstrukce působí na podpory, vyšetřují se společně se silovým zatížením konstrukce. Dané nepružné přemístění podpor modelujeme tzv. nehomogenními okrajovými (nenulovými) podmínkami.

Primární vektory koncových sil při daném popuštění podpor

Primární vektor koncových sil při daném popuštění podpor

Příklad 5 – kosoúhlý rám – zadání (deformační zatížení, popuštění podpor)

Příklad 5 – kosoúhlý rám – zadání (deformační zatížení, popuštění podpor)

Příklad 5 – kosoúhlý rám Výpočtový model

Příklad 5 – kosoúhlý rám Primární stav Vektory daných složek přemístění: Vyvolané globální primární vektory:

Příklad 5 – kosoúhlý rám, popuštění podpor Sekundární stav Vektory vypočtených složek přemístění: Globální sekundární vektory:

Příklad 5 – kosoúhlý rám, popuštění podpor Výsledný stav

Příklad 5, výpočet primárních vyvolaných koncových vektorů v GSS, prut 1 (1 – 2) 000123

Příklad 5, výpočet primárních vyvolaných koncových vektorů v GSS, prut 2 (2 – 3) 123004

Příklad 5, zatěžovací vektor 1234

Příklad 5, popuštění podpor, tvorba matice tuhosti konstrukce 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

Příklad 5, sestavení matice tuhosti konstrukce a řešení soustavy lineárních rovnic 1 2 3 4 1 2 3 4

Příklad 5 – kosoúhlý rám (deformační zatížení a vypočtená přetvoření)

Příklad 5, zatížení popuštěním podpor, výpočet koncových sil prutu 1 (1 -2) v GSS a LSS

Příklad 5, zatížení popuštěním podpor, výpočet koncových sil prutu 2 (2 - 3) v GSS a v LSS

Příklad 5, popuštění podpor, výpočet reakcí ve styčníku 1

Příklad 5, popuštění podpor, kontrola rovnováhy ve styčníku 2

Příklad 5, popuštění podpor, výpočet reakcí ve styčníku 3

Příklad 5, popuštění podpor, kontrola řešení

Určení vnitřních sil na prutu Každý prut lze řešit samostatně Vychází se z koncových sil prutu v LSS

Příklad 5, zatížení změnou teploty, průběh složek vnitřních sil - N 2 2 1 3 39,30 + 2 1 + 70,99 3

Příklad 5, zatížení změnou teploty, průběh složek vnitřních sil – V 2 2 1 61,20 + 3 2 1 - 3 -15,79

Příklad 5, zatížení změnou teploty, průběh složek vnitřních sil – M 2 2 1 -240,52 2 3 - 78,93 1 + 78,93 3

w=0,75kNm Postaveno při 20°C A = 0,24 m2 I = 0,0072 m4 E = 20 GPa

Silové zatížení w=0,75kNm

Zatížení sněhem s = 1,5 kN/m w=0,75kNm l4 = l5 = l=10,198m 10 • s = l • s´ … s´ = 10 • s/l = 15/l=1,471kN/m q = s´ • cos g4(5) = 1,471 • 10/l =1,442kN/m n = s´ • sin g4(5) = 1,471l • 2/l=0,288kN/m

Deformační zatížení Postaveno při 20°C

Změna teploty prutu zadaná změna teploty horních, dolních vláken Dth, Dtd Dtd = ti – 20°C= -2°C Dth = te (ti pro prut 2) - 20°C= -20°C (-2°C) Dt0 = ½(Dtd + Dth) = -11°C (-2°C) (změna teploty střednice…těžiště uprostřed) Dt1 = Dtd – Dth = 18°C (0°C) (rozdíl teplot) at = 0,00001°C-1 h = 0,6 m (výška průřezu)

Postup výpočtu Analýza prutů Analýza prutové soustavy globální primární vektor prutů globální matice tuhosti prutů Analýza prutové soustavy matice tuhosti soustavy K zatěžovací vektor soustavy F = S – R Řešení soustavy Kr = F Určení koncových sil a reakcí Výpočet složek vnitřních sil Kontrola výsledků řešení

Použitá literatura [1] Kadlčák, J., Kytýr, J., Statika stavebních konstrukcí II. Staticky neurčité prutové konstrukce. Učebnice, druhé vydání. VUTIUM, Brno 2004.