Tato prezentace byla vytvořena v rámci projektu Orbis pictus 21. století

Dynamické vlastnosti regulovaných soustav OB21-OP-EL-AUT-KRA-M-3-005 Ing. Petr Krajča

Každý systém lze zkoumat buď v podmínkách ustálených veličin nebo za předpokladu, že se jednotlivé veličiny mění v čase. Chování systému mezi dvěma ustálenými stavy vyjadřují dynamické vlastnosti systému. Vnější popis Dynamické vlastnosti lze popsat různými způsoby. Pokud považujeme systém za „černou skříňku“ a zjišťujeme reakci výstupního signálu na vstupní signál, pak mluvíme o vnějším popisu.

Na vstup přivádíme vhodný časově proměnný signál. y t u(t) y(t) systém výstupní signál vstupní signál Na vstup přivádíme vhodný časově proměnný signál. Může to být skoková změna, impulz, sinusový signál atd. Tvar výstupního signálu je pak závislý na přenosu systému.

(...bez něho se neobejdeme...) Vnější popis můžeme vyjádřit: lineární diferenciální rovnicí operátorovým přenosem v Laplaceově transformaci frekvenčním přenosem frekvenční charakteristikou přechodovou charakteristikou (odezva na skokově proměnný signál) impulsní charakteristikou (odezva na Diracův impuls) Následuje Matematický úvod (...bez něho se neobejdeme...)

1. Komplexní čísla Složkový tvar komplexního čísla Exponenciální tvar komplexního čísla a vztahy mezi nimi...

2. Derivace funkce Příklad: Máme časovou funkci, která vyjadřuje závislost dráhy na čase při nerovnoměrném pohybu.Tato funkce f = s(t) je znázorněna křivkou. Zvolíme-li si v libovolném místě časové osy přírůstek času Δt, pak na svislé ose odečteme přírůstek dráhy Δs. Průměrnou rychlost v tomto intervalu vyjádříme vztahem:

Budeme-li přírůstek času Δt zmenšovat k nule, získáme tzv Budeme-li přírůstek času Δt zmenšovat k nule, získáme tzv. diferenciál d. Výsledkem je pak okamžitá rychlost v1 v čase t1. Poznámka: Z geometrického hlediska představuje derivace funkce směrnici tečny v daném bodě.

3. Integrál funkce Příklad: Funkce f = v(t) vyjadřuje závislost rychlosti v na čase t. Přírůstek dráhy Δs odpovídá součinu okamžité rychlosti a přírůstku času Δt. Celkovou dráhu můžeme vyjádřit jako součet jednotlivých přírůstků dráhy. s = Δs1 + Δs2 +...+ Δsn = v1.Δt + v2.Δt +...+ vn.Δt

Přesnost výpočtu bude tím větší, čím menší bude časový přírůstek. Geometrickým významem integrálu časové funkce je součet ploch mezi křivkou funkce a časovou osou.

diferenciální rovnice 4. Laplaceova transformace je pomocný matematický aparát, který umožňuje převést diferenciální rovnici na rovnici algebraickou. Derivování a integrování je nahrazeno násobením a dělením Laplaceovým operátorem s. tato část je používána v regulační technice diferenciální rovnice ŘEŠENÍ klasický postup řešení řešení algebraické rovnice algebraická rovnice obraz řešení L { } L-1 { } časová oblast (t) oblast obrazů (s)

Příklad: Diferenciální rovnice 1. řádu po Laplaceově transformaci

V automatizaci je nejčastěji používán operátorový přenos G(s). Přenosové vlastnosti daného členu charakterizuje přenos, což je poměr výstupního a vstupního signálu. V automatizaci je nejčastěji používán operátorový přenos G(s). Ten je definován jako poměr obrazů výstupního a vstupního signálu v Laplaceově transformaci při nulových počátečních podmínkách. viz. předcházející příklad ; kde ;

6. Frekvenční přenos Frekvenční přenos získáme z operátorového přenosu tak, že za operátor (s) dosadíme (jω). Kde: j – imaginární jednotka ω – úhlová frekvence V našem případě:

7. Frekvenční charakteristiky Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích Frekvenční přenos znázorňují v logaritmických souřadnicích dvě charakteristiky: - amplitudovou - znázorňující závislost amplitudy na frekvenci - fázovou - znázorňující závislost fáze na frekvenci

Frekvenční charakteristika v logaritmických souřadnicích amplitudová fázová

Frekvenční charakteristika v komplexní rovině ω ω=0

8. Přechodová charakteristika Přechodová charakteristika vyjadřuje chování systému jako reakci výstupního signálu na skokovou změnu signálu vstupního tzv. jednotkový skok. u t 1 y t Podle reakce výstupního signálu pak můžeme určit typ a vlastnosti regulované soustavy.

Děkuji za pozornost Literatura - R. Voráček a kol.: Automatizace a automatizační technika II., Computer Press Praha 2000 - I. Švarc: Automatizace - Automatické řízení, VUT Brno, FSI