Užití Vennových diagramů ve slovních úlohách Autor: Jana Buršová

Základní pojmy Množina Určení množiny: - charakteristickou vlastností - výčtem prvků - znázorněním Vennovým diagramem Podmnožina a nadmnožina Rovnost množin

Operace s množinami Doplněk množiny A do B: 𝐴 𝐵 ´ Průnik množin A a B: 𝐴∩B Sjednocení množin A a B: A∪B Rozdíl množin A a B: A-𝐵

Vennovy diagramy Nakreslete Vennův diagram pro tři množiny A,B,C, označte počty prvků v jednotlivých polích a – h a zapište pomocí těchto proměnných všechny prvky, které: b f g h a c e d

Vennovy diagramy Patří do A a + b + d + e Patří jen do A a Patří do A i B a + b Patří do aspoň jedné z množin A a B: a + b + c + d + e + f Patří právě do jedné množiny: a + c + g Patří do všech tří množin: e Patří právě do dvou množin: b + d + f Patří aspoň do dvou množin: b + d + e + f

Užití Vennových diagramů ve slovních úlohách – př. 1 Ve třídě je 30 studentů (1). Pět z nich nehraje na žádný hudební nástroj (2). Ti ostatní hrají na klávesy a na kytary. 18 studentů hraje na kytaru (3), 6 kytaristů hraje rovněž na klávesy (4). Kolik studentů ve třídě hraje jen na klávesy?

Příklad 1 - řešení KL KY b a c d a + b + c + d = 30 (1) a = 7 b + c = 18 (3) c = 12 b = 6 (4) Závěr: jen na klávesy hraje a = 7 studentů.

Užití Vennových diagramů ve slovních úlohách – př. 2 Konference o vědecké teorii se zúčastnilo třiačtyřicet vědců (1). Někteří z nich zastávali logickou teorii a jiní empirickou teorii. Jednu nebo žádnou teorii přitom zastávalo 25 účastníků (2). Alespoň jednu z těchto teorií zastávalo 34 účastníků (3). Někteří zastávali obě teorie současně. Těch, kteří zastávali pouze empirickou teorii bylo o 2 více než těch, kdo zastávali jen logickou teorii (4).

Příklad 2 - řešení a b c d a + b + c + d = 43 (1) a + c + d = 25 (2) L E a + b + c + d = 43 (1) a + c + d = 25 (2) a + b + c = 34 (3) c = a + 2 (4) (1)– (2): b = 18 (1)– (3): d = 9 Ve (3) pak: a + 18 + a + 2 = 34, odtud a = 7, c = 9 a b c d

Př. 2 - úkoly Kolik bylo těch, co zastávali právě jednu teorii? Kolik bylo těch, kteří zastávali logickou teorii? Jen jednu teorii zastávalo: a + c = 16 vědců Logickou teorii zastávalo: a + b = 25 vědců

Užití Vennových diagramů ve slovních úlohách – př. 3 Studenti jedné třídy gymnázia dostali jako povinnou četbu některou z následujících knih: Barva kouzel, Lehké fantastično, Soudné sestry. Víme, že každý ze studentů přečetl alespoň jednu z nich. 6 studentů přečetlo všechny tři (1). 22 studentů přečetlo Barvu kouzel (2), 13 přečetlo Lehké fantastično (3), 12 přečetlo Soudné sestry (4), 9 studentů přečetlo Barvu kouzel a Soudné sestry a někteří z nich i Lehké fantastično (5).

Užití Vennových diagramů ve slovních úlohách – př. 3 – pokrač. 7 přečetlo Barvu kouzel a Lehké fantastično a někteří z nich dokonce přečetli i Soudné sestry (6). Přitom mezi studenty nebyl ani jeden, který by četl pouze Soudné sestry (7).

Příklad 3 - řešení BK LF a c d e f g SS h b e = 6 (1) a + b + d + e = 22 (2) a = 13 b + c + e + f = 13 (3) c = 2 d + e + f + g = 12 (4) f = 4 d + e = 9 (5) d = 2 b + e = 7 (6) b = 1 g = 0, h = 0 (7)+ (8)

Užití Vennových diagramů ve slovních úlohách – př. 3 - úkoly Kolik studentů bylo celkem ve třídě? Kolik studentů přečetlo právě dvě knihy? Kolik studentů přečetlo Soudné sestry nebo Lehké fantastično? Řešení: Ve třídě bylo 28 studentů. Právě dvě knihy přečetlo b + d + f = 7 studentů. SS nebo LF přečetlo 28 – 13 = 15 studentů.

Užití Vennových diagramů ve slovních úlohách – př. 4 Z 825 oslovených osob 380 uvedlo, že používá počítač doma nebo v zaměstnání (1)+(2). Počet osob, které používají počítač doma, je dvakrát větší než počet těch, kteří používají počítač doma i v zaměstnání (3) a je o 40 menší než počet těch, kteří používají počítač pouze v zaměstnání (4).

Příklad 4 - řešení D – v domácnosti, Z – v zaměstnání D Z a b c d a + b + c = 380, d = 445 (1)+(2) a + b = 2b (3) a = b 2a = c – 40 (4) c = 2a + 40 Z (1) 4a + 40 = 380, a = 85 = b; c = 210

Užití Vennových diagramů ve slovních úlohách – př. 4 - úkoly Kolik oslovených osob používá počítač pouze v zaměstnání? Kolik oslovených osob používá počítač doma? Řešení Pouze v zaměstnání používá počítač c = 210 osob. Doma používá počítač a + b = 170 osob.

Použitá literatura KOTLÁN, Igor. Testy studijních předpokladů a základy logiky – 1. díl, 1. vyd. Institut vzdělávání Socrates, s.r.o., 2004, 198 s. ISBN 80-86572-08-0 KOTLÁN, Igor. Testy studijních předpokladů a základy logiky –2. díl, 1. vyd. Institut vzdělávání Socrates, s.r.o., 2004, 196 s. ISBN 80-86572-09-9 KOUŘILOVÁ, Sylvie. Studijní předpoklady a logika. 1. vydání, Fragment, 2007, ISBN 978-80-253-0491