FI-07 Mechanika – pružnost a pevnost 28. 3. 2007

Hlavní body Úvod do nauky o pružnosti a pevnosti Charakter meziatomových sil. Napětí a deformace. Hookův zákon. Namáhání normálové Příčná deformace Namáhání ve smyku Tenzory napětí a deformace. 28. 3. 2007

Úvod do pružnosti a pevnosti Další přiblížení se realitě spočívá v tom, že nebudeme pokládat tělesa za dokonale tuhá: V souladu s realitou ale připustíme jejich deformace, naučíme se je popisovat a pochopíme, jakými se řídí zákony a jak je lze vysvětlit na mikroskopické úrovni. Budeme se zabývat pevnými látkami, ale naše úvahy později rozšíříme i na kapaliny. 28. 3. 2007

Charakter meziatomových sil I Makroskopické chování reálných látek je určeno silami, kterými na sebe působí jejich mikroskopické součásti. U pevných látek to jsou zpravidla přímo atomy, které tvoří krystaly nebo amorfní látky. U kapalin plynů se jedná spíše o molekuly Existují ale molekulární i kapalné krystaly 28. 3. 2007

Charakter meziatomových sil II Nejsilnější (a nejdůležitější v anorg. ch.) druhy vazeb kovalentní a iontová, jsou založeny na sdílení valenčních elektronů vázanými atomy. U kovalentních vazeb je sdílení téměř rovnoměrné. Vazby jsou směrové a saturují se. U iontových strhává elektronegativnější atom elektrony k sobě a přitažlivost lze popsat jako elektrostatické působení. 28. 3. 2007

Charakter meziatomových sil III Krystaly mají uspořádání na dlouhou (makroskopickou-srůsty dvojčat) vzdálenost a motiv elementární buňky se pravidelně opakuje. Valenční elektrony jsou sdíleny celým krystalem a za určitých podmínek mohou být nosiči elektrického náboje. Amorfní látky jsou uspořádané jen lokálně. 28. 3. 2007

Charakter meziatomových sil IV Aby se látky nezhroutily do sebe, musí existovat krátkodosahové odpudivé síly. Interakce je výhodné popisovat pomocí potenciálu, například Lennard-Jonesova: (r)={(r0/r)12-2(r0/r)6} V závislosti energie na vzdálenosti atomů existuje jedno nebo několik minim. To jsou pravděpodobné rovnovážné vzdálenosti. 28. 3. 2007

Pružnost I Z předchozího je patrné, že tělesa nemohou být dokonale tuhá, ale jejich tvar odpovídá jisté rovnováze vnějších a vnitřních sil. Změnou působení vnějších sil vznikají uvnitř síly, které se snaží vyrovnat účinek této změny. Výsledkem je nová rovnováha odpovídající stavu napjatosti. Pro malé deformace se při návratu vnějších sil, vrátí i těleso do původní rovnováhy. 28. 3. 2007

Napětí I Ukazuje se, že pro deformační účinek je rozhodující veličinou působící síla, vztažená na jednotku plochy, na kterou působí: napětí Jednotkou napětí je 1 Pascal [Pa]=Nm-2 28. 3. 2007

Napětí II Odezva látek může být komplikovaná, ale i ta nejjednodušší u látek izotropních a homogenních je rozdílná alespoň v tečném a normálovém směru. Proto má význam rozkládat napětí na normálové a tečné: 28. 3. 2007

*Hookův zákon I Mějme tyčku délky l a průřezu S o zanedbatelné vlastní hmotnosti, zatíženou silou Fn. Potom v každém průřezu tyčky bude stejné napětí n = Fn/S. Přesný Hookův zákon: Nekonečně malá deformace je úměrná nekonečně malému napětí a původní délce: dl = k.l dn 28. 3. 2007

*Hookův zákon II Pro konečné napětí Hookův zákon bohužel obecně neplatí. Konečné prodloužení musíme získat integrací: tedy : 28. 3. 2007

Hookův zákon III U mnoha látek je k velmi malé (např. ocel k=5.10-12 m2N2). Potom můžeme v rozvoji zanedbat členy od kvadratického výše a Hookův zákon platí i pro konečná napětí: l = l,-l = k.l n Pro deformaci, vyjádřenou jako relativní prodloužení , platí : 28. 3. 2007

Hookův zákon IV Napětí je tedy úměrné deformaci. E se nazývá Youngův modul pružnosti (v podélném prodloužení) : a popisuje schopnost látky vzdorovat deformaci. Naopak reciproké k znamená “poddajnost”, přesně: prodloužení na jednotku napětí. 28. 3. 2007

Příčné zkrácení I Podélné prodloužení je vždy doprovázeno příčným zkrácením (a naopak). Popisujeme jej relativním příčným zkrácením , které je (za podobných podmínek jako výše, tj. malá k1) též úměrné podélnému napětí: 28. 3. 2007

Příčné zkrácení II Míra změny v příčném směru musí být charakterizována dalším materiálovým parametrem  nebo m : Poissonova konstanta: m = / Poissonovo číslo (poměr):  = 1/m = / 28. 3. 2007

Příčné zkrácení III Podélný a příčný rozměr po deformaci lze vyjádřit : V případě tlaku by bylo možné a správnější uvažovat záporné parametry nebo změnit znaménka ve vztazích, což je bohužel historicky zděděný postup. 28. 3. 2007

Tlaková deformace objemu I Mějme krychli V=aaa, na kterou působí stejné napětí n ze všech směrů – hydrostatický tlak p. U změny rozměrů každé strany se uvažují podélné i příčné změny např.: a, = a(1-+2). Tedy V, = V(1-+2)3. Po zanedbání kvadratických a vyšších členů: 28. 3. 2007

Tlaková deformace objemu II Protože vlastně n = p, platí pro součinitel objemové stlačitelnosti  : je to podíl relativního úbytku objemu dělený tlakem, který ji způsobil, tedy relativní úbytek objemu na jednotku tlaku. 28. 3. 2007

Tlaková deformace objemu III Předchozí definice naznačuje, že objemová stlačitelnost se řídí Hookovým zákonem a lze tedy opět definovat příslušný modul objemové pružnosti K : Z této definice lze ukázat, meze v nichž musí ležet Poissonovo číslo . 28. 3. 2007

*Tlaková deformace objemu IV Z experimentu plyne, že K a E jsou kladné, protože délka se napětím prodlužuje a objem tlakem zmenšuje. Současně  > 0, protože protažení vyvolává zúžení a naopak. Potom tedy musí být jmenovatel větší než nula a platí : 0 <  < 1/2. Ve skutečnosti je obvykle 1/4 <  < 1/2 . Pro  = ½ by se jednalo o nestlačitelné, tedy dokonale tuhé těleso. 28. 3. 2007

Deformace ve smyku I Způsobí-li tečné napětí t =  odchylku u ve výšce b od pevné podložky, lze definovat relativní deformaci ve smyku  jako : Pro malé deformace lze opět pozorovat platnost Hookova zákona : 28. 3. 2007

Deformace ve smyku II V souladu s předchozími definicemi je k3 ... součinitelem smykového posunutí a má význam poddajnosti materiálu a G ... modul pružnosti ve smyku s významem odporu materiálu vůči deformaci ve smyku. 28. 3. 2007

Deformace izotropních látek Celkově je tedy možné charakterizovat elastické chování izotropních látek pomocí tří parametrů: například modulů G a E a Poissonovy konstanty m. Ukazuje se, že z těchto parametrů jsou ale jen dva nezávislé. Platí totiž vztahy : 28. 3. 2007

*Deformace neizotropních látek I V obecném případě neizotropních těles je nutné napětí i deformaci vyjádřit pomocí symetrických tenzorů druhého řádu  a . ij je j-tá složka napětí působící na plošku kolmou k ose i. pq je výchylka plošky kolmé k ose p ve směru osy q. 28. 3. 2007

*Deformace neizotropních látek II Zobecněný Hookův zákon je možné vyjádřit jako: ij = Cijpq pq Cijpq je obecně 36 nezávislých elastických parametrů. Každá symetrie znamená i symetrií v C, tedy nějakou vzájemnou relaci, čili i snížení počtu nezávislých materiálových parametrů. Nejtriviálnější je symetrie vůči záměně dvojic ij a pq. Ta snižuje počet nezávislých parametrů na 21. Tento počet odpovídá monokrystalům v triklinické soustavě. Amorfní nebo polykrystalické látky se chovají jako izotropní a zůstávají u nich dva parametry E a G. 28. 3. 2007

Platnost Hookova zákona Průběh namáhání látek se obvykle zobrazuje jako závislost napětí na deformaci. Má následující oblasti a meze: úměrnosti ... zde platí Hookův zákon elasticity ... návrat do původního tvaru plasticity ... zůstává trvalá deformace kluzu ... velká změna chování pevnosti ... porušení materiálu 28. 3. 2007

Tekutiny I Důležitá část fyziky se zabývá mechanikou kapalin a plynů, které mají společné označení tekutiny. Z hlediska elastických vlastností je lze definovat následovně: kapaliny ... E velké, G malé plyny ... E malé, G malé 28. 3. 2007

Tekutiny II Pro odhalení základních mechanických vlastností kapalin a plynů je vhodné začít od ideální kapaliny a později zavádět korekce, popisující jemnější chování například viskozitu a stlačitelnost. Ideální kapalina má E nekonečné a G nulové. Čili ideální kapalina je nestlačitelná, ale neexistují v ní smyková napětí ani deformace. 28. 3. 2007