Biofyzikální ústav LF MU Radiologická fyzika Zvuk a ultrazvuk 24.11.2014 Biofyzikální ústav LF MU

Co je vlnění ? Kmitání částic prostředí, které se šíří prostorem. Kmitáním nedochází k přenosu hmoty, částice se pouze vychylují ze svých rovnovážných poloh a prostřednictvím vazeb předávají kmity dál. Vlna přenáší informaci, energii a hybnost, ale nikoli hmotu (např. vlny na vodní hladině, v lánu obilí, ...). Energie a hybnost mechanické vlny se šíří srážkami mezi částicemi látky. Samotné částice se nepohybují (např. Newtonova houpačka). http://www.justjoy.cz/sharedFiles/upload/343upload_00000110.jpg BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Druhy vln Mechanické vlny: Vznikají a šíří se pouze v hmotném prostředí. Řídí se Newtonovými zákony mechaniky. Např. vlny na vodní hladině, vlny v lánu obilí, zvukové vlny, vlny na laně, vibrace, aj. Elektromagnetické vlny: Nejsou vázány pouze na hmotné prostředí. Mohou se šířit i ve vakuu. Např. světlo, rádiové vlny, rentgenové a gama záření, ultrafialové a infračervené záření, aj. de Broglieho vlny: Částice hmoty se chovají jako vlny. K pochopení je nutná znalost kvantové fyziky. BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Příčné a podélné vlny Příčné vlny: částice kmitají kolmo na směr šíření vlnění. Podélné vlny: částice kmitají ve směru šíření vlnění. Dochází ke střídavému zhušťování a zřeďování částic prostředí. BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Příčné a podélné vlny Příčné vlny se mohou šířit pouze prostředím, které odolává namáhání ve smyku, tj. v prostředí tuhém. V plynném a kapalném prostředí se může zvuk šířit pouze podélnými kmity, v pevných látkách se může šířit jak podélně tak příčně. Podélné vlny lze proto považovat za nejdůležitější, protože se mohou šířit jakýmkoliv prostředím. Jedinou podmínkou pro šíření všech typů vln v každém prostředí je skutečnost, že prostředí musí mít dostatečně velké rozměry vzhledem k vlnové délce vlnění. BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Postupná vlna Okamžitá příčná výchylka libovolné částice závisí nejen na čase t, ale také na vzdálenosti x částice od zdroje vlnění. Je-li kmitání zdroje 𝑦= 𝑦 𝑚 sin (𝜔𝑡) , potom kmitání dorazí do sledovaného bodu se zpožděním: 𝑦= 𝑦 𝑚 sin (𝜔𝑡−Δ𝑡) Zpoždění závisí na vzdálenosti x bodu od zdroje a na rychlosti šíření kmitů prostředím v: Δ𝑡=𝑥/𝑐 BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Postupná vlna Po úpravách 𝜔=2𝜋/𝑇 a 𝜆=𝑐𝑇 dostáváme rovnici postupné vlny: 𝑦 𝑥,𝑡 = 𝑦 𝑚 sin 𝜔 𝑡−𝑥/𝑐 = 𝑦 𝑚 sin 2𝜋 𝑡 𝑇 − 𝑥 𝜆 𝑦(𝑥,𝑡)= 𝑦 𝑚 sin (𝑘𝑥±𝜔𝑡 ) 𝑘=2𝜋/𝜆 … úhlový vlnočet (vlnové číslo) (𝑘𝑥±𝜔𝑡) … fáze Znaménko (–) platí pro pohyb vlny v kladném směru osy x, znaménko (+) pro pohyb vlny v záporném směru osy x. BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Postupná vlna 𝑐= 𝛥𝑥 𝛥𝑡 = 𝜔 𝑘 =𝜆𝑓= 𝜆 𝑇 Vlnová délka λ: Je nejmenší vzdálenost dvou bodů, které kmitají se stejnou fází. Perioda vlny T: Je nejkratší doba, po které se výchylka částice opakuje: 𝑇=𝜔/2𝜋. Frekvence f: Je definována jako převrácená hodnota periody a vyjadřuje počet kmitů za jednotku času: 𝑓=1/𝑇. Protože se vlna šíří prostorem, můžeme určit její rychlost šíření: 𝑐= 𝛥𝑥 𝛥𝑡 = 𝜔 𝑘 =𝜆𝑓= 𝜆 𝑇 Vlastnost prostředí Vlastnost zdroje BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Postupná vlna Zápis pomocí komplexních čísel Tento zápis přináší velké zjednodušení, Platí totiž Můžeme si ověřit například triviální příklad Pro zjednodušení zápisu vln je důležité, že nedochází při derivování (a integrování) k „přecházení“ od sinu ke kosinu 𝑦(𝑥,𝑡)= 𝑦 𝑚 sin (𝑘𝑥±𝜔𝑡 ) → 𝑦(𝑥,𝑡)= 𝑦 𝑚 exp (𝑖𝑘𝑥±𝜔𝑡) BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Skládání vln Šíří-li se prostorem více vln, dochází k jejich skládání. Platí princip superpozice. 𝑦 𝑥,𝑡 = 𝑦 1 𝑥,𝑡 + 𝑦 2 𝑥,𝑡 𝑦 𝑥,𝑡 = 𝑦 𝑚1 sin ( 𝑘𝑥±𝜔𝑡)+ 𝑦 𝑚2 sin ( 𝑘𝑥±𝜔𝑡) BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Interference vln Je vzájemné zesilování nebo zeslabování vln. Setkává-li se v jednom místě více vln různých amplitud, frekvencí a fází, vzniká podle principu superpozice nová vlna odlišného tvaru. Speciálními případy jsou konstruktivní a destruktivní interference. O výsledku interference rozhoduje fázový rozdíl obou vln nebo jejich dráhový rozdíl, který je funkcí fázového rozdílu. BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Interference vln Konstruktivní interference – vlny se setkávají ve fázi: 𝜑=𝑛2𝜋; 𝑛=0, 1, 2, … 𝛥𝑥=𝑛𝜆; 𝑛=0, 1, 2, … Destruktivní interference – vlny se setkávají v protifázi: 𝜑= 𝑛+ 1 2 2𝜋; 𝑛=0, 1, 2, … 𝛥𝑥= 𝑛+ 1 2 𝜆; 𝑛=0, 1, 2, … BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Interference vln BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Huygensův princip Vlnoplocha: je plocha, na níž mají částice stejnou amplitudu výchylky, tj. kmitají se stejnou fází. Může být kulová nebo rovinná. Paprsky: jsou přímky kolmé k vlnoplochám. Určují směr šíření vlny. BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Huygensův princip Rovinná vlna: 𝑦(𝑥,𝑡)= 𝑦 𝑚 sin (𝜔𝑡−𝑘𝑥 ) Kulová vlna: r … vzdálenost vlny od zdroje Zajímavé je, že s rostoucím poloměrem kulové vlny r úměrně klesá výchylka vlny. Při dostatečně velkých poloměrech pak přecházejí kulové vlny ve vlny rovinné. BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Huygensův princip BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

piezoelektrický element Huygensův princip Řada zdrojů kmitajících ve fázi vytváří šířící se vlnu piezoelektrický element postupující vlnoplocha BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Zákon odrazu Zákon odrazu: Úhel odrazu vlnění se rovná úhlu dopadu. Odražený paprsek leží v rovině dopadu. 𝜃=𝜃′ BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Zákon lomu Zákon lomu: Poměr sinu úhlu dopadu k sinu úhlu lomu je pro daná dvě prostředí stálá veličina a rovná se poměru rychlostí vlnění v obou prostředí. Označuje se index lomu vlnění n pro daná prostředí. Lomený paprsek leží v rovině dopadu. sin 𝛼 sin 𝛽 = 𝑐 1 𝑐 2 =𝑛 BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Difrakce (ohyb) vlnění Vlnění odchyluje od původního směru a šíří se i za překážku. Ohyb souvisí s rozměrem překážky a vlnovou délkou vlnění – ohyb je tím větší, čím větší je vlnová délka vlny. BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Vlnová rovnice 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 = 𝑐 2 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑧 2 = 𝑐 2 𝛻 2 𝑢= 𝑐 2 ∆𝑢 c je rychlost šíření vlny (závisí pouze na parametrech prostředí, kterým se vlna šíří). ∆=𝛻∙𝛻= 𝛻 2 Laplaceův operátor: ∆= 𝜕 2 𝜕 𝑥 2 + 𝜕 2 𝜕 𝑦 2 + 𝜕 2 𝜕 𝑧 2 Gradient (operátor Nabla): 𝛻= 𝜕 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜕𝑧 BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Vlnová rovnice Vlnová rovnice pro rovinnou vlnu: 𝜕 2 𝑢(𝑥,𝑡) 𝜕 𝑡 2 = 𝑐 2 𝜕 2 𝑢(𝑥,𝑡) 𝜕 𝑥 2 Řešením je rovnice: 𝑢 𝑥,𝑡 =𝐹 𝑥−𝑐𝑡 +𝐺 𝑥+𝑐𝑡 𝑢 𝑥,𝑡 = 𝑢 𝑚 cos 2𝜋 𝜆 𝑥−𝑐𝑡 +𝜑 Vlnová rovnice pro kulovou vlnu: 𝜕 2 𝑢(𝑟,𝑡) 𝜕 𝑡 2 = 𝑐 2 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 𝑟 2 𝜕𝑢(𝑟,𝑡) 𝜕𝑟 Řešením je rovnice: 𝑢 𝑟,𝑡 = 𝐹 𝑟−𝑐𝑡 𝑟 + 𝐺 𝑟+𝑐𝑡 𝑟 𝑢 𝑟,𝑡 = 𝑢 𝑚 𝑟 cos 2𝜋 𝜆 𝑟−𝑐𝑡 +𝜑 BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Zvukové vlny Zvukové vlny představují střídavé zhušťování a zřeďování částic látkového prostředí, které lze popsat např. časovou změnou tlaku (příp. hustoty, objemu). Tlak obsahuje dvě složky:  Atmosférický tlak (p0~105 Pa): Je téměř nezávislý na čase. Mění se s nadmořskou výškou nebo při změně počasí.  Akustický tlak (pa~10-5-102 Pa): Představuje časově proměnnou složku, která popisuje zvukové vlny. p0 pa(x,t) BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Zvukové vlny Píst (a) při pohybu vzhůru stlačuje vzduch (b) a posuvá jej dopředu, při zpětném pohybu dolů zůstává na jeho místě zředění (c). Periodické opakování (d) vede ke vzniku postupující vlny zhuštění a zředění. BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Zvukové vlny S Uvažujme sloupec vzduchu v trubici o průřezu S. Vyberme element vzduchu ∆x, který v čase mění svou polohu, rychlost, objem i hustotu. Posunutí elementu označíme jako u(x,t). u(x,t) u(x,t)+∆u(x,t) p(x)S p(x+∆x)S ∆m ρ, V S ρ0, V0 x x+∆x p0S BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Zvukové vlny S Na základě 2. NZ. sestavíme pohybovou rovnici: ∆𝐹=∆𝑚 𝑎 ∆𝐹=∆𝑚 𝑎 𝑎= 𝜕 2 𝑢 𝑥,𝑡 𝜕 𝑡 2 ∆𝐹=𝑝 𝑥 𝑆−𝑝(𝑥+∆𝑥)𝑆= =−∆𝑝 𝑥 𝑆≈− 𝜕𝑝(𝑥) 𝜕𝑥 𝑆∆𝑥 ∆𝑚= 𝜌 0 𝑉 0 = 𝜌 0 𝑆∆𝑥 u(x,t) u(x,t)+∆u(x,t) p(x+∆x)S ∆m ρ, V S ρ0, V0 x x+∆x p0S p(x)S BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Zvukové vlny S Na základě 2. NZ. sestavíme pohybovou rovnici: ∆𝐹=∆𝑚 𝑎 ∆𝐹=∆𝑚 𝑎 − 𝜕𝑝 𝑥,𝑡 𝜕𝑥 𝑆∆𝑥= 𝜌 0 𝑆∆𝑥 𝜕 2 𝑢 𝑥,𝑡 𝜕 𝑡 2 → 𝜕 2 𝑢(𝑥,𝑡) 𝜕 𝑡 2 =− 1 𝜌 0 𝜕𝑝(𝑥) 𝜕𝑥 u(x,t) u(x,t)+∆u(x,t) ∆m ρ, V S ρ0, V0 x x+∆x p0S p(x)S p(x+∆x)S BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Zvukové vlny Se změnou tlaku je spojena změna rozměrů objemu elementu plynu, protože pružné látky jsou stlačitelné. Chování látky pod tlakem popisuje např. stavová rovnice závislosti hustoty na tlaku: 𝜌=𝑓(𝑝) u(x,t) u(x,t)+∆u(x,t) ∆m ρ, V S ρ0, V0 x x+∆x p0S p(x)S p(x+∆x)S BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Zvukové vlny Za předpokladu malých změn tlaku a hustoty kolem rovnovážné hodnoty (𝑝= 𝑝 0 + 𝑝 𝑎 a 𝜌= 𝜌 0 + 𝜌 𝑎 ) bude platit linearizovaná stavová rovnice: 𝑝 𝑎 ≈ 𝑑𝑝 𝑑𝜌 0 𝜌 𝑎 (dp/dρ)0 značí derivaci tlaku podle hustoty za klidového atmosférického tlaku p0. u(x,t) u(x,t)+∆u(x,t) ∆m ρ, V S ρ0, V0 x x+∆x p0S p(x)S p(x+∆x)S BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Zvukové vlny Se změnou tlaku je spojena změna objemu a hustoty elementu. Hmotnost zůstává vzhledem k platnosti zákona zachování hmoty konstantní (m0=m). 𝑉 0 =𝑆∆𝑥 → 𝑉=𝑆 ∆𝑥+∆𝑢 𝜌 0 𝑆∆𝑥=𝜌𝑆 ∆𝑥+ 𝜕𝑢 𝜕𝑥 ∆𝑥 → 𝜌= 𝜌 0 1+(𝜕𝑢/𝜕𝑥) m0 m ε u(x,t) u(x,t)+∆u(x,t) ∆m ρ, V S ρ0, V0 x x+∆x p0S ε představuje lokální deformaci elementu vzduchu. Pro akustické vlny platí 𝜀≪1. p(x)S p(x+∆x)S BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Zvukové vlny ε S Protože 𝜌= 𝜌 0 + 𝜌 𝑎 , platí: 𝜌 𝑎 ≈− 𝜌 0 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜌 𝑎 ≈− 𝜌 0 𝜕𝑢 𝜕𝑥 Jelikož je relativní změna hustoty plynu až na znaménko stejná jako relativní změna objemu, platí: 𝑝 𝑎 =− 𝜌 0 𝑑𝑝 𝑑𝜌 0 𝜕𝑢 𝜕𝑥 ε u(x,t) u(x,t)+∆u(x,t) ∆m ρ, V S ρ0, V0 x x+∆x p0S p(x)S p(x+∆x)S BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Zvukové vlny S Dosazením do pohybové rovnice dostáváme: 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑡 2 = 𝑑𝑝 𝑑𝜌 0 𝜕 2 𝑢 𝜕 𝑥 2 Je zřejmé, že rychlost šíření akustických vln bude: 𝑐 2 = 𝑑𝑝 𝑑𝜌 0 u(x,t) u(x,t)+∆u(x,t) ∆m ρ, V S ρ0, V0 x x+∆x p0S p(x)S p(x+∆x)S BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Rychlost šíření zvuku Z fyzikálního hlediska mohou mechanické kmity vznikat pouze v prostředích, která vykazují setrvačnost (přenos kinetické energie = šíření vlny prostorem) a pružnost – elasticitu (přenos potenciální energie = kmitání vlny). Obě vlastnosti prostředí určují rychlost šíření vlnění. Setrvačnost prostředí je spjata s hmotností, tj. s délkovou (dráty, struny), plošnou (membrány, desky) nebo objemovou hustotou prostředí. Pružnost prostředí souvisí s možností vytvořit v něm působením nějaké síly napětí. 𝑐= 𝑝𝑟𝑢ž𝑛𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑡𝑟𝑣𝑎č𝑛𝑜𝑠𝑡 Obecně platí, že čím silnější jsou vzájemné vazby mezi částicemi prostředí (tj. čím je prostředí pevnější a hustější), tím vyšší je v něm rychlost šíření ultrazvuku. BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Rychlost šíření zvuku Hustota vody je téměř tisíckrát větší než hustota vzduchu. Kdyby o rychlosti zvuku rozhodovala pouze hustota, dalo by se očekávat, že se ve vodě bude zvuk šířit asi třicetkrát pomaleji než ve vzduchu. Z tabulky ale vyplývá, že je ve vodě zvuk naopak čtyřikrát rychlejší než ve vzduchu. Proto by měl být modul pružnosti vody více než desetitisíckrát větší než u vzduchu. Tak tomu skutečně je, protože voda je v porovnání se vzduchem mnohem hůř stlačitelná. BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Rychlost šíření zvuku V plynech Při rychlém zhušťování a zřeďování vzduchu nedochází k výměně tepelné energie s okolními vrstvami vzduchu. Akustické stlačování vzduchu je tedy adiabatický děj popsaný stavovou rovnicí: 𝑝 𝑉 𝜅 =𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. → 𝑝 𝑚 𝜌 𝜅 = 𝑝 0 𝑚 𝜌 0 𝜅 → 𝑝= 𝑝 0 𝜌 𝜌 0 𝜅 κ je Poissonova konstanta, která má pro běžné plyny hodnotu 𝜅≈7/5≈1,4. Pro rychlost zvuku v plynech potom platí: 𝑐= 𝜅 𝑝 0 𝜌 0 BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Rychlost šíření zvuku V plynech Protože platí také 𝑝𝑉=𝑛𝑅𝑇 → 𝑝= 𝑅𝑇 𝑀 𝜌, dostáváme pro rychlost zvuku: 𝑐= 𝜅 𝑅𝑇 𝑀 Rychlost zvuku v plynech je závislá hlavně na molární hmotnosti plynu a termodynamické teplotě. Při teplotě 0 °C je rychlost zvuku ve vzduchu asi 330 m/s zatímco při teplotě 30 °C asi 350 m/s. V lehkých plynech je pak rychlost zvuku vyšší než ve vzduchu (např. pro vodík 1300 m/s, hélium 1000 m/s). Protože je 𝑓=𝑐/𝜆 má každý tón v héliu skoro 3x vyšší frekvenci než ve vzduchu. BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Rychlost šíření zvuku V kapalinách Parametr, který popisuje pružnost kapalin je objemový modul pružnosti: 𝐾=−𝑉 𝑑𝑝 𝑑𝑉 Vzhledem k malé stlačitelnosti kapalin platí: 𝑉≈ 𝑉 0 (1−𝑝/𝐾). Pro hustotu 𝜌=𝑚/𝑉 platí podobně: 𝜌≈ 𝜌 0 (1−𝑝/𝐾). Potom: 𝑑𝜌 𝑑𝑝 ≈ 𝜌 0 𝐾 ≈ 𝜌 𝐾 Nakonec vychází: 𝑐= 𝐾 𝜌 Pro vodu je K~2x109 Pa, a proto c~1500 m/s. BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Rychlost šíření zvuku V pevných látkách Parametr, který popisuje délkovou deformaci pevné látky je podle Hookeova zákona Youngův modul pružnosti: 𝐹=𝐸𝜀=𝐸 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Dosazením za F v pohybové rovnici a po srovnání s vlnovou rovnicí dostáváme: 𝑐= 𝐸 𝜌 BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Rychlost šíření zvuku V pevných látkách V pevných látkách se mohou obecně šířit podélné i příčné vlny. Rychlost podélných i příčných vln jsou odlišné: 𝑐 ⊥ = 𝐺 𝜌 𝑐 ∥ = 𝐸 ∗ 𝜌 G je modul pružnosti ve smyku a E* je modul pružnosti v tahu bez příčného zkrácení materiálu. Rychlost podélných vln je vždy větší než příčných vln a pro obvyklé materiály přibližně platí: 𝑐 ∥ ≈2 𝑐 ⊥ BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Rychlost šíření zvuku V pevných látkách Napnutá struna. Na úsek Δl struny působí tečné síly τ v obou směrech. Jejich vodorovné složky se vyruší, ale svislé složky se sčítají. Celková síla působící na element struny je: 𝐹=2𝜏 sin 𝜃 =𝜏 2𝜃 =𝜏 ∆𝑙 𝑅 BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Rychlost šíření zvuku V pevných látkách Hmotnost elementu struny je: ∆𝑚=𝜇∆𝑙 Zrychlení elementu struny je dáno dostředivým zrychlením: 𝑎= 𝑣 2 𝑅 BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Rychlost šíření zvuku V pevných látkách Dosazením do 2. NZ dostáváme: 𝜏 ∆𝑙 𝑅 =𝜇∆𝑙 𝑣 2 𝑅 𝑣= 𝜏 𝜇 BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Otázky Co je vlnění? Typy vln. Rovnice postupné vlny a popis základních vlastností vlny. Skládání vln. Interference. Huygensův princip. Vlnová rovnice. Rychlost šíření vlny prostředím. BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika

Děkuji za pozornost ! BFÚ LF MU 2014 Radiologická fyzika