6. Přednáška – BOFYZ soustavy částic a Tuhá tělesa FYZIKA 6. Přednáška – BOFYZ soustavy částic a Tuhá tělesa Jacob Steiner (1796-1863)

Soustavy částic a tuhá tělesa BOFY Soustavy částic a tuhá tělesa Zatím jsme studovali osamocené částice nebo tělesa, která se dala nahradit částicí (hmotným bodem), nyní rozšíříme zkoumání na vícečásticové soustavy. Dvě možnosti pro systém více než jedné částice: Systém jednotlivých oddělených částic Tuhé těleso, které má spojitou strukturu Těžiště – hmotný střed Těžiště tělesa nebo soustavy částic je bod, který se pohybuje tak, jako by v něm byla soustředěna veškerá hmota tělesa (soustavy) a působily v něm veškeré vnější síly působící na těleso (soustavu). Jiné označení: střed hmotnosti.

Určování Těžiště soustavy BOFY Určování Těžiště soustavy Těžiště T soustavy tvořené dvojicí částic o hmotnostech m1 a m2, které se nacházejí ve vzdálenosti d: y xT m1 m2 x T d Speciální případy: m2 = 0 → xT = 0 … Těžiště je v levé částici m1 = 0 → xT = d … Těžiště je v pravé částici m1 = m2 → xT = d/2 … Těžiště je uprostřed mezi částicemi

Určování Těžiště soustavy BOFY Určování Těžiště soustavy Stejnou situaci budeme řešit obecněji – počátek soustavy souřadnic volíme mimo částice. Hmotnost celé soustavy M = m1 + m2 y xT m1 m2 x T x1 d x2 Pro x1 = 0 získáme předchozí situaci. Volba vztažné soustavy nemá vliv na polohu těžiště.

Určování Těžiště soustavy BOFY Určování Těžiště soustavy Pokud situaci zobecníme na soustavu n částic nacházejících se v jedné přímce, lze psát: Při zobecnění na trojrozměrný případ přidáme ještě další souřadnice y, z jednotlivých částic:

Praktické postřehy o těžišti BOFY Praktické postřehy o těžišti Jestliže je těleso homogenní a symetrické, je těžiště vždy ve středu, ose nebo rovině symetrie. Při výpočtech s tím počítáme a souřadný systém volíme tak, aby některá osa (většinou x) splývala s osou symetrie. Těžiště trojúhelníka na průsečíku těžnic je těžiště i ve fyzikálním smyslu. Těžnice jsou (kromě svého matematického významu) svislé čáry, které procházejí místem závěsu a mají směr tíhové síly G.

Praktické postřehy o těžišti BOFY Praktické postřehy o těžišti Těžiště nemusí ležet v tělese, u dutých těles – prsten, obruč, dutý válec, … – leží mimo těleso. Těleso podepřené POD těžištěm lze vybalancovat.

Úloha - Početní určování těžiště BOFY Úloha - Početní určování těžiště Určete početně polohu těžiště homogenního tělesa, které se skládá z válcové tyče o délce 30 cm a průměru 1 cm, na jejímž jednom konci je připevněn válec o průměru 6 cm a výšce 4 cm a na druhém konci válec o průměru 3 cm a výšce 2 cm. Osa tyče prochází středy podstav obou válců. Těžiště bude ležet na ose tyče, zvolíme soustavu souřadnic s počátkem na jednom konci. Těleso rozdělíme na tři souměrné části, u kterých umíme určit polohu těžiště zpaměti, tyto části budeme považovat za hmotné body.

Úloha - Početní určování těžiště BOFY Úloha - Početní určování těžiště Rozměry jednotlivých částí tělesa: válcová tyč: l = 30 cm, d = 1 cm, levý válec: d1 = 6 cm, h1 = 4 cm pravý válec: d2 = 3 cm, h2 = 2 cm. x1 = 2 cm x2 = 4 + 15 = 19 cm x3 = 4 + 30 + 1 = 35 cm

Tuhé těleso BOFY je fyzikální model (jako izolovaná částice, ideální plyn, dokonale hladká podložka…) Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se účinkem libovolně velkých sil nemění. TT může vykonávat pohyby: Posuvný (translace) - všechny body TT mají v libovolném čase stejnou okamžitou rychlost. Rotační – u bodové částice nemělo smysl rotaci uvažovat, všechny body TT mají v libovolném čase stejnou úhlovou rychlost. Kinetická energie TT je součtem příspěvků od obou typů pohybů.

Moment setrvačnosti částice BOFY Moment setrvačnosti částice v2>v1 Těleso rotující kolem osy otáčení má kinetickou energii, ale jeho jednotlivé body mají odlišné rychlosti. osa otáčení Jednotlivé body tělesa rotujícího kolem osy se ale pohybují stejnými úhlovými rychlostmi. Pro jednu i-tou částici dosazením za vi=riwi dostaneme: Zavedeme MOMENT SETRVAČNOSTI i-té částice (někde se značí J) Kinetická energie i-té částice

Moment setrvačnosti tělesa BOFY Moment setrvačnosti tělesa Celková kinetická energie Ek tělesa je určena součtem kinetických energií Eki všech částic tělesa. I - moment setrvačnosti tělesa Celková kinetická energie rotačního pohybu: Celková kinetická energie tělesa při započítání translačního (posuvného) a rotačního pohybu:

Moment setrvačnosti v praxi BOFY Moment setrvačnosti v praxi Moment setrvačnosti popisuje rozložení hmoty v tělese. Platí: Dosadíme za moment setrvačnosti i-té částice Vzorce pro momenty setrvačnosti těles mají tvar: m - hmotnost tělesa r - vzdálenost hmoty od osy otáčení, většinou charakteristický rozměr tělesa (poloměr, délka apod.) k - charakterizuje rozložení látky kolem osy otáčení, čím je hmota dále od osy, tím je I větší.

BOFY Označená tělesa jsou k zapamatování, ostatní ne.

VYNECHÁME Steinerova věta BOFY Pokud známe moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose o, která prochází těžištěm, můžeme určit moment setrvačnosti vzhledem k libovolné rovnoběžné ose o´. IT – vzhledem k ose vedené těžištěm m – hmotnost tělesa h – vzdálenost obou os o a o´. Důkaz: VYNECHÁME Členy rovny 0 (počátek je v T) dm má polohu [x,y] poloha těžiště je [0,0]

Úloha na steinerovu větu BOFY Úloha na steinerovu větu Určete moment setrvačnosti tenké tyče, která se otáčí okolo kolmé osy vedené jejím koncem (ta vpravo), jestliže znáte moment setrvačnosti pro osu vedoucí těžištěm.

Setrvačníky (gyroskopy) BOFY Setrvačníky (gyroskopy) jsou tělesa otáčející se okolo pevného bodu v prostoru Roztočíme-li setrvačník kolem jeho osy symetrie, potom tato osa zachovává stálý směr v prostoru. Osa nemusí mít ovšem stejný směr – setrvačník poté vykonává tzv. precesní pohyb kolem směru vektoru L. Setrvačník koná dva rotační pohyby.

Využití Setrvačníků BOFY v praxi jsou to tělesa s velkým momentem setrvačnosti, látka tělesa je umístěna souměrně vzhledem k ose otáčení, nejvíce látky je umístěno v okrajových částech tělesa. Využití setrvačníků: zabezpečují rovnoměrnost chodu motorů, umělý horizont v letadlech, gyrokompas, zdroje energie v dětských autíčkách.

Úloha na ZZE pro rotaci BOFY Na obvodu válce, který má poloměr 0,35 m a moment setrvačnosti 0,12 kg.m2, je navinuto vlákno, na němž je zavěšeno závaží o hmotnosti 0,4 kg. Válec je otáčivý kolem osy jdoucí jeho středem. Určete, jak velkou úhlovou rychlostí se otáčí kolo, pokud závaží urazilo z klidu dráhu 2 m. R = 0,35 m, I = 0,12 kg·m2, m = 0,4 kg, h = 2 m, ω = ? Závaží klesne o výšku h, úbytek potenciální energie soustavy ΔEp = mgh. Tento úbytek se rovná přírůstku kinetické energie.

BOFY valení Pohyb kulatého tělesa (koule, válce, disku …) bez podkluzování, kdy se rychlost posuvného pohybu rovná obvodové rychlosti. Možnosti pohledu: a) Valení jako kombinace posuvného a otáčivého pohybu: b) Valení jako otáčivý pohyb:

Kinetická energie při valení BOFY Kinetická energie při valení je součtem příspěvků od posuvného a rotačního pohybu. podle typu tělesa se bude lišit, protože se liší jejich momenty setrvačnosti. Všimněte si, že Ek NEZÁVISÍ NA POLOMĚRECH TĚLES.

BOFY Úloha na valení Nakloněná rovina přechází na konci ve válcovou smyčku o poloměru R. Po nakloněné rovině vypustíme z klidu malý homogenní disk o poloměru r, který se po ní začne valit bez prokluzování. Z jaké nejmenší výšky h musí být vypuštěn střed disku, aby proběhl celou smyčku? V nejvyšším bodě se (aspoň) rovnají tíhová a odstředivá síla. Ze ZZE se rovná úbytek Ep a přírůstek Ek… ΔEp=ΔEk

Moment síly (vzhledem k ose otáčení) BOFY Moment síly (vzhledem k ose otáčení) Otáčivý účinek síly F působící na těleso závisí na: a) velikosti a směru této síly, b) poloze působiště síly vzhledem k ose otáčení. Moment síly vzhledem k ose otáčení je vektorová veličina, která popisuje otáčivé účinky této síly, a je definován jako vektorový součin polohového vektoru působiště síly a této síly (v tomto pořadí): osa otáčení Směr M určujeme pravidlem pravé ruky buď přímo podle vektorového součinu nebo: „prsty naznačíme směr otáčení tělesa při působení síly a palec ukáže směr momentu síly“. Vektor M umísťujeme do osy otáčení.

BOFY Rameno síly Moment síly lze zapsat i jinak než vektorovým součinem: Pomocí úhlu φ, který svírá polohový vektor působiště a síla. Počítáme pouze velikost, směr určíme pravidlem pravé ruky. Pomocí tečného průměru síly Ft, průmět má velikost Ft = F.sin φ, je to ta složka síly, která způsobí otáčení tělesa. Počítáme opět pouze velikost, směr musíme určit podle PPR Pomocí ramene síly r┴, což je vzdálenost vektorové přímky síly od osy otáčení. Jeho velikost je r┴ = r.sinφ. Opět určíme pouze velikost M, směr podle PPR. osa otáčení r┴ φ

Síla bez otáčivého účinku BOFY Síla bez otáčivého účinku Jestliže moment síly charakterizuje otáčivý účinek síly, může nastat situace, kdy je roven nule M = 0 a síla otáčivý účinek nemá. Otáčivý účinek nemá síla, jestliže: 1. Vektorová přímka síly prochází osou otáčení, 2. Vektorová přímka síly je rovnoběžná s osou otáčení. V obou případech je sinφ = 0. Pokud zůstává úhel φ konstantní, nemění se moment síly a tedy ani otáčivý účinek na těleso. Důsledek: Působiště síly v tuhém tělese můžeme libovolně posouvat po její vektorové přímce bez toho, aby se měnil účinek síly na tuhé těleso.

podmínky rovnováhy BOFY Tuhé těleso otáčivé kolem nehybné osy je v rovnovážné poloze, jestliže se rovnají nule (nulovým vektorům): 1) vektorové součty všech vnějších sil působících na těleso, těleso je v rovnováze pro posuvný pohyb. 2) vektorové součty všech momentů těchto sil. těleso je v rovnováze pro otáčivý pohyb. Druhy rovnovážných poloh: Stabilní (stálá) Labilní (vratká) Indiferentní (volná)

Rovnovážná poloha stabilní BOFY Rovnovážná poloha stabilní U tělesa v rovnovážné poloze stálé je osa otáčení tělesa nad těžištěm T. osa otáčení Po vychýlení tělesa: stoupá potenciální tíhová energie tělesa, moment tíhové síly těleso vrátí zpět do stálé polohy. kulička v misce

Rovnovážná poloha vratká (labilní) BOFY Rovnovážná poloha vratká (labilní) U tělesa v rovnovážné poloze vratké leží těžiště nad osou otáčení tělesa. Po vychýlení tělesa: klesá tíhová potenciální energie tělesa, těleso zaujme rovnovážnou polohu stálou. osa otáčení kulička na misce

Rovnovážná poloha volná (indiferentní) BOFY Rovnovážná poloha volná (indiferentní) U tělesa v rovnovážné poloze volné prochází osa otáčení tělesa těžištěm. Po vychýlení tělesa: potenciální energie tíhová tělesa se nemění, těleso zůstává v rovnovážné poloze volné. osa otáčení kulička na vodorovné rovině

BOFY Stabilita tělesa se měří velikostí práce, kterou musíme vykonat, abychom těleso převrátili z rovnovážné polohy stálé do rovnovážné polohy vratké. Při překlápění hranolu vystoupí těžiště o výšku Δh, zvětšuje se jeho potenciální energie Ep na úkor práce W vykonané vnějšími silami. osa otáčení

BOFY Děkuji za pozornost