Výukový materiál zpracován v rámci oblasti podpory 1.5 „EU peníze středním školám“ Název školy Obchodní akademie a Hotelová škola Havlíčkův Brod Název OP OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/ Název projektu Inovace a individualizace výuky na OA a HŠ Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení vzdělávacího materiálu VY_32_INOVACE_04_PVP_221_Sed Druh učebního materiálu Prezentace Autor Mgr. Karel Sedlák VY_32_INOVACE_04_PVP_221_Sed

Vzdělávací obor, pro který je materiál určen Obchodní akademie, Hotelnictví PředmětMatematika; Matematický seminář Ročník 1. ročník; 3. – 4. ročník Název tematické oblasti (sady) Rovnice, nerovnice a jejich soustavy Název vzdělávacího materiálu Rovnice a nerovnice – základní přehled Anotace Prezentace je určena pro výuku „Matematiky“ v 1. ročníku čtyřletých oborů vzdělání Obchodní akademie a Hotelnictví. Lze ji rovněž využít pro výuku volitelného předmětu „Matematický seminář“ ve 3. – 4. ročníku výše uvedených oborů. Tato prezentace je úvodní částí sady „Rovnice a nerovnice“ a jejím cílem je systematizace učiva tohoto rozsáhlého tematického celku, charakteristika základních pojmů a klasifikace typů rovnic a nerovnic. Zhotoveno, (datum/období) únor 2013 Ověřeno 18. listopadu 2013

ROVNICE A NEROVNICE – ZÁKLADNÍ PŘEHLED

Kořen rovnice Řešení rovnice  Kořen rovnice = řešení rovnice  Dva ekvivalentní výrazy  Číslo x k (hodnota neznámé), po jehož dosazení platí rovnost L(x) = P(x)  Řešení rovnice = označení pro postup, kterým hledáme kořen rovnice

Obor řešení rovnice = M  Nejčastěji množina reálných čísel R  Může to být ale jakákoli její podmnožina  Číselná množina, ve které se nachází kořeny rovnice  Pokud není na začátku stanoveno jinak, pak oborem řešení rovnice M je množina reálných čísel R  Platí: M ⊂ R

Definiční obor rovnice = D  Číselná množina, která obsahuje kořeny rovnice  Průnik definičních oborů výrazů L(x) a P(x)  Po dosazení libovolného čísla z D za neznámou x vznikne výrok (pravdivý ∨ nepravdivý)  Platí: D ⊂ M ⊂ R

Množina všech kořenů = K Obor pravdivosti rovnice = P  Používají se obě značení  Číselná množina, která obsahuje všechny kořeny rovnice  Po dosazení libovolného čísla z množiny K za neznámou x vznikne výrok pravdivý  Platí: K ⊂ D ⊂ M ⊂ R

Rozdělení rovnic s jednou neznámou: 1)ALGEBRAICKÉ a)Racionální  Lineární ( 1. stupně)  Kvadratické ( 2. stupně)  Kubické ( 3. stupně)  Rovnice 4. stupně,..…… aj. b)Iracionální ( s neznámou pod odmocninou) 2)TRANSCENDENTNÍ  Logaritmické  Exponenciální  Goniometrické, ……… aj.

Úpravy rovnic 1. Ekvivalentní 2. Implikační (důsledkové)

1.Ekvivalentní úpravy Nezmění platnost rovnice; po jejich provedení má upravená i původní rovnice právě stejné kořeny. Smyslem ekvivalentních úprav je dostat rovnici do jednoduššího tvaru, ze kterého už lze stanovit kořen rovnice. Např.:  Přičtení téhož čísla nebo výrazu z definičního oboru D k oběma stranám rovnice  Násobení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly nebo výrazem z definičního oboru D různým od nuly  Záměna obou stran rovnice

2.Implikační úpravy Po jejich aplikaci má původní rovnice stejné kořeny jako upravená. Neplatí to ovšem naopak – tzn. že upravená rovnice může mít i některé další kořeny, které původní rovnice nemá. Proto je nezbytné vždy provádět důsledně zkoušky pro všechny kořeny. Patří sem např.:  Umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem  Odmocnění obou stran rovnice  Logaritmování obou stran rovnice

Úpravy nerovnic Při řešení nerovnic platí stejné ekvivalentní úpravy jako při řešení rovnic s jedinou podstatnou výjimkou:  násobíme-li obě strany nerovnice záporným číslem, změní se znak nerovnosti v opačný!!

Základní typy rovnic a nerovnic: 1)lineární rovnice 2)lineární nerovnice 3)rovnice s neznámou ve jmenovateli 4)nerovnice s neznámou ve jmenovateli 5)soustavy rovnic 6)soustavy nerovnic 7)rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou 8)kvadratické rovnice 9)kvadratické nerovnice 10)iracionální rovnice 11)rovnice s parametrem 12)exponenciální rovnice 13)logaritmické rovnice 14)goniometrické rovnice

Doporučený postup řešení lineárních rovnic s jednou neznámou 1.Provedení naznačených početních úkonů 2.Odstranění zlomků 3.Převedení na jednotlivé strany rovnice členů bez neznámé a členů s neznámou 4.Osamostatnění neznámé 5.Provedení zkoušky 6.Zápis množiny K Poznámka: podle konkrétního zadání daného příkladu se některé kroky vynechávají

LITERATURA:  POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. 8. vyd. Praha: Prometheus, 2005, 608 s. ISBN  VOŠICKÝ, Zdeněk. Matematika v kostce. 2. vyd. Havlíčkův Brod: Fragment, 1997, 124 s. ISBN  KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN

LITERATURA:  ČERMÁK, Pavel. Odmaturuj! z matematiky. Vyd. 2.(opr.). Brno: Didaktis, 2003, 208 s. ISBN  PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN Materiály jsou určeny pro bezplatné používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Jakékoliv další využití podléhá autorskému zákonu.