Když tři rozměry nestačí... 4D Tělesa Když tři rozměry nestačí...

3D svět Reálný svět je z pohledu lidského oka omezen třemi prostory Matematika coby obecná věda takové omezení nezná (běžně se setkáváme s pojmy n-rozměrný vektor, n-rozměrný prostor)

3D vs 4D

4D  3D  2D S vizualizací trojrozměrných objektů se setkáváme denně (3D modely na obrazovce) Zobecněním promítání 3D do 2D snadno najdeme postup na promítnutí 4D do 3D Tento obraz následně promítněme do 2D, čímž získáme vizualizaci čtyřrozměrného tělesa

Bod a vektor v 4D Bod je základní geometrická entita a ve 4D je určen uspořádanou čtveřicí (reprezentující polohu v soustavě souřadnic) Vektor je určen počátečním a koncovým bodem (jeho složky na rozdíl od bodu zapisujeme do kulatých závorek)

Geometrické transformace Mezi základní geometrické transformace patří: Posunutí Rotace Změna měřítka Geometrické transformace běžně vyjadřujeme pomocí matic

Projekce Projekcí rozumíme promítnutí objektu z vícerozměrného prostoru do prostoru o méně rozměrech Otázka k zamyšlení: Proč projekci nepovažujeme za geometrickou transformaci?

Těleso Tělesem rozumíme množinu bodů splňující určitá kritéria Nejjednodušší způsob popisu tělesa spočívá pouze v popisu hran a vrcholů (drátěný model) Známé pojmy z 3D vrchol, hrana a stěna „přejmenujeme“ – zobecnění

Zobecnění známých pojmů Vrchol  stěna dimenze 0 Hrana  stěna dimenze 1 Klasická stěna  stěna dimenze 2 Stěnu 3. dimenze budeme nazývat hyperstěna Otázka k zamyšlení: Co je hyperstěnou u trojrozměrného tělesa?

Hierarchie stěn

Teserakt 4D analogie krychle Vrcholy jednotkové krychle tvoří všechny body, jejichž složky jsou kombinací jedniček a nul Hrany spojují body lišící se v jedné složce

Zobecnění principů známých z 3D Konstrukce teseraktu Zobecnění principů známých z 3D

Pentachoron Analogie trojrozměrného čtyřstěnu Vrcholy jednotkového tělesa tvoří body s maximálně jednou jedničkovou složkou Hranami jsou spojeny všechny body navzájem

Ikositetrachoron Konvexní pravidelný 4-polytop Konstrukce už je složitější, je analogií konstrukce nepříliš známého 3D tělesa rombického dodekahedronu

Rombický dodekahedron

Počet stěn dané dimenze

Kde hledat další informace o 4D Informace o nejrůznějších tělesech naleznete například na Wikipedii: http://en.wikipedia.org/wiki/Fourth_dimension Obecnější výklad o 4D s konstrukcemi těles a rovinných řezů i s implementací lze najít v bakalářské práci „4D grafika v OpenGL“: http://phoenix.inf.upol.cz/~janicekm