Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: III/2 – Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0940 Autor: Lenka Šálková Tematická oblast: Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika Název DUMu: Variace, permutace Kód: VY_32_INOVACE_MA.2.05 Datum: 22. 11. 2012 Cílová skupina: Žáci středních škol Klíčová slova: variace, permutace, uspořádané n-tice Anotace: Zavedení pojmu permutace, definice, procvičení, zavedení pojmu variace, definice, procvičení.

Variace, permutace

Variace 1) Volejbalového turnaje se účastní 6 týmů. Kolika způsoby mohou tyto týmy obsadit medailová místa v konečném umístění? 2) Na maturitním plese se 10 hlavních cen v tombole losuje z 250 lístků. Kolika způsoby může toto losování dopadnout? 3) Na zkoušení jsou připraveny dvě otázky (otázky nejsou stejné) a studenti jsou losováni náhodně. Kolika způsoby může losování dopadnout, pokud je ve třídě 31 studentů?

Variace Nechť je dána neprázdná konečná množina, která má n prvků. Každá uspořádaná k -tice, sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše jednou, se nazývá k-členná variace (variace k-té třídy) z n prvků. Počet V (k, n) všech k-členných variací z n prvků je: záleží na pořadí prvků v k-tici, prvky se neopakují

Variace 1) Rozepiš a vypočti. V3(4) V1(40) V3(3) 2) K sestavení vlajky, která má být složena ze tří různobarevných vodorovných pruhů, jsou k dispozici látky barvy bílé, červené, modré, zelené a žluté. a) Urči počet všech vlajek, které lze z látek těchto barev sestavit. b) Kolik vlajek má modrý pruh uprostřed? c) Kolik vlajek má modrý pruh? d) Kolik vlajek nemá uprostřed modrý pruh? e) Kolik vlajek nemá žlutý pruh?

Variace 3) Z kolika různých prvků je možné vytvořit 132 variací druhé třídy? 4) Kolik různých trojciferných přirozených čísel dělitelných deseti lze sestavit z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, jestliže se žádná číslice neopakuje. 5) Mistrovství světa v hokeji se účastní 16 mužstev. Kolik různých umístění může být na prvních třech místech?

Permutace Permutace z n prvků je každá n-členná variace z těchto prvků tj. k = n Permutace z n prvků je uspořádaná n-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje právě jednou. Počet permutací z n prvků odvodíme ze vzorce pro počet n-členných variací z n prvků: záleží na pořadí prvků v k-tici, prvky se neopakují V(k, n) = Pro k = n: V(n, n) = n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − k + 1) n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − n + 1) = n · (n − 1) · (n − 2) · … · 1

Permutace Počet P(n) všech k - členných permutací z n prvků je: P(n) = n! Rozepište a vypočtěte: a) P(5) b) P(1) c) P(3) d) 4! e) 50! Pozor! Hodnota faktoriálu je definována i pro nulu. Platí: 0!=1.

Permutace Kolika způsoby lze zamíchat balíček 32 karet? 2) Vytvořte všechny uspořádané trojice z prvků množiny M = {A, B,C} tak, aby se žádný prvek neopakoval. 3) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, která lze sestavit z číslic 1,2,3,4 tak, aby se žádná číslice neopakovala.

Permutace Počet P(n) všech k - členných permutací z n prvků je: P(n) = n! Kolika způsoby lze zamíchat balíček 32 karet? 2) Vytvořte všechny uspořádané trojice z prvků množiny M = {A, B,C} tak, aby se žádný prvek neopakoval. 3) Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, která lze sestavit z číslic 1,2,3,4 tak, aby se žádná číslice neopakovala.

Permutace 4) Určete, kolika způsoby se v šestimístné lavici může posadit šest hochů, jestliže a) dva chtějí sedět vedle sebe b) dva chtějí sedět vedle sebe a třetí chce sedět na kraji 5) Určete, kolika způsoby mohou 4 chlapců a 5 dívek nastoupit do zástupu tak, aby a) nejdříve stály všechny dívky a pak všichni chlapci b) mezi žádnými dvěma chlapci nebyla žádná dívka ani mezi žádnými dvěma dívkami nebyl žádný chlapec c) mezi žádnými dvěma chlapci nebyla žádná dívka

Permutace 6) Určete, kolika způsoby může 10 táborníků při nástupu na ranní rozcvičku nastoupit a) do řady b) do řady, v níž je táborník Aleš na kraji c) do řady, v níž táborníci Aleš a Zdeněk nestojí vedle sebe [1]

Permutace 7) Zvětší -li se počet prvků o dva, zvětší se počet permutací bez opakování z těchto prvků 20 krát. Určete původní počet prvků. 8) Určete, kolika způsoby lze přemístit písmena slova KOMBINACE tak, aby v tomto přemístění nějaká skupina po sobě jdoucích písmen tvořila slovo EMA. 9) Určete, kolika způsoby můžeme navléknout na nit deset různě barevných korálků. Konec nitě poté svážeme.

Zdroje obrázků: [1] ] Dostupný pod licencí Microsoft Office 2010 (viz. http://www.microsoft.com/en- us/legal/intellectualproperty/Permissions/default.aspx na www: http://office.microsoft.com/cs-cz/images/results.aspx?qu=skaut&ex=1#ai:MC900294020| Archiv autora Zápisy vzorců jsou mým vlastním dílem

Užitečné webové stránky: Kombinatorika http://carolina.mff.cuni.cz/~jana/kombinatorika/ http://www.realisticky.cz/ http://www.mg-akademie.cz/stranky_profesori/horsky/stat/st_3_PVC.pdf Pravděpodobnost http://vrbova.webnode.cz/treti-rocnik2/pravdepodobnost/ Statistika http://www.gymkl.cz/web/cs-s1006--1_10-statistika http://matikabrdickova.sweb.cz/soubory_PDF/7/8_Zaklady_statistiky.pdf http://vrbova.webnode.cz/treti-rocnik2/statistika/

Literatura: CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia: kombinatorika, pravděpodobnost a statistika. 1. vyd. Praha: Jednota českých matematiků a fyziků, 1993, 163 s. ISBN 80-701-5444-6. FUCHS, Eduard a Josef KUBÁT. Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá gymnázia. 1. vyd. Praha: Prometeus, 1998, 147 s. ISBN 80-719-6095-0. KUBÁT, Eduard, Josef HRUBÝ. .: Sbírka úloh z matematiky pro střední školy – Maturitní minimum. Praha: Prometeus, 147 s. ISBN 80-719-6030-6. JIRÁSEK, František, BRANIŠ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a pro studijní obory SOU. 3., upr. vyd., dotisk. Praha: Prometheus, 1989, 479 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6012-8. PETÁKOVÁ, Jindra, BRANIŠ. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometeus, 1989, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3.