Tato prezentace byla vytvořena v rámci projektu Orbis pictus 21. století

Hodnoty střídavých veličin OB21-OP-EL-ZEL-JANC-L-3-013

Okamžitá hodnota Velikost střídavé sinusové veličiny se během periody spojitě mění. V libovolném čase t nabývá veličina hodnotu, kterou označujeme jako okamžitou hodnotu střídavé veličiny (např. napětí nebo proudu) a označujeme ji malými písmeny abecedy. Napětí u je okamžitá hodnota napětí U, proud i je okamžitá hodnota proudu I apod. Bude-li se jednat o velikosti v určitých okamžicích, přidáváme k písmenu číselné indexy počínaje 1, a to v pořadí, jak příslušné velikosti jdou za sebou, např. U1, i1 atp.

Okamžitá hodnota Amplitudou střídavé veličiny sinusového průběhu nazýváme maximální hodnotu střídavé veličiny a označujeme ji velkým písmenem s indexem max, Např. pro napětí Umax, pro proud Imax apod. Je-li třeba maximální hodnoty různých napětí nebo proudů rozlišit, provádí se číselným indexem, např. U1max, U2max, I1max, I2max.

Okamžitá hodnota Matematicky lze střídavý proud vyjádřit vztahem i = Imax sin α Argument goniometrické funkce sin je úhel α a je přímo úměrný času t. Doba jedné periody T odpovídá úhlu 2π radiánů. Jednotka času odpovídá úhlu 2π/T. Času odpovídá úhel  α = (2π/T).t = 2πft = ωt kde ω je úhlová frekvence (úhlový kmitočet), pro níž je jednotka (rad.s-1).

Okamžitá hodnota Původní rovnici i = Imax sin α upravíme po dosazení za úhel α na tvar i = Imax sin ωt, kde ωt je úhel v radiánech.  Podle uvedené rovnice lze stanovit okamžitou hodnotu proudu i pro libovolný čas t. Pro výpočet se převádí úhel α z radiánů na stupně či naopak. Pro převod platí vztahy αr = (π/180).αs αs = (180/π).αr

Okamžitá hodnota Úloha 1: Stanovte okamžitou hodnotu napětí v čase 5 μs, je-li amplituda Umax = 10 mV a frekvence f = 12 kHz.   Řešení: Pro okamžitou hodnotu napětí u platí u = Umax sin ωt Vyjádření argumentu funkce sin v radiánech αr = 2πft = 2π . 12000 . 5 . 10-6 rad = 0,377 rad

Okamžitá hodnota Pro argument ve stupních platí Okamžitá hodnota napětí potom je u = Umax sin αs = 10 . sin 21,6° = 3,68 mV

Okamžitá hodnota Úloha 2: Určete okamžitou velikost střídavého sinusového proudu pro úhel 330, je-li amplituda Imax = 10 A.   Řešení: i = Imax sin α i = 10. sin 330° = 10 . (-0,5) = - 5 A

Fázový posun Pozorujme nyní, jaké případy mohou nastat, budeme-li sledovat časový průběh střídavého (sinusového) napětí i střídavého (sinusového) proudu současně.

Fázový posun Je-li počátek otáčení obou úseček (maximálních hodnot) Umax a I1max zvolen v okamžiku, kdy obe úsečky splývají s kladným směrem osy x a mají-li obě úsečky stejný úhlový kmitočet ω, potom jejich časový průběh je graficky vyjádřen na obr. 1 sinusovkami u a i1. Otáčející se úsečky Umax a I1max se navzájem kryjí a mají v každém okamžiku stejný směr. Sinusový proud a sinusové napětí dosahují svých maximálních hodnot (amplitud) a nulových hodnot ve stejném okamžiku. Říkáme, že obě veličiny jsou ve fázi.

Fázový posun Pokud bude počátek otáčení, např. úsečky I2max, okamžik v němž svírá s úsečkou Umax (který se kryje s kladným směrem osy x) časový úhel +φ , bude časový průběh kmitu sinusovky střídavého proudu i2 posunut oproti časovému počátku střídavého napětí u o úhel +φ. Tomuto úhlu říkáme úhel fázového posunu nebo fázový posun. Je-li počátek sinusového kmitu proudu posunut o úhel +φ před časový počátek, říkáme, že jeho časový průběh předbíhá napětí. Fázový posun φ je zde kladný. Ze vzájemné polohy úseček Umax a I2max a z časového průběhu je vidět, že proud i2 předbíhá napětí u o fázový posun +φ.

Fázový posun Je-li počátek sinusovky střídavého proudu i3 zpožděn za časovým počátkem střídavého napětí u o úhel –φ, říkáme, že jeho časový průběh je zpožděn. Fázový posun je zde záporný. Opět vidíme ze vzájemné polohy úseček Umax a I3max a z časového průběhu, že proud i3 se v tomto případě zpožďuje za napětím u o fázový posun –φ. Z obr. vyplývá, že fázové posuny mezi veličinami, které mají stejný úhlový kmitočet, se nemění, jsou na čase nezávislé.

Efektivní hodnota Poněvadž střídavý proud nebo napětí mají v každém okamžiku jinou velikost, mění se s časem také jejich okamžitý výkon. V praxi však potřebujeme obvykle určit celkovou práci střídavého proudu, popř. napětí za určitou dobu. Tuto celkovou práci porovnáváme se stejně velkou prací stejnosměrného proudu, popř. napětí, za stejnou dobu. Platí tedy, že práce vykonaná stejnosměrným proudem i práce vykonaná střídavým proudem za stejnou dobu, např. ve vařiči za čas T, musí být v obou případech stejná.

Efektivní hodnota Efektivní hodnota střídavého proudu Práce vykonaná stejnosměrným proudem za dobu jedné periody T Práce vykonaná střídavým proudem za dobu jedné periody T

Efektivní hodnota Pro výkon stejnosměrného proudu platí vztahy Pro okamžitý výkon střídavého proudu a napětí platí Tepelná energie ΔA, která vznikne za dobu Δt, prochází-li vodičem střídavý proud i, je Tepelná energie je v každém okamžiku úměrná druhé mocnině okamžité hodnoty proudu i

Efektivní hodnota za dobu T jedné periody je tepelná energie daná vztahem Prochází –li rezistorem s odporem R stejnosměrný proud I po dobu T, vznikne v rezistoru tepelná energie A, která je Z rovností energií plyne

Efektivní hodnota Po úpravách pomocí vyšší matematiky dostaneme vztah Z něhož lze vypočítat efektivní hodnotu proudu Analogicky pro střídavé napětí platí vztah

Efektivní hodnota Efektivní hodnota střídavého proudu se rovná takové hodnotě stejnosměrného proudu, který vyvolá ve vodiči za určitou dobu stejné tepelné účinky jako uvažovaný střídavý proud.   Efektivní hodnota má v elektrotechnice velkou důležitost. Měřící tepelné a elektromagnetické přístroje ukazují efektivní hodnoty střídavého proudu a napětí. Na štítcích elektrotechnických strojů a přístrojů udáváme vždy efektivní hodnoty.

Střední hodnota Střední hodnota střídavého proudu se rovná aritmetickému průměru všech okamžitých hodnot během poloviny periody, tedy za dobu T/2. Označuje se jako Istř. Porovnáváme-li elektrochemické účinky střídavého proudu se stejnými účinky proudu stejnosměrného, docházíme k definici střední hodnoty střídavého proudu. Střední hodnota střídavého proudu se rovná stejnosměrnému proudu, kterým se např. vyloučí z elektrolytu stejné množství kovu jako proudem střídavým za dobu T/2.

Střední hodnota střídavého proudu

Střední hodnota Střední hodnotu střídavého proudu stanovíme z elektrického náboje Q, který projde určitým průřezem za dobu T/2. Pro střídavý proud platí Pro stejnosměrný proud o velikosti Istř je velikost náboje Protože se oba náboje musí rovnat, pro střední hodnotu tedy platí

Střední hodnota Pomocí vyšší matematiky bychom odvodili vztah a z toho

Vztah mezi efektivní a střední hodnotou střídavého proudu Při porovnání maximální hodnoty vyjádřené ze vztahu pro efektivní hodnotu a střední hodnotu střídavého proudu dostaneme Z toho vyplývá vztah mezi efektivní a střední hodnotou střídavého proudu

Děkuji za pozornost Ing. Ladislav Jančařík

Literatura J. Kubrycht, R. Musil, L. Voženílek: Elektrotechnika pro 1. ročník učebních oborů elektrotechnických, SNTL Praha 1980 A. Blahovec: Elektrotechnika II, Informatorium Praha 2005